1、4.4数学归纳法*学 习 任 务核 心 素 养1了解数学归纳法的原理(难点、易混点)2能用数学归纳法证明一些简单的数学命题(重点、难点)1通过对数学归纳法定义的学习，体现了数学抽象的核心素养2通过对数学归纳法的应用，培养逻辑推理的核心素养我们中国过去有个习俗，子女从父亲的姓氏，如父亲姓王，其子女都姓王假设我们知道一个男子姓王，假设他每一代后代都有男子，而且严格按照我国过去的习俗，那么他的儿子姓什么？孙子呢？玄孙呢？如果他有32代孙，你能确定他的32代孙的姓吗？如果他有无限代孙呢？为了保证各代孙辈都姓王，必须严格按照中国过去的习俗，否则无法递推下去，也就是说要保证第n代孙姓王能推出第（n1）代孙
2、也姓王，当然还要求第1个人必须姓王了思考：通过这个例子，我们能得到什么启示呢？知识点数学归纳法(1)数学归纳法的定义一般地，证明一个与正整数n有关的数学命题，可按如下两个步骤进行：证明当nn0(n0N*)时命题成立；假设当nk(kn0，kN*)时命题成立，证明当nk1时命题也成立根据就可以断定命题对于从n0开始的所有正整数n都成立，上述证明方法叫作数学归纳法(2)数学归纳法的框图表示数学归纳法的第一步n0的初始值是否一定为1?提示不一定如证明n边形的内角和为(n2)180，第一个值n031思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)用数学归纳法证题时可以只证明归纳递推即可()(2)用数学归纳法
3、证明3nn2(n3，nN*)，第一步验证n3()(3)设Sk，则Sk1()提示(1)数学归纳法两个步骤缺一不可，(3)中，Sk1答案(1)(2)(3) 2用数学归纳法证明1aa2an1(a1，nN*)，在验证n1成立时，计算左边所得的项是()A1B1aC1aa2D1aa2a3C当n1时，左边1aa111aa2，故C正确3用数学归纳法证明123(2n1)(n1)(2n1)时，从“nk”到“nk1”，左边需增添的代数式是()A(2k1)(2k2)B(2k1)(2k1)C(2k2)(2k3)D(2k2)(2k4)C当nk时，左边是共有2k1个连续自然数相加，即123(2k1)，所以当nk1时，左边共
4、有2k3个连续自然数相加，即123(2k1)(2k2)(2k3)所以左边需增添的代数式是(2k2)(2k3)故选C 类型1用数学归纳法证明等式【例1】(1)用数学归纳法证明(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)(nN*)，“从k到k1”左端增乘的代数式为_(2)用数学归纳法证明：(nN*)(1)2(2k1)令f(n)(n1)(n2)(nn)，则f(k)(k1) (k2)(kk)，f(k1)(k2)(k3)(kk)(2k1)(2k2)，所以2(2k1)(2)证明： 当n1时，成立假设当nk(kN*)时等式成立，即有，则当nk1时，即当nk1时等式也成立由可得对于任意的nN*等式都成立用数学归
5、纳法证明恒等式时，应关注以下三点(1)弄清n取第一个值n0时等式两端项的情况；(2)弄清从nk到nk1等式两端增加了哪些项，减少了哪些项；(3)证明nk1时结论也成立，要设法将待证式与归纳假设建立联系，并朝nk1证明目标的表达式变形跟进训练1用数学归纳法证明等式12223242(1)n1n2(1)n1证明当n1时，左边121，右边(1)01，左边右边，等式成立；假设当nk(k1，kN*)时等式成立，即有12223242(1)k1k2(1)k1，那么，当nk1时，12223242(1)k1k2(1)k(k1)2(1)k1(1)k(k1)2(1)k(k1)(1)k，所以当nk1时，等式也成立，由知
6、，对任意nN*，都有12223242(1)n1n2(1)n1 类型2归纳猜想证明【例2】已知数列，的前n项和为Sn，计算S1，S2，S3，S4，根据计算结果，猜想Sn的表达式，并用数学归纳法进行证明解S1；S2；S3；S4可以看出，上面表示四个结果的分数中，分子与项数n一致，分母可用项数n表示为3n1于是可以猜想Sn下面用数学归纳法证明这个猜想(1)当n1时，左边S1，右边，猜想成立(2)假设当nk(kN*)时猜想成立，即，则当nk1时， ，所以，当nk1时猜想也成立根据(1)和(2)，可知猜想对任意nN*都成立1“归纳猜想证明”的一般环节2“归纳猜想证明”的主要题型(1)已知数列的递推公式，
