1、第十四章 极限(理)网络体系总览考点目标定位 1.数学归纳法、数学归纳法的应用. 2.数列的极限. 3.函数的极限、极限的四则运算、函数的连续性.复习方略指南 极限的概念和方法是近代数学的核心内容,微积分学的基本概念、基本方法在现代实践中越来越多地被应用,并在现代数学及相关学科的研究中不断得到进一步的发展.本章的主要内容由两部分组成,一是数学归纳法,二是极限.学习极限时要注意数列极限和函数极限的联系和区别,函数的极限与函数连续性的渐进性.14.1 数学归纳法巩固夯实基础 一、自主梳理 1.数学归纳法的定义 由归纳法得到的与自然数有关的数学命题常采用下面的证明方法:（1）先证明当n=n0(n0是
2、使命题成立的最小自然数）时命题成立；（2）假设当n=k(kN*,kn0)时命题成立，再证明当n=k+1时命题也成立，那么就证明这个命题成立，这种证明方法叫数学归纳法. 2.数学归纳法的应用 (1)证恒等式；(2)整除性的证明；(3)探求平面几何中的问题；(4)探求数列的通项；(5)不等式的证明. 二、点击双基1.设f(n)=+(nN*),那么f(n+1)-f(n)等于( )A. B. C.+ D.-解析:f(n+1)-f(n)=+-(+)=+-=-.答案:D2.若把正整数按下图所示的规律排序,则从2002到2004的箭头方向依次为( )解析:2 002=4500+2,而an=4n是每一个下边不
3、封闭的正方形左、上顶点的数.答案:D3.某个命题与自然数n有关,若n=k(kN*)时该命题成立,那么可推得n=k+1时该命题也成立,现已知当n=5时该命题不成立,那么可推得( )A.当n=6时该命题不成立 B.当n=6时该命题成立C.当n=4时该命题不成立 D.当n=4时该命题成立解析:若原命题正确,则其逆否命题正确,所以若n=k(kN*)时该命题成立,那么可推得n=k+1时该命题也成立,若n=k+1时命题不成立,则n=k时命题也不成立.答案:C4.根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律,试猜测第n个图形中有_个点.解析:观察图形点分布的变化规律,发现第一个图形只有一个中心点；第二个图形中除
4、中心点外还有两边,每边一个点；第三个图形中除中心点外还有三个边,每边两个点；依次类推,第n个图形中除中心点外还有n条边,每边n-1个点,故第n个图形中点的个数为n(n-1)+1.答案:n2-n+15.用数学归纳法证明34n+2+52n+1(nN)能被14整除时,当n=k+1时,对于34(k+1)+2+52(k+1)+1应变形为_.解析:34(k+1)+2+52(k+1)+1=34(34k+2+52k+1)-5652k+1.答案:34(34k+2+52k+1)-5652k+1诱思实例点拨【例1】 比较2n与n2的大小(nN*).剖析:比较两数(或式)大小的常用方法本题不适用，故考虑用归纳法推测大
5、小关系，再用数学归纳法证明.解:当n=1时，2112, 当n=2时，22=22, 当n=3时，2352, 猜想:当n5时，2nn2. 下面用数学归纳法证明: (1)当n=5时，2552成立. (2)假设n=k(kN*,k5)时,2kk2, 那么2k+1=22k=2k+2kk2+(1+1)kk2+C0k+C1k+Ck-1k=k2+2k+1=(k+1)2. 当n=k+1时，2nn2. 由(1)(2)可知，对n5的一切自然数2nn2都成立. 综上，得当n=1或n5时，2nn2；当n=2、4时，2n=n2；当n=3时，2nn2,也可直接用二项式定理证:2n=(1+1)n=C0n+C1n+C2n+Cn-
6、2n+Cn-1n+Cnn 1+n+ =1+n+n2-nn2.【例2】数列an满足a1=1且an+1=(1+)an+(n1).(1)用数学归纳法证明an2(n2);(2)已知不等式ln(1+x)0成立,证明ane2(n1),其中无理数e=2.718 28.剖析:本题第二问中an不能求出,直接比较an与e2的大小不行,且是与自然数有关的命题,故可考虑用数学归纳法.证明:(1)当n=2时,a2=22,不等式成立. 假设当n=k(k2)时不等式成立,即ak2(k2),那么ak+1=1+ak+2,这就是说,当n=k+1时不等式成立. 根据可知an2对所有n2成立. (2)由递推公式及(1)的结论有 an
7、+1=(1+)an+(1+)an(n1).两边取对数并利用已知不等式得 lnan+1ln(1+)+lnanlnan+. 故lnan+1-lnan+(n1). 上式从1到n-1求和可得 lnan-lna1+=1-+(-)+-+=1-+1-2, 即lnan2,故ane2(n1).讲评:利用数学归纳法证明问题,要严格按照数学归纳法的步骤进行.特别是由n=k成立推证n=k+1成立时,过程要条理清楚、逻辑严密.【例3】 (经典回放)设a0为常数，且an=3n-1-2an-1(nN*).证明n1时，an=3n+(-1)n-12n+(-1)n2na0.剖析:给出了递推公式，证通项公式，可用数学归纳法证.证明
8、:(1)当n=1时，(3+2)-2a0=1-2a0, 而a1=30-2a0=1-2a0. 当n=1时，通项公式正确. (2)假设n=k(kN*)时正确，即ak=3k+(-1)k-12k+(-1)k2ka0, 那么ak+1=3k-2ak=3k-3k+(-1)k2k+(-1)k+12k+1a0 =3k+(-1)k2k+1+(-1)k+12k+1a0 =3k+1+(-1)k2k+1+(-1)k+12k+1a0. 当n=k+1时，通项公式正确. 由(1)(2)可知，对nN*，an=3n+(-1)n-12n+(-1)n2na0.讲评:由n=k正确n=k+1时也正确是证明的关键.注意拼凑系数及结构变形的方法应用.链接拓展 本题也可用构造数列的方法求an. 解:a0为常数，a1=3-2a0. 由an=3n-1-2an-1, 得=-+1, 即=-+. -=-(-). -是公比为-，首项为-的等比数列. -=(-a0)(-)n-1. an=(-a0)(-2)n-13+3n =3n+(-1)n-12n+(-1)n2na0. 注:本题关键是转化成an+1=can+d型.
