1、1.1.2 空间向量基本定理必备知识自主学习1.空间中共线向量与共面向量定理【思考】(1)共线向量定理中，去掉条件“a0”可以吗？提示：不可以若ba可得ba，反之，若ba，当a0且b0时，ba就不成立了(2)共面向量定理与平面向量的基本定理有什么关系？提示：空间向量的共面向量定理与平面向量的基本定理实质相同2空间向量基本定理(1)定理：如果空间中的三个向量a，b，c_，那么对空间中的任意一个向量p，存在唯一的有序实数组_，使得pxaybzc.不共面(x，y，z)(2)相关概念：名称内容线性组合或 线性表达式表达式_一般称为向量a，b，c的线性组合或线性表达式基底与 基向量不共面的三个向量a，b
2、，c组成的集合_，称为空间向量的一组基底，此时_都称为基向量分解式如果pxaybzc，则称_为p在基底a，b，c下的分解式xaybzca，b，ca，b，cxaybzc【思考】零向量可以作为基向量吗？为什么？提示：不能零向量与任意向量共面，所以零向量不能作为基向量1辨析记忆(对的打“”，错的打“”).(1)若存在唯一的实数对(，)，使ae1e2(其中e1，e2不共线)，则向量a，e1，e2共面()(2)任意三个向量都可构成空间的一组基底()(3)如果所给向量a，b，c不共面，那么它们的线性组合xaybzc可以生成部分空间向量()提示：(1).(2).任意三个不共面向量都可构成空间的一组基底(3)
3、.如果所给向量a，b，c不共面，那么它们的线性组合xaybzc可以生成所有的空间向量2如果空间向量 a，b 不共线，且 abaxb，则 x()A1 B1 C0 D不存在【解析】选B.根据共面向量定理知，x1.3.(教材例题改编)如图，点M为OA的中点，OA，OC，OD 为空间的一组基底，DM xOA yOC zOD，则有序实数组(x，y，z)_【解析】DM OM OD 12 OA OD，所以有序实数组(x，y，z)12，0，1.答案：12，0，1关键能力合作学习类型一 空间向量的共线问题(逻辑推理)1.已知向量a，b，且AB a2b，BC 5a6b，CD 7a2b，则一定共线的三点是()AA，
4、B，D BA，B，CCB，C，D DA，C，D2设空间四点O，A，B，P满足OP mOA nOB，其中mn1，则()A点P一定在直线AB上B点P一定不在直线AB上C点P可能在直线AB上，也可能不在直线AB上DAB 与AP 的方向一定相同3设e1，e2是空间两个不共线的向量，已知AB e1ke2，BC 5e14e2，DCe12e2，且A，B，D三点共线，实数k_【解析】1.选A.因为AD AB BC CD 3a6b3(a2b)3AB，故ADAB，又AD 与AB 有公共点A，所以A，B，D三点共线2选A.已知mn1，则m1n，OP(1n)OA nOB OA nOA nOB OP OA n(OB O
5、A)AP nAB.因为AB 0，所以AP 和AB 共线，即点A，P，B共线3因为AD AB BC CD 7e1(k6)e2，且AB 与AD 共线，故AD xAB，即 7e1(k6)e2xe1xke2，故(7x)e1(k6xk)e20，又因为 e1，e2 不共线，所以7x0，k6kx0，解得x7，k1，故 k 的值为 1.答案：1共线向量定理还可用于证明两向量(直线)平行或证明三点共线，其解题策略是：(1)充要条件：若ab，a0，则存在唯一实数使ba；若存在唯一实数，使ba，a0，则ab.(2)关键：找到实数.【补偿训练】如图所示，四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，且不共面，M，N分别是A
6、C，BF的中点则CE 与MN _共线(填“是”或“否”)【解析】因为 M，N 分别是 AC，BF 的中点，而四边形 ABCD，ABEF 都是平行四边形，所以MN MA AF FN 12 CA AF 12 FB.又因为MN MC CE EB BN 12 CA CE AF 12 FB，所以12 CA AF 12 FB 12 CA CE AF 12 FB，所以CE CA 2AF FB 2(MA AF FN)2MN，所以CE MN，即CE 与MN 共线答案：是类型二 空间向量的共面问题(逻辑推理)【典例】如图所示，已知矩形 ABCD 和矩形 ADEF 所在的平面互相垂直，点 M，N 分别在对角线 BD
