1、第三章 数系的扩充与复数的引入 3.1 数系的扩充和复数的概念 3.1.2 复数的几何意义 学 习 目 标核 心 素 养 1理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系(重点、难点)2掌握实轴、虚轴、模等概念.(易混点)3掌握用向量的模来表示复数的模的方法(重点)1通过复数的几何意义的学习，培养学生的直观想象核心素养2借助复数在复平面内与点、平面向量的对应关系及复数模的学习及应用，提升学生的数学抽象及数学运算的核心素养.自 主 预 习 探 新 知 1复平面 实轴虚轴思考：有些同学说，实轴上的点表示实数，虚轴上的点表示虚数，这句话对吗？提示 不正确实轴上的点都表示
2、实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的有序实数对为(0,0)，它所确定的复数是 z00i0，表示的是实数2复数的几何意义Z(a,b)一一对应一一对应3复数的模(1)定义：向量OZ的_叫做复数 zabi 的模(2)记法：复数 zabi 的模记为|z|或|abi|且|z|_.模a2b21已知复数 zi，复平面内对应点 Z 的坐标为()A(0，1)B(1,0)C(0,0)D(1，1)A 复数 zi 的实部为 0，虚部为1，故复平面内对应点 Z的坐标为(0，1)2向量 a(2,1)所对应的复数是()Az12iBz12iCz12iDz2iD 向量 a(2,1)所对应的复数是 z2i.3在复
3、平面内，O 为原点，向量OA 对应复数为12i，若点 A关于直线 yx 的对称点为 B，则向量OB 对应复数为()A2i B2iC12iD12iB 由题意知，A 点坐标为(1,2)，B 点坐标为(2,1)，故OB 对应复数为 2i.4已知复数 z12i(i 是虚数单位)，则|z|_.5 z12i，|z|1222 5.合 作 探 究 释 疑 难 复数与复平面内的点的关系探究问题1在复平面上，如何确定复数 zabi(a，bR)对应的点所在的位置？提示 看复数 zabi(a，bR)的实部和虚部所确定的点的坐标(a，b)所在的象限即可2在复平面上，若复数 zabi(a，bR)对应的点在第一象限，则实数
4、 a，b 应满足什么条件？我们可以得到什么启示？提示 a0，且 b0.在复平面内复数所表示的点所处位置，决定了复数实部、虚部的取值特征【例 1】求实数 a 分别取何值时，复数 za2a6a3(a22a15)i(aR)对应的点 Z 满足下列条件：(1)在复平面的第二象限内；(2)在复平面内的 x 轴上方思路探究：确定z的实部、虚部列方程不等式组 解参数值范围解(1)点 Z 在复平面的第二象限内，则a2a6a30，a22a150，解得 a3.(2)点 Z 在 x 轴上方，则a22a150，a30，即(a3)(a5)0，解得 a5 或 a3.1(变结论)本例中题设条件不变，求复数 z 表示的点在 x
5、 轴上时，实数 a 的值解 点 Z 在 x 轴上，a22a150 且 a30，所以 a5.故 a5 时，点 Z 在 x 轴上2(变结论)本例中条件不变，如果点 Z 在直线 xy70 上，求实数 a 的值解 因为点 Z 在直线 xy70 上，所以a2a6a3a22a1570，即 a32a215a300，所以(a2)(a215)0，故 a2 或 a 15.所以 a2 或 a 15时，点 Z 在直线 xy70 上利用复数与点的对应解题的步骤(1)首先确定复数的实部与虚部，从而确定复数对应点的横、纵坐标(2)根据已知条件，确定实部与虚部满足的关系复数的模及其应用【例 2】(1)设(1i)x1yi，其中
6、 x，y 是实数，则|xyi|()A1 B 2C 3D2(2)已知复数 z 满足 z|z|28i，求复数 z.(1)B 因为(1i)xxxi1yi，所以 xy1，|xyi|1i|1212 2，故选 B.(2)解 设 zabi(a，bR)，则|z|a2b2，代入方程得 abi a2b228i，a a2b22，b8，解得a15，b8.z158i.1复数 zabi 模的计算：|z|a2b2.2复数的模的几何意义是复数所对应的点到原点的距离3转化思想：利用模的定义将复数模的条件转化为其实、虚部满足的条件，是一种复数问题实数化思想跟进训练1(1)若复数 z2a1a2(a2a6)i 是实数，则 z1(a1
