1、高考资源网（） 您身边的高考专家利用导数解决函数的单调性问题考试要求1.了解函数的单调性和导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不会超过三次)函数的单调性与导数的关系条件结论函数yf (x)在区间(a，b)上可导f (x)0f (x)在(a，b)内单调递增f (x)0f (x)在(a，b)内单调递减f (x)0f (x)在(a，b)内是常数函数提醒：讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则1在某区间内f (x)0(f (x)0)是函数f (x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件2可导函数f (x)在(
2、a，b)上是增(减)函数的充要条件是对x(a，b)，都有f (x)0(f (x)0)且f (x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零一、易错易误辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)在(a，b)内f (x)0，且f (x)0的根有有限个，则f (x)在(a，b)内是减函数()(2)若函数f (x)在定义域上都有f (x)0，则函数f (x)在定义域上一定单调递减()(3)已知函数f (x)在区间a，b上单调递增，则f (x)0恒成立()答案(1)(2)(3)二、教材习题衍生1.如图是函数yf (x)的导函数yf (x)的图象，则下面判断正确的是()A在区间(3,1)上f (x)是增函数B在
3、区间(1,3)上f (x)是减函数C在区间(4,5)上f (x)是增函数D在区间(3,5)上f (x)是增函数C由图象可知，当x(4,5)时，f (x)0，故f (x)在(4,5)上是增函数2函数f (x)cos xx在(0，)上的单调性是()A先增后减B先减后增C增函数 D减函数D因为f (x)sin x10在(0，)上恒成立，所以f (x)在(0，)上是减函数，故选D3函数f (x)xln x的单调递减区间为_(0,1函数f (x)的定义域为x|x0，由f (x)10，得0x1，所以函数f (x)的单调递减区间为(0,14已知f(x)x3ax在1，)上是增函数，则实数a的最大值是_3f (
4、x)3x2a0，即a3x2，又因为x1， )，所以a3，即a的最大值是3. 考点一不含参数的函数的单调性 求函数单调区间的步骤(1)确定函数f (x)的定义域(2)求f (x)(3)在定义域内解不等式f (x)0，得单调递增区间(4)在定义域内解不等式f (x)0，得单调递减区间1已知函数f (x)x22cos x，若f (x)是f (x)的导函数，则函数f (x)的图象大致是()ABCDA设g(x)f (x)2x2sin x，则g(x)22cos x0.所以函数f (x)在R上单调递增，故选A2(2020河北九校联考)函数yx2ln x的单调递减区间是()A(3,1) B(0,1) C(1,
5、3) D(0,3)By1(x0)，令y0得，解得0x1，故选B3(2019天津高考改编)函数f (x)excos x的单调递增区间为_(kZ)f (x)excos xexsin xex(cos xsin x)，令f (x)0得cos xsin x，2kx2k，kZ，即函数f (x)的单调递增区间为(kZ)点评：(1)函数的一阶导数可以用来研究函数图象的上升与下降，函数的二阶导数可以用来研究函数图象的陡峭及平缓程度，也可用来研究导函数图象的上升与下降(2)求函数的单调区间时，一定要先确定函数的定义域，否则极易出错 考点二含参数的函数的单调性 解决含参数的函数的单调性问题应注意两点(1)研究含参数
6、的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点典例1已知函数f (x)ex(exa)a2x.(1)讨论f (x)的单调性；(2)若f (x)0，求a的取值范围解(1)函数f (x)的定义域为(，)，f (x)2e2xaexa2(2exa)(exa)若a0，则f (x)e2x在(，)上单调递增若a0，则由f (x)0得xln a.当x(，ln a)时，f (x)0；当x(ln a，)时，f (x)0.故f (x)在(，ln a)上单调递减，在(ln a，)上单调递增若a0，则由f (x)0得xln.当x