7、，AE 上，且 BM13 BD，AN13 AE.求证：向量MN，CD，DE 共面四步内容理解题意条件：矩形 ABCD 和矩形 ADEF 所在的平面互相垂直；BM13 BD，AN13 AE.结论：向量MN，CD，DE 共面思路探求利用共面向量定理解答四步内容书写表达因为 M 在 BD 上，且 BM13 BD，所以MB 13 DB 13 DA 13 AB.同理AN 13 AD 13 DE.四步内容书写表达所以MN MB BA AN 13DA13AB BA 13AD13DE 23 BA 13 DE 23 CD 13 DE.又CD 与DE 不共线，根据向量共面的充要条件可知MN，CD，DE 共面 注意
8、：相同的推导过程可以用“同理”；不要漏掉“CD 与DE 不共线”四步内容题后反思判断三个(或三个以上)向量共面，主要使用空间向量共面定理，即其中一个向量能用另两个向量线性表示即可证明空间向量共面或四点共面的方法(1)向量表示：设法证明其中一个向量可以表示成另两个向量的线性组合，即若 pxayb，则向量 p，a，b 共面(2)若存在有序实数组(x，y，z)使得对于空间任一点 O，有OP xOA yOB zOC，且 xyz1 成立，则 P，A，B，C 四点共面(3)用平面：寻找一个平面，设法证明这些向量与该平面平行如图所示，P是平行四边形ABCD所在平面外一点，连接PA，PB，PC，PD，点E，F
9、，G，H分别是PAB，PBC，PCD，PDA的重心，分别延长PE，PF，PG，PH，交对边于M，N，Q，R，并连接MN，NQ，QR，RM.应用向量共面定理证明：E，F，G，H四点共面【证明】因为E，F，G，H分别是所在三角形的重心，所以M，N，Q，R为所在边的中点，即四边形MNQR为平行四边形，且有PE 23 PM，PF 23 PN，PG 23 PQ，PH 23 PR.所以EG PG PE 23 PQ 23 PM 23 MQ 23(MN MR)23(PN PM)23(PR PM)23 32PF32PE 23 32PH32PE EF EH.所以由共面向量定理得EG，EF，EH 共面，所以E，F，
10、G，H四点共面 类型三 空间向量基本定理及其应用(直观想象、逻辑推理)角度1 基底的概念【典例】若向量a，b，c是空间的一组基底，向量mab，nab，那么可以与m，n构成空间的另一个基底的向量是()Aa Bb Cc D2a【思路导引】向量a，b，c是空间的一组基底的充要条件为a，b，c不共面，逐一按此标准检验即可【解析】选C.向量a，b，c是空间的一组基底，则a，b，c不共面，对于选项A：a12(ab)(ab)12 m12 n，故a，m，n共面，故A错误，对于选项B：b12(ab)(ab)12 m12 n，故b，m，n共面，故B错误，对于选项C：c，m，n不共面，故可以构成空间的另一组基底，故
11、C正确，对于选项D：由选项A得2amn，故2a，m，n共面，故D错误本例若改为“已知点 O，A，B，C 为空间不共面的四点，且向量 aOA OB OC，向量 bOA OB OC，”则与 a，b 不能构成空间基底的向量是()AOA BOB COC DOA 或OB【解析】选 C.因为OC 12(OA OB OC)12(OA OB OC)12(ab)，所以OC 与 a，b 不能构成空间基底角度 2 空间向量基本定理的应用【典例】如图，在三棱柱 ABCABC中，已知AAa，AB b，AC c，点 M，N 分别是 BC，BC的中点，试用基底a，b，c表示向量AM，AN.【思路导引】借助图形寻找待求向量与
