1、课后素养落实(二十七)等比数列的性质(建议用时:40分钟) 一、选择题1公比为2的等比数列an的各项都是正数,且a3a1116,则a5()A1B2C4D8A法一:由a3a1116,即a122a121016,且a10,得a1所以a5a124241法二:由等比数列的性质,知aa3a1116又数列an的各项都是正数,所以a74又a7a5q2,则a512已知在等比数列an满足a13,a1a3a521,则a3a5a7()A21B42C63D84Ba13,a1a3a521,33q23q4211q2q47解得q22或q23(舍去)a3a5a7q2(a1a3a5)22142故选B3已知等比数列an中,an0,
2、a1,a99是方程x210x160的两根,则a40a50a60的值为()A32B64C256D64B由题意得,a1a9916,a40a60aa1a9916,又a500,a504,a40a50a60164644在各项不为零的等差数列an中,2a2 017a2a2 0190,数列bn是等比数列,且b2 018a2 018,则log2(b2 017b2 019)的值为()A1B2C4D8C因为等差数列an中a2 017a2 0192a2 018,所以2a2 017 a 2a2 019 4a2 018 a0,因为各项不为零,所以a2 0184,因为数列是等比数列,所以b2 017 b2 019 a 1
3、6所以log2(b2 017b2 019)log2164,故选C5已知方程(x2mx2)(x2nx2)0的四个根组成以为首项的等比数列,则等于()A B或CD以上都不对B不妨设是x2mx20的根,则m,其另一根为4,对方程x2nx20,设其根为x1,x2(x10,且lg an,lg an1,lg an2成等差数列,若a3a4a6a74,则a5_lg an,lg an1,lg an2成等差数列,aanan2,即为等比数列,a3a7a4a6a,从而a3a4a6a7a4,则a5,又an0,a58若等比数列an的各项均为正数,且a10a11a9a122e5,则ln a1ln a2ln a20_50因为
4、a10a11a9a122a10a112e5,所以a10a11e5所以ln a1ln a2ln a20ln(a1a2a20)ln(a1a20)(a2a19)(a10a11)ln(a10a11)1010ln(a10a11)10ln e550ln e50三、解答题9已知在数列an中,a11,an1,bn,求数列bn的通项公式解an122,2,即bn14bn2,bn14又a11,故b11,所以是首项为,公比为4的等比数列,所以bn4n1,bn10某城市2015年年底人口为100万人,人均住房面积为5平方米该城市拟自2016年年初开始每年新建住房245万平方米,到2023年年底,人均住房面积为24平方米
5、,则该城市的人口年平均增长率约是多少?(精确到0.001,参考公式(1x)818x(其中0x1)解设该城市的人口平均增长率为x(0x1),则该城市2015年年底到2023年年底人口数量组成等比数列,记为an则a1100,q1x,2023年年底人口数量为a9a1q8100(1x)82023年年底,住房总面积为100582452 460(万平方米)由题意得24,即(1x)8(1x)818x(0x1),18x,x0.003该城市的人口年平均增长率约是0.3%11(多选题)若一个数列的第m项等于这个数列的前m项的乘积,则称该数列为“m积数列”若各项均为正数的等比数列an是一个“2 016积数列”,且a
6、11,则当其前n项的乘积取最大值时,n的可能值为()A1 006B1 007C1 008D1 009BC由题意可知a1a2a3a2 016a2 016,故a1a2a3a2 0151,由于an是各项均为正数的等比数列且a11,所以a1 0081,公比0q1,所以a1 0071且0a1 0091,故当数列an的前n项的乘积取最大值时,n的值为1 007或1 008选BC12某纯净水厂在净化过程中,每增加一次过滤可减少水中杂质的20%,要使水中杂质减少到原来的5%以下,则至少需过滤的次数为(lg 20.301 0)()A5B10C14D15C设原杂质数为1,由题意,得各次过滤后水中杂质数成等比数列a
7、n,且a11,公比q120%,故an1(120%)n由题意可知(120%)n5%,即0.8n0.05两边取对数,得nlg 0.8lg 0.05,lg 0.8,即n13.41,故取n1413数列an满足an1an1(nN*,R且0),数列an1若是等比数列,则的值为_,若数列an1的首项为2,那么an的通项公式an_22n1由an1an1,得an11an2由于数列an1是等比数列,所以1,解得2首项为2,an122n12n即an2n114已知在等比数列an中,各项都是正数,且a1,a3,2a2成等差数列,则公比q的值为_,_132依题意可得2a12a2,即a3a12a2,整理得q212q,解得q1,各项都是正数,q0,q1q23215已知数列an的前n项和为Sn,在数列bn中,b1a1,bnanan1(n2),且anSnn(1)设cnan1,求证:cn是等比数列;(2)在(1)的条件下求数列bn的通项公式解(1)证明:anSnn,an1Sn1n1得an1anan112an1an1,2(an11)an1,首项c1a11,又a1a11,a1,c1,又cnan1,qcn是以为首项,公比为的等比数列(2)由(1)可知cn,ancn11当n2时,bnanan11又b1a1,代入上式也符合,bn