1、三角函数的图像与性质考试要求1.能画出ysin x，ycos x，ytan x的图像，了解三角函数的周期性.2.理解正弦函数、余弦函数在0,2上的性质(如单调性、最大值和最小值、图像与x轴的交点等)，理解正切函数在区间内的单调性1用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数ysin x，x0,2图像的五个关键点是：(0,0)，(，0)，(2，0)余弦函数ycos x，x0,2图像的五个关键点是：(0,1)，(，1)，(2，1)2正弦函数、余弦函数、正切函数的图像与性质函数ysin xycos xytan x图像定义域RR值域1,11,1R单调性递增区间：，kZ，递减区间：，kZ递增区间：2k，2
2、k，kZ，递减区间：2k，2k，kZ递增区间，kZ奇偶性奇函数偶函数奇函数对称性对称中心(k，0)，kZ对称中心，kZ对称中心，kZ对称轴xk(kZ)对称轴xk(kZ)周期性22提醒：(1)正、余弦函数一个完整的单调区间的长度是半个周期，ytan x无单调递减区间，ytan x在整个定义域内不单调(2)求yAsin(x)的单调区间时，要注意A和的符号尽量化成0的形式，避免出现增减区间的混淆1对称与周期(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期2函数具有奇、偶性的充要条件(1)
3、函数yAsin(x)(xR)是奇函数k(kZ)；(2)函数yAsin(x)(xR)是偶函数k(kZ)；(3)函数yAcos(x)(xR)是奇函数k(kZ)；(4)函数yAcos(x)(xR)是偶函数k(kZ)一、易错易误辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)正切函数ytan x在定义域内是增函数()(2)已知yksin x1，xR，则y的最大值为k1.()(3)函数ysin x的图像关于点(k，0)(kZ)中心对称()(4)ysin|x|与y|sin x|都是周期函数()答案(1)(2)(3)(4)二、教材习题衍生1若函数y2sin 2x1的最小正周期为T，最大值为A，则()AT，A1BT2
4、，A1CT，A2DT2，A2AT，A211，故选A.2函数ytan 2x的定义域是()A.B.C.D.D由2xk，kZ，得x，kZ，ytan 2x的定义域为.3ysin的单调减区间是_(kZ)由2k2x2k，kZ得kxk，kZ.4函数y32cos的最大值为_，此时x_.52k(kZ)函数y32cos的最大值为325，此时x2k，kZ，即x2k(kZ) 考点一三角函数的定义域 三角函数定义域的求法(1)求三角函数的定义域常化为解三角不等式(组)(2)解三角不等式(组)时常借助三角函数的图像或三角函数线(3)对于函数yAtan(x)的定义域可令xk，kZ求解1函数y的定义域为_要使函数有意义，必须
5、有即故函数的定义域为.2函数ylg(sin x)的定义域为_函数有意义，则即解得所以2kx2k(kZ)，所以函数的定义域为.3函数y的定义域为_法一：要使函数有意义，必须使sin xcos x0.利用图像，在同一坐标系中画出0,2上ysin x和ycos x的图像，如图所示在0,2内，满足sin xcos x的x为，再结合正弦、余弦函数的周期是2，所以原函数的定义域为.法二：sin xcos xsin0，将x视为一个整体，由正弦函数ysin x的图像和性质可知2kx2k(kZ)，解得2kx2k(kZ)，所以定义域为.点评：若定义域中含k或2k应注明kZ. 考点二三角函数的值域(最值) 求三角函
6、数的值域(最值)的三种类型及解法思路(1)形如yasin xbcos xc的三角函数化为yAsin(x)k的形式，再求值域(最值)；(2)形如yasin2xbsin xc的三角函数，可先设sin xt，化为关于t的二次函数求值域(最值)；(3)形如yasin xcos xb(sin xcos x)c的三角函数，可先设tsin xcos x，化为关于t的二次函数求值域(最值)典例1(1)已知函数f(x)2sin2x2sin xcos x，则函数f(x)在区间上的值域是_(2)(2019全国卷)函数f(x)sin3cos x的最小值为_(3)函数ysin xcos xsin xcos x的值域为_