7、)(12a)i 的模为_(2)已知复数 z3ai，且|z|4，求实数 a 的取值范围(1)29 z 为实数，a2a60，a2 或 3.a2 时，z 无意义，a3，z125i，|z1|29.(2)解 法一：z3ai(aR)，|z|32a2，由已知得 32a242，a27，a(7，7)法二：利用复数的几何意义，由|z|4 知，z 在复平面内对应的点在以原点为圆心，以 4 为半径的圆内(不包括边界)，由 z3ai 知 z 对应的点在直线 x3 上，所以线段 AB(除去端点)为动点 Z 的集合 由图可知：7a 7.复数与复平面内向量的关系【例 3】(1)在复平面内，复数 65i，23i 对应的点分别为
8、A，B.若 C 为线段 AB 的中点，则点 C 对应的复数是()A480iB82iC24iD4i(2)在复平面内，A，B，C 三点对应的复数分别为 1,2i，12i.求向量AB，AC，BC对应的复数；判定ABC 的形状(1)C 两个复数对应的点分别为 A(6,5)，B(2,3)，则 C(2,4)故其对应的复数为 24i.(2)解 由复数的几何意义知：OA(1,0)，OB(2,1)，OC(1,2)，所以ABOB OA(1,1)，AC OC OA(2,2),BCOC OB(3,1)，所以AB，AC，BC对应的复数分别为 1i，22i，3i.因为|AB|2，|AC|2 2，|BC|10，所以|AB|
9、2|AC|2|BC|2，所以ABC 是以 BC 为斜边的直角三角形复数与向量的对应和转化对应：复数 z 与向量OZ是一一对应关系 转化：复数的有关问题转化为向量问题求解 解决复数问题的主要思想方法有：(一)转化思想：复数问题实数化；(二)数形结合思想：利用复数的几何意义数形结合解决；(三)整体化思想：利用复数的特征整体处理跟进训练2设 O 为原点，向量OA，OB 对应的复数分别为 23i，32i，那么向量BA对应的复数为()A1iB1iC55iD55iD 由题意知，OA(2,3)，OB(3，2)，BAOA OB(5,5)，对应的复数为 55i，故选 D.课 堂 小 结 提 素 养 1复数的几何
10、意义这种对应关系架起了复数与解析几何之间的桥梁，使得复数问题可以用几何方法解决，而几何问题也可以用复数方法解决(即数形结合法)，增加了解决复数问题的途径(1)复数 zabi(a，bR)的对应点的坐标为(a，b)而不是(a，bi)；(2)复数 zabi(a，bR)的对应向量OZ是以原点 O 为起点的，否则就谈不上一一对应，因为复平面上与OZ相等的向量有无数个2复数的模(1)复数 zabi(a，bR)的模|z|a2b2；(2)从几何意义上理解，表示点 Z 和原点间的距离，类比向量的模可进一步引申：|z1z2|表示点 Z1 和点 Z2 之间的距离1复数z12i(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于(
11、)A第一象限 B第二象限C第三象限D第四象限C z12i 对应点 Z(1，2)，位于第三象限.2已知复数 z(m3)(m1)i 的模等于 2，则实数 m 的值为()A1 或 3B1C3D2A 依题意可得 m32m122，解得 m1 或 3，故选A.3在复平面内表示复数 z(m3)2 mi 的点在直线 yx 上，则实数 m 的值为_9 z(m3)2 mi 表示的点在直线 yx 上，m32 m，解之得 m9.4复数 zx2(3x)i 在复平面内的对应点在第四象限，则实数 x 的取值范围是_(3，)复数 z 在复平面内对应的点在第四象限，x20，3x0，解得 x3.5已知 0a3，复数 zai(i 是虚数单位)，求|z|的取值范围解 0a3，复数 zai(i 是虚数单位)，则|z|a21(1，10)点击右图进入 课 时 分 层 作 业 Thank you for watching!
