1、二十五 椭圆方程及性质的应用(15 分钟 30 分)1已知直线 l 过点(3，1)和椭圆 C：x225 y236 1，则直线 l 与椭圆 C 的公共点的个数为()A1 B1 或 2 C2 D0【解析】选 C.因为直线过点(3，1)且3225（1）2361，所以点(3，1)在椭圆的内部，故直线 l 与椭圆有 2 个公共点2点 A(a，1)在椭圆x24 y22 1 的内部，则 a 的取值范围是()A 2 a 2Ba 2C2a2 D1a1【解析】选 A.由题意知a24 12 1，解得 2 ab0)的左、右焦点分别为 F1，F2，右顶点为 A，上顶点为 B，若椭圆 C 的中心到直线 AB 的距离为 6
2、6|F1F2|，则椭圆 C 的离心率e()A 22 B 32 C 23 D 33【解析】选 A.设椭圆 C 的焦距为 2c(cb0)中心的一条弦，M 是椭圆上任意一点，且AM，BM 与两坐标轴均不平行，kAM，kBM分别表示直线 AM，BM 的斜率，则 kAMkBM()Ac2a2 Bb2a2 Cc2b2 Da2b2【解析】选 B.设 A(x1，y1)，M(x0，y0)，则 B(x1，y1)，kAMkBMy0y1x0 x1 y0y1x0 x1 y20 y21 x20 x21 b2a2x20 b2b2a2x21 b2x20 x21 b2a2.5已知椭圆 C 的焦点 F1(2 2，0)，F2(2 2
3、，0)，且长轴长为 6，设直线 yx2 交椭圆 C 于 A，B 两点，求线段 AB 的中点坐标【解析】由已知条件得椭圆焦点在 x 轴上，其中 c2 2，a3，从而 b1，其标准方程为x29 y21，联立方程x29y21yx2，消去 y 得 10 x236x270，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x2185 ，中点坐标为(x0，y0)，x0 x1x22 95，所以 y0 x0215，所以线段 AB 的中点坐标为95，15 .(30 分钟 60 分)一、单选题(每小题 5 分，共 20 分)1已知椭圆 C 的方程为x216 y2m2 1(m0)，如果直线 y 22x 与椭圆的一个交
4、点 M 在 x 轴上的射影恰好是椭圆的右焦点 F，则 m 的值为()A2 B2 2 C8 D2 3【解析】选 B.根据已知条件 c 16m2，则点 M16m2，2216m2 在椭圆x216 y2m2 1(m0)上，所以16m216 16m22m2 1，可得 m2 2.2椭圆x24 y21 的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F1 作垂直于 x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为 P，则|PF2|()A72 B 32 C 3 D4【解析】选 A.由椭圆x24 y21，得 a24，b21，所以 c a2b2 3，不妨设 P 在 x 轴上方，则 F1(3，0)，设 P(3，m)(m0)，则（3）24 m
5、21，即 m12.所以|PF1|12，根据椭圆定义，|PF1|PF2|2a4，得|PF2|4|PF1|412 72.3(2020秦皇岛高二检测)已知椭圆 C：x2y22 1，直线 l：yxm，若椭圆 C上存在两点关于直线 l 对称，则 m 的取值范围是()A 23，23 B 24，24C 33，33 D 34，34【解析】选 C.设 A()x1，y1 ，B()x2，y2 是椭圆 C 上关于直线 l 对称的两点，AB的中点为 M()x0，y0 ，则 x1x22x0，y1y22y0，kAB1.又因为 A，B 在椭圆 C 上，所以 x21 y21 2 1，x22 y22 2 1，两式相减可得y1y2
6、x1x2 y1y2x1x2 2，即 y02x0.又点 M 在直线 l 上，故 y0 x0m，解得 x0m，y02m.因为点 M 在椭圆 C 内部，所以 m22m2b0的左、右焦点，过右焦点 F2 的直线 l 与椭圆交于 A，B 两点，且满足 AF22F2B，|F1B|AB|，则该椭圆的离心率是()A12 B 33 C 32 D 53【解析】选 B.设|BF2|m，则|AF2|2m，|BF1|AF2|BF2|3m，由椭圆的定义知|BF1|BF2|AF1|AF2|2a，所以|AF1|BF1|BF2|AF2|2m，因为|AF1|AF2|，所以 A 为椭圆的上顶点，设 A()0，b ，又 F2()c，
7、0 ，则直线 AF2：ybc xb，将直线 AF2的方程代入椭圆方程x2a2 y2b2 1 中得1a2c2 x22a2c x，解得 x0 或 2a2ca2c2，因为 AF22F2B，所以 c22a2ca2c2c ，化简得 a23c2，所以 e2c2a2 13 e 33 .二、多选题(每小题 5 分，共 10 分，全部选对得 5 分，选对但不全的得 3 分，有选错的得 0 分)5(2020海南高二检测)设椭圆x29 y23 1 的右焦点为 F，直线 ym(0m0)与直线 AB 相交于点 D，与椭圆相交于 E，F 两点，若ED 6DF，则斜率 k 可以取的值为()A34 B38 C13 D23【解
8、析】选 BD.由题可知，该椭圆的方程为x24 y21，直线 AB，EF 的方程分别为 x2y2，ykx，设 D(x0，y0)，E(x1，kx1)，F(x2，kx2)，其中 x10，化简得 m2m212.由根与系数的关系可得 x1x2 4km2k21 1，所以 4km2k21，将等式两边平方得 16k2m2(2k21)2，所以 m2（2k21）216k2 k24 116k2 14 2k24 116k2 14 12.当且仅当 k 22 时，等号成立，由于 m212，解得 m 22 或 m 22 .因此，直线 AB 与 y 轴的交点的纵坐标的取值范围是，22 22，.答案：，22 22，四、解答题(
9、每小题 10 分，共 20 分)9椭圆 ax2by21 与直线 xy10 相交于 A，B 两点，C 是 AB 的中点，若|AB|2 2，OC 的斜率为 22，求椭圆的方程【解析】设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入椭圆方程，得 ax21 by21 1，ax22 by22 1.，得 a(x2x1)(x2x1)b(y2y1)(y2y1)0.而y2y1x2x1 kAB1，y2y1x2x1 kOC 22 ，则 b 2 a.又因为|AB|1k2|x2x1|2|x2x1|2 2，所以|x2x1|2.又由ax2by21，xy1，得(ab)x22bxb10，所以 x1x2 2bab，x1x2b1ab.