7、(1)(1,2(2)4(3)(1)f(x)2sin2x2sin xcos x(1cos 2x)sin 2xsin 2xcos 2x2sin.x，2x，sin1，12sin2，即函数f(x)在区间上的值域是(1,2(2)f(x)sin3cos xcos 2x3cos x2cos2x3cos x1，令cos xt，则t1,1f(t)2t23t122，易知当t1时，f(t)min2123114.故f(x)的最小值为4.(3)设tsin xcos x，则t2sin2xcos2x2sin xcos x，sin xcos x，且t.yt(t1)21，t，当t1时，ymax1；当t时，ymin.函数的值域为
8、.点评：对于函数yAsin(x)，令tx，求出t的范围，再根据ysin t的图像求sin t的值域，这是常用的方法1函数f(x)3sin在区间上的值域为_当x时，2x，sin，故3sin，函数f(x)在区间上的值域为.2函数f(x)sin2xcos x的最大值是_1依题意，f(x)sin2xcos xcos2xcos x21，因为x，所以cos x0,1，因此当cos x时，f(x)max1. 考点三三角函数的单调性 求三角函数的单调区间三角函数单调区间的求法(1)将函数化为yAsin(x)或yAcos(x)的形式，若0，借助诱导公式将化为正数(2)根据ysin x和ycos x的单调区间及A
9、的正负，列不等式求解典例21(1)函数f(x)3sin的一个单调递减区间是()A. B.C. D.(2)函数ysin xcos x的单调递增区间是_(1)B(2)(1)f(x)3sin3sin.由2k2x2k，kZ得，kxk，kZ，k0时，x，k1时，x，k1时，x，是f(x)的一个单调递减区间，故选B.(2)ysin xcos xsin，由2kx2k(kZ)，解得2kx2k(kZ)函数的单调递增区间为(kZ)，又x，函数的单调递增区间为.点评：本例(2) 在整体求得函数ysin xcos x的增区间后，采用对k赋值的方式求得x上的区间已知三角函数的单调性求参数已知单调区间求参数范围的三种方法
10、典例22(1)(2020西安模拟)已知0，函数f(x)sin在上单调递减，则的取值范围是()A.(0,2 B.C. D.(2)(2018全国卷)若f(x)cos xsin x在a，a是减函数，则a的最大值是()A. B. C.D.(1)D(2)A(1)法一：(反子集法)x，x.f(x)在上单调递减，解得又0，kZ，k0，此时，故选D.法二：(子集法)由2kx2k，得x，kZ，因为f(x)sin在上单调递减，所以解得因为kZ，0，所以k0，所以，即的取值范围为.故选D.(2)f(x)cos xsin xcos，由0x得x.是f(x)的一个单调递减区间由题意知a，a，0a，则a的最大值为，故选A.
11、1(2020湖南省湘东六校联考)函数f(x)sin，则下列表述正确的是()Af(x)在上单调递减Bf(x)在上单调递增Cf(x)在上单调递减Df(x)在上单调递增Df(x)sin，由2x，kZ，解得x，kZ，当k0时，x，所以函数f(x)在上单调递增，故选D.2已知函数f(x)2sin(2x)(|)，若f(x)在区间上单调递增，则的取值范围是()A. B.C. D.C函数f(x)2sin(2x)在区间上单调递增，函数y2sin(2x)在区间上单调递减，由2k2x2k，kZ，解得kxk，kZ，k，k，kZ，kk，kZ，2k2k，kZ，|，令k0，解得，的取值范围是.故选C.3函数g(x)cos的
12、单调递增区间为_，g(x)coscos，欲求函数g(x)的单调递增区间，只需求函数ycos的单调递减区间由2k2x2k(kZ)，得kxk(kZ)故函数g(x)的单调递增区间为(kZ)因为x，所以函数g(x)的单调递增区间为，.4若函数f(x)sin(x)在区间上是单调递减函数，且函数值从1减少到1，则f_.由题意知，故T，所以2，又因为f 1，所以sin1.因为|，所以，即f(x)sin.故f sincos . 考点四三角函数的周期性、奇偶性、对称性 三角函数的周期性求三角函数周期的常用方法(1)公式法求周期函数f(x)Asin(x)B与f(x)Acos(x)B的周期为T；函数f(x)Atan
