1、【KS5U原创】2014届高三一轮“双基突破训练”（详细解析+方法点拨） (11)一、选择题1设f(x)xln x，若f(x0)2，则x0()Ae2BeC.Dln 2【答案】B【解析】f(x)xln x，f(x)xln x1ln x.又f(x0)2，1ln x02.ln x01，x0e.2函数yf(x)的图像过原点且它的导数为yf(x)的图像是如图所示的一条直线，则yf(x)图像的顶点在()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限【答案】A【解析】设f(x)ax2bx，f(x)2axb，由图像知a0，在第一象限故选择A.3设双曲线y在点(3,2)处的切线与直线axy10垂直，则a()A2
2、B. C D2【答案】D【分析】本题求y的导数应先将函数化为y1，这样求导比直接利用商的导数法则求导简单【解析】y1，y，曲线y在点(3,2)处的切线斜率为ky|x3.由题意知axy10的斜率为k2，a2.4设气球以每秒100立方厘米的常速注入气体假设气体压力不变，那么当球半径为10厘米时，气球半径增加的速度为()A.厘米/秒 B.厘米/秒C.厘米/秒 D.厘米/秒【答案】A5曲线yxlnx的平行于直线xy10的切线方程是()Axy10 Bxy10Cxy0 Dy(lnx1)x【答案】A【解析】从所述切线平行于直线xy10出发，可以排除B、D，但无法辨析A、C，还应从函数的导数的角度去解决此题设
3、该切线与曲线相切的切点为(x0，y0)yxlnxx(lnx)lnxxlnx1曲线在(x0，x0lnx0)点的切线斜率为lnx01，已知该切线斜率为1，lnx011，即x01，切点坐标为(1,0)，所求切线方程为yx1即xy10，应选A.二、填空题6直线yxb是曲线yln x(x0)的一条切线，则实数b.【答案】ln 21【解析】y，令得x2，故切点(2，ln 2)，代入直线方程，得ln 22b，所以bln 21.7曲线f(x)2x2b与g(x)bx3在xx0处的切线互相垂直，则x0.【答案】【解析】由题意得f(x)4x，g(x)2x2.因为在xx0处切线互相垂直，即4x0(2x02)1，求得x
4、0.8点P是曲线yex上任意一点，则点P到直线yx的最小距离为_【答案】【解析】依题意得，平行直线yx，与曲线yex相切的切线对应的切点到yx的距离为所求，设此切点为P0(x0，ex0)，则曲线在P0点处的切线斜率为1，x00即切点坐标为(0,1)，所求距离为.三、解答题9求下列函数的导数：(1)y；(2)yx2cos xsin x；(3)y.【解析】(1)y(xcosxsinx).(2)y2xcosxx2sinxcosxsin(x)2xcosxx2sinxcosx.(3)y2，y(2).10已知曲线C：y4ax3x，过点Q(0，1)作C的切线l，切点为P.(1)求证：不论a怎样变化，点P总在
5、一条定直线上；(2)若a0，过点P且与l垂直的直线与x轴交于点T，求|OT|的最小值(O为坐标原点)【解析】(1)设P点坐标为(x0，y0)，则y04ax03x0.又y12ax21，则以点P为切点的切线斜率为y|xx012ax021，若x00，则y00，不合题意切线过点(0，1)，故斜率又为12ax021.x0，y04ax03x0x0，切点P总在直线yx上(2)l的斜率为，PT的斜率为.PT方程为yy0(xx0)令y0，得PT与x轴交点的横坐标为xx022x0，在(1)中，x0，又a0，所以x00.|OT|x22x0(x00)x22x0222.(当且仅当2x0，即x0时等号成立)|OT|的最小
6、值为2.11考察函数ysin x的图像，指出图像上哪些点处的切线与曲线有无数多个交点，哪些点处的切线与曲线有且仅有一个交点【解析】根据函数ysinx的图像，容易得到直线y1与y1是曲线的切线且与ysinx的图像有无数个交点，即在点及，kZ.由ysinx得ycosx，考察图像在原点处的情况，由导数的几何意义得x0时的切线的斜率为kycos01，切线方程为yx，因为在x时，sinxx成立，所以当x时，直线yx在函数ysinx的图像的上方同理当x，直线yx在函数ysinx的图像的下方，即切线yx与ysinx的图像只有一个交点，类似地，在点(，0)处的切线斜率为cos1，切线方程为y(x)，它与ysi
7、nx的图像也只有一个交点，因此在点(k，0)kZ处的切线与ysinx的图像有且仅有一个交点12(2011湖北卷文)设函数f(x)x32ax2bxa，g(x)x23x2，其中xR，a、b为常数，已知曲线yf(x)与yg(x)在点(2,0)处有相同的切线l.(1)求a、b的值，并写出切线l的方程；(2)若方程f(x)g(x)mx有三个互不相同的实根0、x1、x2，其中x1x2，且对任意的xx1，x2，f(x)g(x)0，即m.又对任意的xx1，x2，f(x)g(x)m(x1)恒成立特别地，取xx1时，f(x1)g(x1)mx1m成立，得m0，x1x22m0，故0x10，则f(x)g(x)mxx(xx1)(xx2)0，又f(x1)g(x1)mx10，所以函数f(x)，g(x)mx在xx1，x2的最大值为0.于是当m0时，对任意的xx1，x2，f(x)g(x)m(x1)恒成立综上，m的取值范围是.
