1、上海市曹杨二中2019-2020学年高二数学上学期10月月考试题（含解析）一、填空题.1.在数列1，0，中，0.08是它的第_项【答案】10【解析】【分析】根据通项公式列方程，解得结果.【详解】令0.08，得2n225n500，即(2n5)(n10)0.解得n10或n (舍去)【点睛】本题考查由通项公式求项数，考查基本分析求解能力.2.若数列满足，则该数列从第_项起为正值；【答案】7【解析】【分析】根据时的递推公式可知,该数列为等差数列,由和可得该等差数列的通项公式,进而得解.【详解】因为当时满足即,所以数列为等差数列,所以通项公式为 所以当时,解得即从第7项开始,数列为正值故答案为:7【点睛
2、】本题考查了等差数列通项公式的基本求法,通项公式的简单应用,属于基础题.3.若 ，则=_；【答案】【解析】【分析】对要求极限的数列分子分母同时除以,根据指数函数的性质即可求得极限值.【详解】对数列分子分母同时除以可得因为所以,根据指数函数的性质可知当时, 所以故答案为: 【点睛】本题考查了数列极限的求法,对数列进行合适的变形是解决此类问题的关键,属于中档题.4.观察下式：，则可归纳出一般结论：_【答案】【解析】根据所给式子，归纳第n个式子左边应该为，右边为，所以填.5.已知等差数列中，则=_；【答案】234【解析】【分析】根据等差数列中等差中项的定义,结合条件可求得,进而可求得.【详解】因为数
3、列是等差数列由等差中项定义可知, 所以而故答案为:234【点睛】本题考查了等差数列中等差中项的定义及简单应用,属于基础题.6.数列的前n项和为，若，则=_；【答案】【解析】【分析】根据条件,通过递推法,然后作差即可证明数列为等比数列,并求得公比,再由首项即可得数列的通项公式.【详解】因为当时, 两式相减可得即,变形后可得因为,且所以当时, 所以数列从第二项开始是以,为公比的等比数列所以 而不满足上式所以 故答案为: 【点睛】本题考查了数列递推公式的用法,等比数列的证明及通项公式的求法,属于基础题.7.设为等差数列，为数列前n项和，若，且，则当n=_时，取得最大值；【答案】或【解析】【分析】根据
4、等差数列,可求得,结合可判断出等差数列为递减数列,进而可得取得最大值时的值.【详解】因为为等差数列,且所以根据等差中项的性质可得因为所以等差数列为递减数列, ,从第19项开始为负数所以当或时, 取得最大值故答案为:或【点睛】本题考查了等差数列前项和的性质,等差数列单调性的综合应用,等差中项的简单应用,属于中档题.8.若一个细胞团开始时有5个细胞，每次分裂前2个死去，再由剩余的每个细胞分裂成2个，则n次分裂之后共有_个细胞.【答案】【解析】【分析】设次分类后共有个细胞,则根据题意可得递推公式,通过构造等比数列即可求得通项公式.【详解】由题意可设次分类后共有个细胞则第次分裂后共有细胞个数为即,且对
5、数列等式两端同时减去4,可得即,所以数列是以为首项,为公比的等比数列所以,化简可得即n次分裂之后共有个细胞故答案为: 【点睛】本题考查了数列在实际问题中的应用,构造数列法求通项公式的应用,注意构造出数列的首项与公比与原数列是不同的,属于中档题.9.已知数列满足：，若，则=_；【答案】【解析】【分析】通过列举法,可以根据数列的前几项确定数列的周期,再根据周期即可求得.【详解】因为数列中,满足所以所以数列是以3为周期的周期数列所以故答案为: 【点睛】本题考查了数列递推公式的应用,周期数列的简单应用,属于中档题.10.平面上有n条直线，它们任何两条不平行，任何三条不共点，设条这样的直线把平面分成个区
6、域，则条直线把平面分成的区域数_.【答案】【解析】第条直线与前条直线都相交，则第条直线有个交点，被分为段，每段都会把对应的平面分为两部分，则增加了个平面，即。11.在数列中，如果对任意，都有（为常数），则称数列为比等差数列，称为比公差，现给出以下命题：若数列满足，则该数列不是比等差数列；若数列满足，则该数列是比等差数列，且比公差；等比数列一定是比等差数列，等差数列一定不是比等差数列；若是等差数列，是等比数列，则数列是比等差数列。其中所有正确的序号是_；【答案】【解析】【分析】数列为斐波那契数列,根据数列的性质代入化简即可判断;数列为等比数列,所以代入公式化简即可判断;利用具体数列,代入即可判断