13、(x)B的周期T.(2)对称性求最值两对称轴距离的最小值和两对称中心距离的最小值都等于；对称中心到对称轴距离的最小值等于；两个最大(小)值点之差的最小值等于T.典例31(1)(2019全国卷)下列函数中，以为周期且在区间单调递增的是()Af(x)|cos 2x|Bf(x)|sin 2x|Cf(x)cos|x|Df(x)sin|x|(2)(2018全国卷)已知函数f(x)2cos2xsin2x2，则()Af(x)的最小正周期为，最大值为3Bf(x)的最小正周期为，最大值为4Cf(x)的最小正周期为2，最大值为3Df(x)的最小正周期为2，最大值为4(1)A(2)B(1)对于选项A，作出y|cos
14、 2x|的部分图像，如图1所示，则f(x)在上单调递增，且最小正周期T，故A正确对于选项B，作出f(x)|sin 2x|的部分图像，如图2所示，则f(x)在上单调递减，且最小正周期T，故B不正确对于选项C，f(x)cos|x|cos x，最小正周期T2，故C不正确对于选项D，作出f(x)sin|x|的部分图像，如图3所示显然f(x)不是周期函数，故D不正确故选A.图1图2图3(2)f(x)2cos2xsin2x22cos2xsin2x2sin2x2cos2x4cos2xsin2x3cos2x1(1cos 2x)1cos 2x，因此函数f(x)的最小正周期为，最大值为4，故选B.点评：带绝对值的
15、三角函数求周期时，一般画出函数的图像，结合图像求周期三角函数的奇偶性1.三角函数是奇、偶函数的充要条件(1)函数yAsin(x)(xR)是奇函数k(kZ)；(2)函数yAsin(x)(xR)是偶函数k(kZ)；(3)函数yAcos(x)(xR)是奇函数k(kZ)；(4)函数yAcos(x)(xR)是偶函数k(kZ)2若yf(x)为奇函数，则当x0时，y0；若yf(x)为偶函数，则当x0时，y取最大值或最小值典例32已知函数f(x)3sin，(0，)(1)若f(x)为偶函数，则_；(2)若f(x)为奇函数，则_.(1)(2)(1)因为f(x)3sin为偶函数，所以k，kZ，又因为(0，)，所以.
16、(2)因为f(x)3sin为奇函数，所以k，kZ，又(0，)，所以.三角函数的对称性求对称轴方程(对称中心坐标)的方法(1)求f(x)Asin(x)图像的对称轴方程，只需对xk(kZ)整理，对称中心横坐标只需令xk(kZ)，求x.(2)求f(x)Acos(x)的对称轴方程，只需对xk(kZ)整理，对称中心横坐标为xk(kZ)，求x即可(3)求f(x)Atan(x)的对称中心的横坐标，只需对x(kZ)，求x.典例33(1)已知函数f(x)2sin(0)的最小正周期为4，则该函数的图像()A关于点对称B关于点对称C关于直线x对称D关于直线x对称(2)已知函数ysin(2x)的图像关于直线x对称，则
17、的值为_(1)B(2)(1)因为函数f(x)2sin(0)的最小正周期是4，而T4，所以，即f(x)2sin.令k(kZ)，解得x2k(kZ)，故f(x)的对称轴为x2k(kZ)，令k(kZ)，解得x2k(kZ)故f(x)的对称中心为(kZ)，对比选项可知B正确(2)由题意得fsin1，k(kZ)，k(kZ)，.点评：(1)已知xa是函数f(x)Asin(x)的一条对称轴，则f(a)A，即ak，kZ.(2)已知点(b,0)是函数f(x)Asin(x)的一个对称中心，则f(b)0，即bk，kZ.1函数f(x)的最小正周期为()A B CD2Cf(x)sin 2x，函数f(x)的最小正周期为T，故选C.2(2020广西桂林模拟)已知函数f(x)sin(0)，其图像相邻两条对称轴之间的距离为，那么函数yf(x)的图像()A关于点对称B关于点对称C关于直线x对称D关于直线x对称B由题意知函数f(x)的周期T2，由得4，f(x)sin.由f sin1知，f(x)的图像关于直线x对称由f sin 00知，f(x)的图像关于点对称，故选B.3若函数y3cos为奇函数，则|的最小值为_由题意得k，kZ，k，kZ，当k1时，|，|的最小值为.
