1、 类型1导数的几何意义【例1】已知函数f(x)x3x16(1)求曲线yf(x)在点(2，6)处的切线方程；(2)直线l为曲线yf(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；(3)如果曲线yf(x)的某一切线与直线yx3垂直，求切点坐标与切线的方程思路探究yf(x)在xx0处的切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)，当过某点时要先求切点，再求切线解(1)f(x)(x3x16)3x21，f(x)在点(2，6)处的切线的斜率为kf(2)13切线的方程为y13(x2)(6)，即y13x32(2)设切点为(x0，y0)，则直线l的斜率为f(x0)3x1，直线l的方程为y(3x1)(xx0)x
2、x016又直线l过点(0，0)，0(3x1)(x0)xx016整理得，x8，x02y0(2)3(2)1626k3(2)2113直线l的方程为y13x，切点坐标为(2，26)(3)切线与直线y3垂直，切线的斜率k4设切点坐标为(x0，y0)，则f(x0)3x14，x01或即切点为(1，14)或(1，18)切线方程为y4(x1)14或y4(x1)18即y4x18或y4x141导数的几何意义的应用：利用导数的几何意义可以求出曲线上任意一点处的切线方程yy0f(x0)(xx0)，明确“过点P(x0，y0)的曲线yf(x)的切线方程”与“在点P(x0，y0)处的曲线yf(x)的切线方程”的异同点2围绕着
3、切点有三个等量关系：切点(x0，y0)，则kf(x0)，y0f(x0)，(x0，y0)满足切线方程，在求解参数问题中经常用到跟进训练1设函数f(x)x2bxaln x，若曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线在x轴上的截距为2，在y轴上的截距为2，求a与b的值解f(x)2xb，f(1)1b，f(1)2ba，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为y1b(2ba)(x1)，即y(2ba)xa1切线在y轴上的截距为2，a12，a3又切线在x轴上的截距为2，2，b2a3，b2 类型2函数的单调性与导数【例2】(1)若函数f(x)xsin 2xasin x在(，)上单调递增，则a的取值范围是(
4、)A1，1BC D(2)设函数f(x)是奇函数f(x)(xR)的导函数，f(1)0，当x0时，xf(x)f(x)0成立的x的取值范围是()A(，1)(0，1)B(1，0)(1，)C(，1)(1，0)D(0，1)(1，)思路探究(1)利用f(x)单调递增f(x)0；(2)构造函数解决(1)C(2)A(1)f(x)1cos 2xacos x1(2cos2x1)acos xcos2xacos x，f(x)在R上单调递增，则f(x)0在R上恒成立，令cos xt，t1，1，则t2at0在1，1上恒成立，即4t23at50在1，1上恒成立，令g(t)4t23at5，则解得a，故选C(2)令g(x)，则g
5、(x)，由题意知，当x0时，g(x)0，g(x)在(0，)上是减函数f(x)是奇函数，f(1)0，f(1)f(1)0，g(1)0，当x(0，1)时，g(x)0，从而f(x)0；当x(1，)时，g(x)0，从而f(x)0又g(x)g(x)(x0)，g(x)是偶函数，当x(，1)时，g(x)0，从而f(x)0；当x(1，0)时，g(x)0，从而f(x)0综上，所求x的取值范围是(，1)(0，1)故选A利用导数确定参数的取值范围时，要充分利用f(x)与其导数f(x)之间的对应关系，然后结合函数的单调性等知识求解.求解参数范围的步骤为：(1)对含参数的函数f(x)求导，得到f(x)；(2)若函数f(x
6、)在(a，b)上单调递增，则f(x)0恒成立；若函数f(x)在(a，b)上单调递减，则f(x)0恒成立，得到关于参数的不等式，解出参数范围；(3)验证参数范围中取等号时，是否恒有f(x)0.若f(x)0恒成立，则函数f(x)在(a，b)上为常函数，舍去此参数值.跟进训练2若函数f(x)x3ax2(a1)x1在区间(1，4)上为减函数，在区间(6，)上为增函数，试求实数a的取值范围解函数f(x)的导数f(x)x2axa1令f(x)0，解得x1或xa1当a11，即a2时，函数f(x)在(1，)上为增函数，不合题意当a11，即a2时，函数f(x)在(，1)上为增函数，在(1，a1)上为减函数，在(a