10、所以|x2x1|2(x1x2)24x1x2 2bab 2 4b1ab 4，将 b 2 a 代入，得 a13，b 23 ，所以所求的椭圆方程为x23 23 y21.10(2020渭南高二检测)已知椭圆 C：x2a2 y2b2 1(ab0)的顶点到直线 l1：yx 的距离分别为 2 和 22.(1)求椭圆 C 的标准方程(2)设平行于 l1 的直线 l 交 C 于 A，B 两点，且|OA OB|AB|，求直线 l 的方程【解析】(1)由直线 l1：yx 可知其与两坐标轴的夹角均为 45，故长轴端点到直线 l1 的距离为 22a，短轴端点到直线 l1 的距离为 22b，所以 22a 2，22b 22
11、，解得 a2，b1，所以椭圆 C 的标准方程为x24 y21.(2)设直线 l：yxt(t0)，联立yxt，x24y21，整理得 5x28tx4t240，则64t2165(t21)0，解得 5 t 5 且 t0，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x28t5 ，x1x24t245，故 y1y2(x1t)(x2t)(x1x2)tx1x2t2t245，因为|OA OB|AB|，所以 OAOB，即OA OB x1x2y1y24t245 t245 0，解得 t2 105，满足 5 t 5 且 t0，所以直线 l 的方程为 yx2 105 或 yx2 105.【创新迁移】1圆锥曲线与空间几何
12、体具有深刻而广泛的联系如图所示，底面半径为 1，高为 3 的圆柱内放有一个半径为 1 的球，球与圆柱下底面相切，作不与圆柱底面平行的平面 与球相切于点 F，若平面 与圆柱侧面相交所得曲线为封闭曲线，是以 F 为一个焦点的椭圆，则 的离心率的取值范围是()A35，1 B0，35 C0，45 D45，1【解析】选 B.当 与底面趋于平行时，几乎成为一个圆，因此离心率可以充分接近 0.当与底面的夹角最大时，的离心率达到最大，下面求解这一最大值 如图，AB 为长轴，F 为焦点时，e 最大ac|BF|BG|2，易知 b1，所以a54，c34，则 eca 35.则离心率的取值范围是0，35 .【补偿训练】
13、已知椭圆x2a2 y2b2 1(ab0)短轴的一个端点为 P(0，b)，AB 为经过椭圆中心且不在坐标轴上的一条弦，若 PA，PB 的斜率之积为14，则椭圆的离心率为_.【解析】根据题意可得 P(0，b)，设 A(x，y)，B(x，y)，由直线 PA，PB 的斜率之积为14，则 kPAkPBy2b2x2 14，由 A 在椭圆上可得椭圆x2a2 y2b2 1(ab0)，得y2b2x2 b2a2，所以b2a2 14，即 a2b，a24(a2c2)，可得 e 32 .答案：32 2已知曲线 ：x216 y212 1 的左、右顶点分别为 A，B，设 P 是曲线 上的任意一点 (1)当 P 异于 A，B
14、 时，记直线 PA，PB 的斜率分别为 k1，k2，求证：k1k2是定值(2)设点 C 满足AC CB(0)，且|PC|的最大值为 7，求 的值 【解析】由椭圆方程可得 A(4，0)，B(4，0)，设 P(x0，y0).(1)k1 y0 x04，k2 y0 x04，所以 k1k2y20 x20 16 121x20 16x20 16 1216 34 为定值(2)因为AC CB，所以 A，B，C 三点共线，故设 C(m，0)(4m4)，则|PC|（x0m）2y20 x20 2mx0m2121x20 16 14（x04m）2123m2.若 m0，则|PC|max14（44m）2123m2 7，解得 m3.此时AC(7，0)，CB(1，0)，AC 7CB，由AC CB，得7；同理，若 m0，可得 m3，此时求得17.故的值为 7 或17.