7、时，f (x)0；当x时，f (x)0.故f (x)在上单调递减，在上单调递增(2)若a0，则f (x)e2x，所以f (x)0.若a0，则由(1)得，当xln a时，f (x)取得最小值，最小值为f (ln a)a2ln a，从而当且仅当a2ln a0，即0a1时，f (x)0.若a0，则由(1)得，当xln时，f (x)取得最小值，最小值为f a2，从而当且仅当a20，即2ea0时，f (x)0.综上，a的取值范围是2e，1点评：要使f (x)0，只需f (x)min0；要使f (x)0，只需f (x)max0.已知函数f (x)ln xax2(2a1)x.若a0，试讨论函数f (x)的单
8、调性解因为f (x)ln xax2(2a1)x，所以f (x)，由题意知函数f (x)的定义域为(0，)，令f (x)0得x1或x，(1)若1，即a，由f (x)0得x1或0x，由f (x)0得x1，即函数f (x)在，(1，)上单调递增，在上单调递减；(2)若1，即0a，由f (x)0得x或0x1，由f (x)0得1x，即函数f (x)在(0,1)，上单调递增，在上单调递减；(3)若1，即a，则在(0，)上恒有f (x)0，即函数f (x)在(0，)上单调递增综上可得：当0a时，函数f (x)在(0,1)上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；当a时，函数f (x)在(0，)上单调递增；当a
9、时，函数f (x)在上单调递增，在上单调递减，在(1，)上单调递增 考点三已知函数的单调性求参数的取值范围 由函数的单调性求参数的取值范围的方法(1)可导函数在区间D上单调，实际上就是在该区间上f (x)0(或f (x)0)恒成立，从而构建不等式，求出参数的取值范围，要注意“”是否可以取到(2)可导函数在区间D上存在单调区间，实际上就是f (x)0(或f (x)0)在该区间上存在解集，即f (x)max0(或f (x)min0)在该区间上有解，从而转化为不等式问题，求出参数的取值范围(3)若已知f (x)在区间D上的单调性，区间端点含有参数时，可先求出f (x)的单调区间，令D是其单调区间的子
10、集，从而求出参数的取值范围典例2已知函数f (x)ln x，g(x)ax22x(a0)(1)若函数h(x)f (x)g(x)存在单调递减区间，求a的取值范围；(2)若函数h(x)f (x)g(x)在1,4上单调递减，求a的取值范围解(1)h(x)ln xax22x，x(0，)，所以h(x)ax2，由于h(x)在(0，)上存在单调递减区间，所以当x(0，)时，ax20有解，即a有解设G(x)，所以只要aG(x)min即可而G(x)1，所以G(x)min1.所以a1且a0，即a的取值范围是(1,0)(0，)(2)由h(x)在1,4上单调递减得，当x1,4时，h(x)ax20恒成立，即a恒成立所以a
11、G(x)max，而G(x)1，因为x1,4，所以，所以G(x)max(此时x4)，所以a且a0，即a的取值范围是(0，)母题变迁1本例条件不变，若函数h(x)f (x)g(x)在1,4上存在单调递减区间，求a的取值范围解h(x)在1,4上存在单调递减区间，则h(x)0在1,4上有解，所以当x1,4时，a有解，又当x1,4时，min1，所以a1且a0，即a的取值范围是(1,0)(0，)2本例条件不变，若函数h(x)f (x)g(x)在1,4上不单调，求a的取值范围解因为h(x)在1,4上不单调，所以h(x)0在(1,4)上有解，即a有解，令m(x)，x(1,4)，则1m(x)，所以实数a的取值范
12、围为.点评：注意区分在区间a，b上单调递增(减)和在区间a，b上存在单调递增(减)区间这两种说法，一个转化为不等式恒成立，一个转化为不等式有解已知函数f (x)ln x，g(x)axb.(1)若f (x)与g(x)的图象在x1处相切，求g(x)；(2)若(x)f (x)在1，)上是减函数，求实数m的取值范围解(1)由已知得f (x)，所以f (1)1a，所以a2.又因为g(1)abf (1)0，所以b1.所以g(x)x1.(2)因为(x)f (x)ln x在1，)上是减函数所以(x)0在1，)上恒成立，即x2(2m2)x10在1，)上恒成立，则2m2x，x1，)，因为x2，当且仅当x1时取等号
