1、11.3 余弦定理、正弦定理的应用 第11章 解三角形 学 习 任 务核 心 素 养 1能将实际问题转化为解三角形问题(难点)2能够用正、余弦定理求解与距离、高度有关的实际应用问题(重点)通过利用正、余弦定理求解实际问题中的距离、高度，培养直观想象及数学建模素养 情境导学探新知 NO.1知识点 天文观测，航海和地理测量是人类认识自然的重要方面，解三角形的理论在其中发挥了重要作用许多实际问题都可以转化为求三角形的边或角的问题那么，如何利用这些关系解决实际问题？知识点 测量中的有关角的概念 1仰角和俯角：与视线在同一铅垂面内的水平线和视线的夹角视线在水平线上方叫_，视线在水平线下方时叫_如图(1)
2、图(1)仰角俯角2方位角：从指北方向线顺时针转到目标方向线所成的_，如图(2)，方向线 PA，PB 的位角分别为 40，240 图(2)图(3)水平角3方向角：指北或指南的方向线与目标方向线所成的_90的角，叫方向角，它是方位角的另一种表示形式如图(3)，方向线OA，OB 的方向角分别为北偏东 60，南偏西 30小于合作探究释疑难 NO.2类型1 类型2 类型3 类型 1 正、余弦定理在物理学中的应用【例 1】如图，墙上有一个三角形灯架 OAB，灯所受的重力为 10 N，且 OA，OB 都是细杆，只受沿杆方向的力试求杆 OA，OB 所受的力(结果精确到 0.1)解 如图，作OE F，将 F 沿
3、 A 到 O，O 到 B 两个方向进行分解，即作OCED，则ODCE F1，OC F2由题设条件可知，|OE|10，OCE50，OEC70，所以COE180507060 在OCE 中，由正弦定理，得|F|sin 50|F1|sin 60，|F|sin 50|F2|sin 70，因此，|F1|10sin 60sin 50 11.3 N，|F2|10sin 70sin 50 12.3 N 即灯杆 OA 所受的力为 11.3 N，灯杆 OB 所受的力为 12.3 N 在运用正弦定理、余弦定理解决力的合成与分解问题时，通常涉及平行四边形，根据题意，选择一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出实际问
4、题的解.跟进训练 1作用于同一点的三个力 F1，F2，F3 平衡已知 F130 N，F250 N，F1 与 F2 之间的夹角是 60，求 F3 的大小与方向(精确到0.1)解 F3 应和 F1，F2 的合力 F 平衡，所以 F3 和 F在同一直线上，并且大小相等，方向相反如图，在OF1F 中，由余弦定理，得F 30250223050cos 12070(N)，再由正弦定理，得 sinF1OF50sin 120705 314，所以F1OF38.2，从而F1OF3141.8 即 F3 为 70 N，F3 和 F1 间的夹角为 141.8 类型 2 正、余弦定理在几何中的应用【例 2】如图，在ABC
5、中，B4，AC2 5，cos C2 55 (1)求 sinBAC 的值；(2)设 BC 的中点为 D，求中线 AD 的长 解(1)因为 cos C2 55，且 C 是三角形的内角，所以 sin C 1cos2C12 552 55 所以 sinBACsin(BC)sin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C 22 2 55 22 55 3 1010 (2)在ABC 中，由正弦定理得，BCsinBAC ACsin B，则 BC ACsin BsinBAC2 5223 1010 6，所以 CD12BC3 又在ADC 中，AC2 5，cos C2 55，所以由余弦定理得，AD AC2CD22
6、ACCDcos C 20922 532 55 5 三角形中几何计算问题的解题思路(1)正确挖掘图形中的几何条件，简化运算是解题要点，善于应用正弦定理、余弦定理，只需通过解三角形，一般问题便能很快解决(2)此类问题突破的关键是仔细观察，发现图形中较隐蔽的几何条件 跟进训练 2如图所示，ACD 是等边三角形，ABC 是等腰直角三角形，ACB90，BD 交 AC 于 E，AB2(1)求 cosCBE 的值；(2)求 AE 解(1)因为BCD9060150，CBACCD，所以CBE15 所以 cosCBEcos(4530)6 24(2)在ABE 中，AB2，由已知和(1)知ABEABCCBE45153
7、0，AEBACBEBC9015105，由正弦定理，得 AEsin 302sin 105，AE2sin 30sin 1052126 24 6 2 类型 3 正、余弦定理在测量学中的应用 测量距离问题【例 3】某基地进行实兵对抗演习，红方为了准确分析战场形势，从相距 32 a(km)的军事基地 C 和 D 处测得蓝方两支精锐部队分别在 A 处和 B 处，且ADB30，BDC30，DCA60，ACB45，如图所示，求蓝方这两支精锐部队间的距离解 法一：ADCADBBDC60 ACD60，DAC60，ADCD 32 a(km)在BCD 中，DBC1803010545，由正弦定理得BDsinBCDCDs
8、inDBC，得 BDCDsinBCDsinDBC 32 a6 24223 34a(km)在ADB 中，由余弦定理得 AB2AD2BD22ADBDcosADB 34a23 34a223 34a 32 a 32 38a2，AB 64 a(km)故蓝方这两支精锐部队间的距离为 64 a(km)法二：在BCD 中，CBD1803010545，由正弦定理得 BCsin 30 CDsin 45，则 BCCDsin 30sin 45 64 a(km)，在ACD 中，CAD180606060，所以ACD 为等边三角形 因为ADBBDC，所以 BD 为 AC 的垂直平分线，所以 ABBC 64 a(km)故蓝方
9、这两支精锐部队间的距离为 64 a(km)测量高度问题【例 4】济南泉城广场上的泉标是隶书“泉”字，其造型流畅别致，成了济南的标志和象征小明同学想测量泉标的高度，于是他在广场的 A 点测得泉标顶端的仰角为 60，他又沿着泉标底部方向前进 15.2 m，到达 B 点，又测得泉标顶端的仰角为 80你能帮小明同学求出泉标的高度吗？(精确至 1 m)解 如图所示，点 C，D 分别为泉标的底部和顶端依题意，得BAD60，CBD80，AB15.2 m，则ABD100，故ADB180(60100)20 在ABD 中，根据正弦定理，得 BDsin 60ABsinADB，BDABsin 60sin 20 15.