7、1，)上为增函数依题意当x(1，4)时，f(x)0，当x(6，)时，f(x)0故4a16，即5a7因此a的取值范围是5，7 类型3函数的极值、最值与导数【例3】已知函数f(x)x3ax2b的图象上一点P(1，0)且在点P处的切线与直线3xy0平行(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数f(x)在区间0，t(0t3)上的最大值和最小值解(1)因为f(x)3x22ax，曲线在P(1，0)处的切线斜率为f(1)32a，即32a3，a3又函数过点(1，0)，即2b0，b2所以a3，b2，f(x)x33x22(2)由(1)得f(x)x33x22，得f(x)3x26x由f(x)0，得x0或x2当0t2时
8、，在区间(0，t)上，f(x)0，f(x)在0，t上是减函数，所以f(x)maxf(0)2，f(x)minf(t)t33t22当2t3时，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x0(0，2)2(2，t)tf(x)00f(x)22t33t22f(x)minf(2)2，f(x)max为f(0)与f(t)中较大的一个f(t)f(0)t33t2t2(t3)0，所以f(x)maxf(0)21(变结论)在本例条件不变的情况下，若关于x的方程f(x)c在区间1，3上恰有两个相异的实根，求实数c的取值范围解令g(x)f(x)cx33x22c，则g(x)3x26x3x(x2)在x1，2)上，g(x)0
9、；在x(2，3上，g(x)0要使g(x)0在1，3上恰有两个相异的实根，则解得2c02(变结论)在本例条件不变的情况下，若ym与yf(x)的图象相切，求m的值解由例(1)知f(x)x33x22且x0时f(x)的极大值为f(0)2x2时f(x)的极小值为f(2)2ym与yf(x)的图象相切，m2或21求连续函数f(x)在区间a，b上的最值的方法(1)若函数f(x)在区间a，b上单调递增或递减，则f(a)与f(b)一个为最大值，一个为最小值；(2)若函数f(x)在闭区间a，b内有极值，则要先求出a，b上的极值，再与f(a)，f(b)比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成2已知函数的极值(
10、最值)情况求参数的值(取值范围)的方法根据极值和最值的关系，与最值有关的问题一般可以转化为极值问题已知f(x)在某点x0处有极值，求参数的值(取值范围)时，应逆向考虑，可先将参数当作常数，按照求极值的一般方法求解，再依据极值与导数的关系，列等式(不等式)求解跟进训练3已知函数f(x)a2ln xx2ax(1)若a1时，求f(x)的极值；(2)若f(x)0恒成立，求a的取值范围解(1)当a1时，f(x)ln xx2x(x0)，则f(x)2x1令f(x)0，即0，得2x2x10，由于x0，解得x当0x时，f(x)0，当x时，f(x)0所以，函数yf(x)有极大值fln，无极小值(2)因为f(x)0
11、恒成立，所以f(x)max0，f(x)2xa当a0时，令f(x)0，则xa，当0xa时，f(x)0，此时，函数yf(x)单调递增；当xa时，f(x)0，此时，函数yf(x)单调递减f(x)maxf(a)a2ln aa2a2a2ln a0，0a1；当a0时，f(x)x20，不恒成立；当a0时，令f(x)0，则x，当0x时，f(x)0，此时，函数yf(x)单调递增；当x时，f(x)0，此时，函数yf(x)单调递减f(x)maxfa2lna2lna20，即ln，得0e，解得2ea0综上所述，实数a的取值范围为(0，1) 类型4导数在生活中的应用【例4】如图，曲线AH是一条居民平时散步的小道，小道两旁
12、是空地，当地政府为了丰富居民的业余生活，要在小道两旁规划出两块地来修建休闲活动场所已知空地ABCD和规划的两块用地(阴影区域)都是矩形，AB144，AD150，CH30，若以AB所在直线为x轴，A为原点，建立如图平面直角坐标系，则曲线AH的方程为ya，记AMt，规划的两块用地的面积之和为S(单位：米)(1)求S关于t的函数S(t)；(2)求S的最大值思路探究(1)易知H(144，120)，代入AH的方程即可求得参数a10，从而得到P(t，10)，进而求得S(t)的表达式(2)利用换元法，令m，则S150m220m31 440m(0m12)通过求导确定极值点后，结合单调性即可得到最大值解(1)根
13、据所建平面直角坐标系，可得点H(144，120)，所以120a，解得a10，又AMt，所以P(t，10)，所以S关于t的函数关系式为S(t)t(15010)(144t)10150t20t1 440(0t144)(2)令m，则S150m220m31 440m(0m12)，所以S300 m60m21 44060(m3)(m8)，令S0，解得0m8；令S0，解得8m12；所以函数S在区间(0，8)上单调递增，在区间(8，12)上单调递减，所以当m8时，S取得最大值，为10 880平方米所以S的最大值为10 880平方米解决优化问题的步骤(1)要分析问题中各个数量之间的关系，建立适当的函数模型，并确定