12、a，b，c的关系，利用向量运算进行分析，直至向量用a，b，c表示出来【解析】AM AB BM AB 12 BC AB 12(BBBC)AB 12 BB12(AC AB)b12 a12(cb)b12 a12 c12 b12 a12 b12 c.AN AAA B B NAAA B 12 B C ab12(A CA B )ab12(cb)a12 b12 c.1基底的判断方法判断给出的某一向量组能否作为基底，关键是要判断它们是否共面，如果从正面难以入手，可用反证法或利用一些常见的几何图形进行判断2用基向量表示指定向量的方法(1)结合已知向量和所求向量观察图形(2)将已知向量和所求向量转化到三角形或平行
13、四边形中(3)利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来1.在四棱锥 P-ABCD 中，ABCD 为平行四边形，AC 与 BD 交于 O，G 为 BD 上一点，BG3GD，PA a，PB b，PC c，PG _(用基底a，b，c表示向量PG)【解析】在四棱锥P-ABCD中，ABCD为平行四边形，AC与BD交于O，G为BD上一点，BG3GD，PA a，PB b，PC c，PD PA AB BC CD PA BC PA PC PB，PG 14 PB 34 PD 14 PB 34(PA PC PB)34 PA 12 PB 34 PC 34 a12 b34 c.答案：34 a12 b
14、34 c 2在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，点 O 是 B1C1 的中点，且DO xDA yDC z1DD，则 xyz 的值为_【解析】如图所示，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，点 O 是 B1C1的中点，则DO DC 1CC 1C O 12 DA DC 1DD xDA yDC z1DD，所以 xyz12 1152.答案：523已知e1，e2，e3是空间的一组基底，且OA e12e2e3，OB 3e1e22e3，OC e1e2e3，试判断OA，OB，OC 能否作为空间的一组基底？【解析】假设OA，OB，OC 共面，由向量共面的充要条件知存在实数x，y使OA xOB yOC
15、成立所以e12e2e3x(3e1e22e3)y(e1e2e3)(3xy)e1(xy)e2(2xy)e3.因为e1，e2，e3是空间的一组基底，所以e1，e2，e3不共面，所以3xy1，xy2，2xy1，此方程组无解，即不存在实数x，y使OA xOB yOC 成立所以OA，OB，OC 不共面 故OA，OB，OC 能作为空间的一组基底 课堂检测素养达标1给出的下列几个命题：向量 a，b，c 共面，则存在唯一的有序实数对(x，y)，使 cxayb；零向量的方向是任意的；若 ab，则存在唯一的实数，使 ab.其中真命题的个数为()A0 B1 C2 D3【解析】选B.只有为真命题 2(教材练习改编)在四
16、面体OABC中，空间的一点M满足OM 14 OA 16 OB OC，若MA，MB，MC 共面，则()A12 B13 C 512 D 712【解析】选 D.由MA，MB，MC 共面知，14 16 1，解得 712.3.如图所示，在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，O 为 AC 的中点用AB，AD，1AA表示1OC，则1OC _【解析】因为OC 12 AC 12(AB AD)，所以OC1OC CC112(AB AD)1AA 12 AB 12 AD 1AA 答案：12 AB 12 AD 1AA 4若a，b，c是空间的一组基底，且存在实数x，y，z使得xaybzc0，则x，y，z满足的条件是_【解析】若x0，则ayx bzx c，即a与b，c共面由a，b，c是空间向量的一组基底，知a，b，c不共面，故x0，同理yz0.答案：xyz05在三棱锥A-BCD中，若BCD是正三角形，E为其中心，则AB 12 BC 32DE AD 化简的结果为_【解析】延长 DE 交边 BC 于点 F，则AB 12 BC AF，32 DE AD AD DF AF，故AB 12 BC 32 DE AD AF AF 0.答案：0