7、;列举一个等差数列与一个等比数列,代入即可判断.【详解】对于,数列为斐波那契数列,所以常数不满足比等差数列的定义,所以正确;对于, 数列,则满足比等差数列的定义,所以正确;对于,设等比数列,则,所以等比数列一定是比等差数列;当等差数列为常数数列时, 也是比等差数列,所以错误;对于, 是等差数列，是等比数列,所以设则所以常数不满足比等差数列的定义,所以错误.综上可知, 正确故答案为: 【点睛】本题考查了数列的新定义应用,注意理解所给条件,结合等差与等比数列的通项公式及性质判断,可利用特殊数列进行判定错误选项,属于难题.12.任意实数a，b，定义，设函数，数列是公比大于0的等比数列，且，则=_；【
8、答案】【解析】【分析】根据定义可得函数的解析式。对等比数列的公比分三种情况讨论，再结合对数的运算性质即可求得数列的首项。【详解】因为对任意实数a，b，定义函数 数列是公比大于0等比数列，且 当时，因为所以，由等比数列通项公式可得，所以整个数列为因为所以代入可得即由对数运算所以化简后可得，即所以当时，此时，所以不成立 当时，所以整个数列为所以，因为代入可得即由对数运算所以化简后可得因为当时，所以等式左边大于0，等式右边小于0，方程无解综上所述，故答案为：【点睛】本题考查了等比数列通项公式及性质的综合应用，指数与对数的互换、对数的综合运算及求值，分类讨论思想的应用，计算量大，过程繁琐，需要很强的计
9、算推理能力，属于难题。二、选择题13.“实数a、b、c成等比数列”是“lga、lgb、lgc构成等差数列”的（ ）条件A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充要D. 既非充分也非必要【答案】B【解析】【分析】根据等比数列与等差数列关系,通过特殊数列可知非充分性;根据对数运算,可知必要性.【详解】若实数 成等比数列,当出现负数时,不满足成等差数列,所以不是充分条件;若成等差数列,则满足 即由对数运算可知,即由等比中项定义可知 成等比数列,所以为必要条件综上可知“实数 成等比数列”是“成等差数列”的必要非充分条件故选：B【点睛】本题考查了充分必要条件的判断，数列中等差数列与等比数列的定义，属于基础
10、题。14.已知，则当时，数列的极限是（ ）A. 0B. 1C. 0或1D. 不存在【答案】A【解析】【分析】根据分段数列,当时取,根据极限的定义即可求得极限值.【详解】因为所以当时由极限定义可知,当时所以数列的极限是0故选:A【点睛】本题考查了数列的极限求法,注意分段数列的定义域范围,属于基础题.15.已知，把数列的各项排成如图所示的三角形状，记表示第m行，第n个数，则 = （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析】表示三角形数表的第11行的第2个数,根据题意得第10行的最后一个数是,进而求得第11行中第2 个数,即可求值.【详解】根据表示第m行，第n个数则表示第11行的第2个数根
11、据数表可知,每行的最后一个数为行数的平方数,所以第10行的最后一项为所以第11行第2个数为即故选:D【点睛】本题考查了数列的简单应用,观察数表,根据示例找出项的排列规律,属于基础题.16.某班试用电子投票系统选举班干部候选人，全班k名同学都有选举权和被选举权，他们的编号分别为1，2，3，k，规定：同意按“1”，不同意（含弃权），按“0”，令，则同时同意第1，2号同学当选的人数为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析】根据题意,分别列出同意1号同学当选和2号同学当选的同学,则同时同意1号与2号当选的人数为它们对应相乘再相加即可.【详解】由题意可知全班名同学同意1号同学当选的情况为
