1、第4课时 数系的扩充与复数的引入 考点探究挑战高考 考向瞭望把脉高考 第4课时 双基研习面对高考 双基研习面对高考 1复数的概念(1)复数：形如abi(a，bR)的数，其中i叫做虚数单位，a和b分别叫做它的_和_(2)复数相等：abicdi_.(3)共轭复数：abi与cdi共轭_.实部虚部ac且bdac；bd基础梳理(4)复数的分类实数：b0.虚数：_纯虚数：_.非纯虚数：_.b0a0a0思考感悟已知z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，若z1z2，则ac说法正确吗？提示：正确因为z1，z2至少有一个为虚数时是不能比较大小的，故z1，z2均为实数，即z1a，z2c，所以z1z2，即ac.
2、2复数的几何意义(1)复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面，横轴叫做实轴，_叫做虚轴实轴上的点都表示_；除原点外，虚轴上的点都表示_(2)复数与点：复数zabi 复平面内的点Z(a，b)(a，bR)(3)复数与向量：复数zabi 平面向量(a，b)(a，bR)(4)复数的模：向量的模r叫做复数zabi的模，记作_，即|z|abi|_.竖轴实数纯虚数|z|或|abi|a2b2OZOZ3复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设 z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，则加法：z1z2(abi)(cdi)_；减法：z1z2(abi)(cdi)_；乘法：z1z2(abi)(cd
3、i)_.(ac)(bd)i(ac)(bd)i(acbd)(adbc)i 除 法：z1z2 abicdi abicdicdicdi acbdbcadic2d2(cdi0)；i 的幂运算：i4n1，i4n1i，i4n21，i4n3i(nZ)(2)复数加法的运算律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何 z1、z2、z3C，有：z1z2_，(z1z2)z3_z2z1z1(z2z3)课前热身 1下列命题正确的是()(i)21；i3i；若ab，则aibi；若zC，则z20.A BCD答案：A2(教材习题改编)复数z13i，z21i，则zz1z2在复平面内对应的点位于()A第一象限B第二象限C第三象限D第四
4、象限答案：D3(2010 年高考湖南卷)复数 21i等于()A1i B1iC1i D1i答案：A4(ai)22i，则实数a_.答案：15已知 z1i2i，则复数 z_.答案：13i考点探究挑战高考 考点突破 复数的有关概念及其几何意义 处理有关复数的基本概念问题，关键是找准复数的实部和虚部，从定义出发，把复数问题转化成实数问题来处理每一个复数 zabi(a，bR)，在复平面内有唯一的一个点 Z(a，b)和它对应，而点 Z(a，b)与OZ 存在惟一对应关系，故复数可用点或向量表示当实数a为何值时，复数za22a(a23a2)i(1)为实数；(2)为纯虚数；(3)对应的点在第一象限内？【思路分析】
5、由复数的分类条件和复数的几何意义求解【解】(1)由z为实数，得a23a20，即(a1)(a2)0，解得a1或a2.例1(2)由 z 为纯虚数，得a22a0，a23a20.由，得 a0 或 a2，由，得 a1 且 a2，a0.(3)当 z 对应的点在第一象限时，有a22a0a23a20，得a0或a2a1或a2，解得 a0 或 a2.a 的取值范围是(，0)(2，)【规律小结】在复平面内，实数全部落在实轴即x轴上，纯虚数在除原点外的虚轴即y轴上，而其他复数均在四个象限内在第一象限a0，b0；第二象限a0，b0；第三象限a0，b0；第四象限a0，b0.互动探究 将本例中的第(3)问改为“对应的点在第