7、求通项或前n项和(2)由一些恒等式、不等式改编的一些探究性问题，求使命题成立的参数值是否存在(3)给出一些简单的命题(n1，2，3，)，猜想并证明对任意正整数n都成立的一般性命题跟进训练2已知数列an的前n项和为Sn，且满足a13，Snan1n21(n2)求a2，a3，a4的值，猜想数列an的通项公式并用数学归纳法证明解当n2时，S2a1221，即3a28，解得a25；当n3时，S3a2321，即35a315，解得a37；当n4时，S4a3421，即357a424，解得a49猜想an2n1，下面用数学归纳法证明：当n1时，a12113，猜想成立；假设当nk(kN*)时， 猜想成立， 即ak2k
8、1，Skk22k，则当nk1时，Sk1ak(k1)21，Skak1ak(k1)21，ak1ak(k1)21Sk，ak12k1(k1)21(k22k)2(k1)1，所以猜想成立综上所述， 对于任意nN*，an2n1均成立 类型3用数学归纳法证明不等式【例3】用数学归纳法证明11n(nN*)证明(1)当n1时，1，命题成立(2)假设当nk(kN*)时，命题成立，即1 1 k，则当nk1时，1 1 2k 1 又1 k2k (k1)，即当nk1时，命题成立由(1)和(2)可知，命题对所有的nN*都成立用数学归纳法证明不等式往往比证明恒等式难度更大一些，方法更灵活些，用数学归纳法证明的第二步，即已知f(
9、k)g(k)，求证f(k1)g(k1)时应注意灵活运用证明不等式的一般方法(比较法、分析法、综合法).具体证明过程中要注意以下两点：(1)先凑假设，作等价变换；(2)瞄准当nk1时的递推目标，有目的地放缩、分析，直到凑出结论.)跟进训练3试用数学归纳法证明12(n2，nN*)证明(1)当n2时，12，命题成立(2)假设nk(k2，且kN*)时命题成立，即12则当nk1时，122，kN*)时，命题成立，即平面内满足题设的任何k条直线交点个数为f(k)k(k1)，那么当nk1时，任取一条直线l，除l以外其他k条直线交点个数为f(k)k(k1)，l与其他k条直线交点个数为k，从而k1条直线共有f(k
10、)k个交点，即f(k1)f(k)kk(k1)kk(k12)k(k1)(k1)(k1)1，当nk1时，命题成立由(1)(2)可知，对任意nN*，n2，命题都成立用数学归纳法证明几何问题时，一要注意数形结合，二要注意有必要的文字说明.跟进训练4平面内有n(nN*)个圆，其中每两个圆相交于两点，并且每三个圆都不相交于同一点，求证：这n个圆把平面分成f(n)n2n2部分证明(1)当n1时，分为2块，f(1)2，命题成立；(2)假设当nk(kN*)时，被分成f(k)k2k2部分，那么当nk1时，依题意，第k1个圆与前k个圆产生2k个交点，第k1个圆被截为2k段弧，每段弧把所经过的区域分为两部分，所以平面
11、上净增加了2k个区域所以f(k1)f(k)2kk2k22k(k1)2(k1)2，即当nk1时，命题成立由(1)(2)知命题成立1用数学归纳法证明n33n23n1这一不等式时，应注意n必须为()AnN*BnN*，n2CnN*，n3DnN*，n4D当n1，n2，n3时，显然不等式不成立，当n4时，6461不等式成立，故用数学归纳法证明n33n23n1这一不等式时，应注意n必须为n4，nN*，故选D2用数学归纳法证明12(n2)时，第一步需要证明()A12B12C12D12C用数学归纳法证明12(n2)(nN*)，第一步应验证不等式12故选C3用数学归纳法证明f(n)的过程中，f(k1)f(k)_依
12、题意f(k)，f(k1)，所以f(k1)f(k) 4用数学归纳法证明假设nk时，不等式成立，则当nk1时，应推证的目标不等式是_从不等式结构看，左边nk1时，最后一项为，前面的分母的底数是连续的整数，右边nk1时，式子为，即不等式为5用数学归纳法证明：当n2，nN*时，证明(1)当n2时，左边1，右边，n2时等式成立(2)假设当nk(k2，kN*)时等式成立，即，那么当nk1时，当nk1时，等式也成立根据(1)和(2)知，对任意n2，nN*，等式都成立回顾本节知识，自我完成以下问题：用数学归纳法证明数学命题的步骤是什么？提示(1)证明当nn0(n0N*)时命题成立；(2)假设当nk(kn0，kN*)时命题成立，证明当nk1时命题也成立.)