12、名同学同意2号同学当选的情况为 同时同意1号与2号同学当选的情况为所以同时同意第1号与2号同学当选的人数为故选:C【点睛】本题主要考查了矩阵在实际问题中的应用,理解题意分组分析是解决好这个问题的关键,属于中档题.三、解答题17.用数学归纳法证明：【答案】证明见解析.【解析】【分析】利用数学归纳法证明分两步进行:当时证明不等式左右两边相等;假设当时等式成立,应用此结论证明当时等式也成立即可.【详解】当时左边,右边所以左边=右边,等式成立.假设当时等式成立,即则当时,即当时等式也成立由可知, 对任意正整数都成立【点睛】本题考查了数学归纳法在证明等式中的应用,注意证明的格式和步骤,对假设成立等式的应
13、用是关键,属于中档题.18.已知等差数列前3项为a，4，3a，前项和为（1）求a及k的值；（2）求【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）根据等差数列定义求得首项及公差，由等差数列的前n项和公式即可求得的值。（2）先求得等差数列的前n项和公式，并求得倒数。结合裂项法即可求得的值，进而根据极限定义求得极限值即可。【详解】（1）因为等差数列前3项为 所以，解得所以等差数列的首项为，公差为则前项和为解方程求得（舍）故（2）因为等差数列的首项为，公差为所以则所以所以由极限定义可得即【点睛】本题考查了等差数列的通项公式及求和公式的应用，裂项法求和的应用，数列求极限，属于中档题。19.在数列中，（1）
14、证明数列等比数列；（2）求数列的前项和；（3）证明不等式，对任意皆成立【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）证明见解析.【解析】【详解】试题分析：（1）由条件可构造，从而数列为等比数列，即可求出；（2）写出数列的通项，分组求和即可；（3）作差后分析差的正负即可.试题解析：（1）证明：由题设，得， 又，所以数列是首项为，且公比为的等比数列 （2）解：由（）可知，于是数列的通项公式为 所以数列的前项和 （3）证明：对任意的，所以不等式，对任意皆成立点睛：数列问题是高考中的重要问题，主要考查等差等比数列的通项公式和前项和，主要利用解方程的思想处理通项公式问题，利用分组求和、裂项相消、错位相减法等方
15、法求数列的和在利用错位相减求和时，要注意提高运算的准确性，防止运算错误20.设数列的前n项和为,对一切,点都在函数的图像上.（1）证明：当时,;（2）求数列的通项公式;（3）设为数列的前n项的积,若不等式对一切成立,求实数a的取值范围.【答案】（1）证明见解析; （2） （3）【解析】【分析】（1）根据点在函数图像上,代入点坐标,化简后结合即可证明.（2）根据（1）所得递推公式,递推作差后可得奇偶项分别为等差数列,根据和公差即可求得通项公式.（3）根据为数列,代入的通项公式求得的表达式,构造函数;代入的通项公式求得函数,根据恒成立求得即可.通过的单调性求得,代入解不等即可得实数a的取值范围.【
16、详解】（1）证明: 因为对一切,点都在函数的图像上所以,化简可得当时, 两式相减可得即（）原式得证.（2）由（1）可知所以两式相减,可得所以数列的奇数项公差为4的等差数列,偶数项公差为4的等差数列.由（1）可知则当时, 求得则当时, ,即求得所以当为奇数时, 所以当为偶数时, 综上可知数列的通项公式为（3）因为所以所以又因为所以对一切成立即对一切成立只需满足即可令则所以所以即为单调递减数列所以所以即可,化简可得解不等式可得,或故实数a的取值范围为【点睛】本题考查了数列中递推关系与通项公式的综合应用,数列与不等式恒成立问题的综合应用,注意数列单调性的用法,对计算能力要求较高,属于难题.四、附加题21.无穷正实数数列具有以下性质（1）求证：对具有上述性质的任一数列，总能找到一个正整数n使下面不等式恒成立（2）寻一个满足上述条件的数列，使下面不等式对任一正整数n均成立【答案】（1）证明见解析;（2）【解析】【分析】（1）根据数列递推公式,逐步化简不等式,再根据数列的极限即可证明不等式.（2）找到数列,代入检验即可.【详解】（1）证明:由题意可知正实数数列满足所以则 而所以当时, 成立原式得证.（2）取无穷等比数列,则因为,即所以即当时原式成立【点睛】本题考查了数列与不等式的综合应用,根据数列的递推公式证明不等式,等比数列求和公式的综合应用,综合性强,对理解能力要求很高,属于难题.