10、2sin 60sin 2038.5 m 在 RtBCD 中，CDBDsin 8038.5sin 8038 m 即泉城广场上泉标的高约为 38 m 1解决测量高度问题的一般步骤(1)画图：根据已知条件画出示意图；(2)分析三角形：分析与问题有关的三角形；(3)求解：运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解在解题中，要综合运用立体几何知识与平面几何知识，注意方程思想的运用 2测量距离问题分为三种类型：两点间不可通又不可视，两点间可视但不可达，两点都不可达解决此问题的方法是，选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解 提醒：解题时要注意题目
11、条件和实际意义中的隐含信息，避免出现增解或漏解 跟进训练 3如图所示，A，B 是水平面上的两个点，相距 800 m，在 A 点测得山顶 C 的仰角为 45，BAD120，ABD45，其中 D 是点 C 到水平面的垂足，求山高 CD 解 因为 CD平面 ABD，CAD45，所以 CDAD，因此只需在ABD 中求出 AD 即可 在ABD 中，BDA1804512015，由正弦定理得 ABsin 15 ADsin 45，所以 ADABsin 45sin 15 800 226 24800(31)(m)即山的高度 CD 为 800(31)m 4如图，A，B 是海面上位于东西方向相距 5(3 3)海里的两
12、个观测点，现位于 A 点北偏东 45，B 点北偏西 60的 D 点有一艘轮船发出求救信号，位于 B 点南偏西 60且与 B 点相距 20 3海里的 C点的救援船立即前往营救，其航行速度为 30 海里每小时，该救援船到达 D 点至少需要几小时？解 由题意知 AB5(3 3)，DBA906030，DAB45，所以ADB105，所以 sin 105sin 45cos 60sin 60cos 45 22 12 32 22 2 64，在ABD 中，由正弦定理得BDsinDABABsinADB，所 以 BDABsinDABsinADB 53 3sin 45sin 10553 3 222 6410 3，又D
13、BC180606060，BC20 3，在DBC 中，由余弦定理得 CD2BD2BC22BDBCcos 60 3001 200210 320 312900，所以 CD30(海里)，则至少需要的时间 t30301(小时)即该救援船到达 D 点至少需要 1 小时 当堂达标夯基础 NO.31 2 3 4 5 1若点 A 在点 C 的北偏东 60方向上，点 B 在点 C 的南偏东 30方向上，且 ACBC，则点 A 在点 B 的()A北偏东 15方向上B北偏西 15方向上 C北偏东 10方向上D北偏西 10方向上 1 2 3 4 5 A 由题意，可得几何位置关系如图所示 则CBE30，ABC45，所以A
14、BE15，故点 A 在点 B的北偏东 15方向上故选 A 1 2 3 4 5 2如图，在限速为 90 km/h 的公路 AB 旁有一测速站 P，已知点P 距测速区起点 A 的距离为 0.08 km，距测速区终点 B 的距离为 0.05 km，且APB60，现测得某辆汽车从 A 点行驶到 B 点所用的时间为 3 s，则此车的速度介于()A6070 km/h B7080 km/h C8090 km/h D90100 km/h 1 2 3 4 5 C 由余弦定理得 AB 0.0820.05220.080.05cos 600.07 km，则此车的速度为0.073 3 60071284 km/h故选 C
15、 1 2 3 4 5 3身高相同的甲、乙两人在同一地平面上的不同方向观测 20 m高的旗杆，甲观测的仰角为 50，乙观测的仰角为 40，用 d1，d2 分别表示甲、乙两人离旗杆的距离，那么有()Ad1d2Bd120 m Dd2tan 40，所以 d1d2 又因为 h20 m，tan 451，所以 d120 m，故选 C 1 2 3 4 5 4一艘船以 4 km/h 的速度沿着与水流方向成 120的方向航行，已知河水流速为 2 km/h，则经过 3 h，该船实际航程为_ km 6 v实 2242242cos 602 3(km/h)所以实际航程为 2 3 36(km)5 1 2 3 4 5某市在“
16、旧城改造”工程中，计划在如图所示的一块三角形空地上种植草皮以美化环境已知这种草皮价格为 a 元/m2，则购买这种草皮需要_元 150a S122030sin 15012203012150(m2)，购买这种草皮需要 150a 元 回顾本节知识，自我完成以下问题：1如图，A，B 两点在河的对岸，且不可到达，如何测量其两点间的距离？提示 在河岸这边选取点 C，D，测得 CDa，ACD，BCD，BDC，ADC，则在ACD 和BCD 中应用正弦定理可求 AC，BC 的长，进而在ACB 中应用余弦定理求 AB 2如图，如何测量山顶塔 AB 的高？(测量者的身高忽略不记)提示 测量者在山下先选择一基点 P，测出此时山顶的仰角，前进 a 米后，再测出此时山顶的仰角，则借助直角三角形的边角关系可求塔顶距地面的高 h，进而利用 ABhH 求解 点击右图进入 课 后 素 养 落 实 谢谢观看 THANK YOU!