14、函数的定义域(2)要通过研究相应函数的性质，如单调性、极值与最值，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具(3)验证数学问题的解是否满足实际意义跟进训练4某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱体，左右两端均为半球体，按照设计要求容器的体积为立方米假设该容器的建造费用仅与其表面积有关已知圆柱体部分每平方米建造费用为3千元，半球体部分每平方米建造费用为4千元设该容器的总建造费用为y千元(1)将y表示成r的函数，并求该函数的定义域；(2)确定r和l为何值时，该容器的建造费用最小，并求出最小建造费用解(1)由题意可知r2l，l又圆柱的侧面积为
15、2rl，两端两个半球的表面积之和为4r2所以y34r248r2又l0r2，所以定义域为(0，2)(2)因为y16r，所以令y0，得2r2；令y0，得0r2所以当r2米时，该容器的建造费用最小，为96千元，此时l米1(2020全国卷)函数f(x)x42x3的图象在点(1，f(1)处的切线方程为()Ay2x1By2x1Cy2x3Dy2x1B法一：f(x)x42x3，f(x)4x36x2，f(1)2，又f(1)121，所求的切线方程为y12(x1)，即y2x1故选B法二：f(x)x42x3，f(x)4x36x2，f(1)2，切线的斜率为2，排除C，D又f(1)121，切线过点(1，1)，排除A故选B
16、2(2020全国卷)若直线l与曲线y和圆x2y2都相切，则l的方程为()Ay2x1By2xCyx1DyxD易知直线l的斜率存在，设直线l的方程为ykxb，则，设直线l与曲线y的切点坐标为(x0，)(x00)，则y|xx0x0k，kx0b，由可得b，将b，kx0代入得x01或x0(舍去)，所以kb，故直线l的方程为yx3(2020全国卷)设函数f(x)，若f(1)，则a_1由于f(x)，故f(1)，解得a14(2020全国卷)曲线yln xx1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为_y2x设切点坐标为(x0，ln x0x01)由题意得y1，则该切线的斜率k12，解得x01，所以切点坐标为(1，2
17、)，所以该切线的方程为y22(x1)，即y2x5(2020全国卷)已知函数f(x)x3kxk2(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)有三个零点，求k的取值范围解(1)f(x)3x2k当k0时，f(x)x3，故f(x)在(，)上单调递增当k0时，f(x)3x2k0，故f(x)在(，)上单调递增当k0时，令f(x)0，得x当x时，f(x)0；当x时，f(x)0；当x时，f(x)0故f(x)在，单调递增，在单调递减(2)由(1)知，当k0时，f(x)在(，)上单调递增，f(x)不可能有三个零点当k0时，x为f(x)的极大值点，x为f(x)的极小值点此时，k1k1且f(k1)0，f(k1)0，f
18、0根据f(x)的单调性，当且仅当f0，即k20时，f(x)有三个零点，解得k因此k的取值范围为6(2020全国卷)已知函数f(x)2ln x1(1)若f(x)2xc，求c的取值范围；(2)设a0，讨论函数g(x)的单调性解设h(x)f(x)2xc，则h(x)2ln x2x1c，其定义域为(0，)，h(x)2(1)当0x0；当x1时，h(x)0所以h(x)在区间(0，1)单调递增，在区间(1，)单调递减从而当x1时，h(x)取得最大值，最大值为h(1)1c故当且仅当1c0，即c1时，f(x)2xc所以c的取值范围为1，)(2)g(x)，x(0，a)(a，)g(x)取c1得h(x)2ln x2x2
19、，h(1)0，则由(1)知，当x1时，h(x)0，即1xln x0故当x(0，a)(a，)时，1ln 0，从而g(x)0所以g(x)在区间(0，a)，(a，)上单调递减7(2020全国卷)已知函数f(x)exa(x2)(1)当a1时，讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围解(1)当a1时，f(x)exx2，则f(x)ex1当x0时，f(x)0时，f(x)0所以f(x)在(，0)上单调递减，在(0，)上单调递增(2)f(x)exa当a0时，f(x)0，所以f(x)在(，)上单调递增，故f(x)至多存在一个零点，不合题意当a0时，由f(x)0可得xln a当x(，ln a)时，f(x)0所以f(x)在(，ln a)上单调递减，在(ln a，)上单调递增故当xln a时，f(x)取得最小值，最小值为f(ln a)a(1ln a)()若0，则f(ln a)0，所以f(x)在(，ln a)上存在唯一零点由(1)知，当x2时，exx20，所以当x4且x2ln(2a)时，f(x)eea(x2)ea(x2)2a0故f(x)在(ln a，)上存在唯一零点从而f(x)在(，)上有两个零点综上，a的取值范围是