6、三象限”，又如何求解？解：z 对应的点在第三象限，则a22a0a23a20，即0a21a2，解得 1a2.a 的取值范围是(1,2)复数相等(1)abicdiac，bd，(a，b，c，dR)(2)利用复数相等可实现复数问题向实数问题的转化解题时要把等号两边的复数化为标准的代数形式(2010 年高考辽宁卷)设 a，b 为实数，若复数12iabi1i，则()Aa32，b12 Ba3，b1Ca12，b32Da1，b3例2【思路分析】等式两边同乘abi，利用复数相等列方程【解析】由12iabi1i，可得 12i(ab)(ab)i，由对应项相等可以得到ab1ab2a32b12，选 A.【答案】A复数的四
7、则运算 复数的四则运算类似于多项式的四则运算，此时含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可，但要注意把i的幂写成最简单的形式，在运算过程中，要熟悉i的特点及熟练应用运算技巧(2010 年高考福建卷)i 是虚数单位，(1i1i)4 等于()Ai BiC1 D1例3【思路分析】主要是应用复数加、减、乘、除的运算法则及其运算技巧【解析】(1i1i)41i21i1i4(2i2)4i41，故选 C.【答案】C【名师点评】在进行复数的代数运算时，记住以下结论，可提高计算速度(1)(1i)22i；(2)(1i)22i；(3)i；(4)i；(5)baii(abi)方法感悟 方法技
8、巧1复数的代数运算(1)复数代数运算的实质是转化为实数运算，在转化时常用的知识有复数相等，复数的加、减、乘、除运算法则，模的性质，共轭复数的性质等(如例3)(2)复数的代数运算常考查的是一些特殊复数(如i、1i等)的运算，这就要求熟练掌握特殊复数的运算性质以及整体消元的技巧，才能减少运算量，节省运算时间，达到事半功倍的效果 2复数的几何意义(1)|z|表示复数z对应的点与原点间的距离(2)|z1z2|表示两点间的距离，即表示复数z1与z2对应点间的距离 失误防范1判定复数是实数，仅注重虚部等于0是不够的，还需考虑它的实部是否有意义 2对于复系数(系数不全为实数)的一元二次方程的求解，判别式不再
9、成立因此解此类方程的解，一般都是将实根代入方程，用复数相等的条件进行求解 3两个虚数不能比较大小 4利用复数相等abicdi列方程时，注意a，b，c，dR的前提条件(如例2)5z20在复数范围内有可能成立，例如：当z3i时z290.考向瞭望把脉高考 考情分析 从近几年的高考试题来看，复数的基本概念、复数相等的充要条件以及复数的代数运算是高考的考点，每套高考试卷都有一个小题，并且一般在前三题的位置上，主要考查对复数概念的理解以及复数的四则运算 预测2012年高考，仍将以复数的基本概念以及复数的代数运算为主要考点，重点考查运算能力及转化与化归思想、方程思想【解析】由 z(23i)64i，得 z64
10、i23i64i23i23i23i2i，即|z|2.(2010年高考江苏卷)设复数z满足z(23i)64i(i为虚数单位)，则z的模为_例真题透析【答案】2【名师点评】本题考查了复数的除法运算及复数的模，课本中这类题目较多，对于复数的学习，只需学好课本便可，不需研究过难题目1若复数(1bi)(2i)是纯虚数(i 是虚数单位，b 是实数)，则 b 等于()A2 B12 C.12 D2解析：选 A.(1bi)(2i)2b(2b1)i是纯虚数，2b0,2b10，解得 b2.名师预测 2复数 z134i，z21i，i 为虚数单位，若 z22zz1，则复数 z 等于()A 825 625iB 825 62
11、5iC.825 625iD.825 625i解析：选 C.z22zz1，zz22z11i234i 2i34i2i34i25 825 625i.3若 Mx|xin，nZ，Nx|1x1(其中 i 为虚数单位)，则 M(RN)()A1,1 B1C1,0 D1解析：选 B.依题意，得 M1，1，i，i，Nx|x0 或 x1所以RNx|1x0，故 M(RN)14在复平面内，复数 1i 与13i 分别对应向量OA 和OB，其中 O 为坐标原点，则|AB|_.解析：由题意知 A(1,1)，B(1,3)，故|AB|1123122 2.答案：2 2本部分内容讲解结束 点此进入课件目录按ESC键退出全屏播放谢谢使用