13、，所以2m22，即m2.故实数m的取值范围是(，2 考点四函数单调性的应用 构造函数解不等式或比较大小一般地，在不等式中若同时含有f (x)与f (x)，常需要通过构造含f (x)与另一函数的和、差、积、商的新函数，再借助导数探索新函数的性质，进而求出结果常见构造的辅助函数形式有：(1)f (x)g(x)F(x)f (x)g(x)；(2)xf (x)f (x)xf (x)；(3)xf (x)f (x)；(4)f (x)f (x)exf (x)；(5)f (x)f (x).比较大小典例31(1)已知定义域为R的奇函数yf (x)的导函数为yf (x)，当x0时，xf (x)f (x)0，若a，b
14、，c，则a，b，c的大小关系正确的是()Aabc BbcaCacb Dcab(2)已知函数yf (x)对于任意的x满足f (x)cos xf (x)sin x1ln x，其中f (x)是函数f (x)的导函数，则下列不等式成立的是()Af f Bf f Cf f Df f (1)D(2)B(1)设g(x)，则g(x)，当x0时，xf (x)f (x)0，则g(x)0，即函数g(x)在x(0，)时为减函数由函数yf (x)为奇函数知f (3)f (3)，则c.ag(e)，bg(ln 2)，cg(3)且3eln 2，g(3)g(e)g(ln 2)，即cab，故选D(2)设g(x)，则g(x)，x.
15、令g(x)0得x，当x时g(x)0，函数g(x)单调递减，当x时，g(x)0，函数g(x)单调递增，ggg，即，化简得f f ，f f ，f f ，故选B解不等式典例32(1)已知函数f (x)的定义域为R，f (1)2，且对任意xR，f (x)2，则f (x)2x4的解集为()A(1,1) B(1，)C(，1) D(，)(2)已知函数f (x)x32xex，其中e是自然对数的底数若f (a1)f (2a2)0，则实数a的取值范围是_(1)B(2)(1)由f (x)2x4，得f (x)2x40.设F(x)f (x)2x4，则F(x)f (x)2.因为f (x)2，所以F(x)0在R上恒成立，所
16、以F(x)在R上单调递增又F(1)f (1)2(1)42240，故不等式f (x)2x40等价于F(x)F(1)，所以x1，故选B(2)因为f (x)x32xexf (x)，所以函数f (x)是奇函数因为f (x)3x22exex3x2220，所以函数f (x)在R上单调递增又f (a1)f (2a2)0，所以f (2a2)f (1a)，所以2a21a，即2a2a10，解得1a，故实数a的取值范围为.点评：构造函数F(x)，把所求不等式转化为F(a)F(b)或F(a)F(b)的形式，然后根据F(x)的单调性得到ab或ab.1已知f (x)是定义在区间(0，)内的函数，其导函数为f (x)，且不
17、等式xf (x)2f (x)恒成立，则()A4f (1)f (2) B4f (1)f (2)Cf (1)4f (2) Df (1)4f (2)B令g(x)(x0)，则g(x)，由不等式xf (x)2f (x)恒成立知g(x)0，即g(x)在(0，)是减函数，g(1)g(2)，即，即4f (1)f (2)，故选B2设f (x)和g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，f (x)，g(x)分别为其导数，当x0时，f (x)g(x)f (x)g(x)0，且g(3)0，则不等式f (x)g(x)0的解集是()A(3,0)(3，) B(3,0)(0,3)C(，3)(3，) D(，3)(0,3)D令h(
18、x)f (x)g(x)，当x0时，h(x)f (x)g(x)f (x)g(x)0，则h(x)在(，0)上单调递增，又f (x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，所以h(x)为奇函数，所以h(x)在(0，)上单调递增又由g(3)0，可得h(3)h(3)0，所以当x3或0x3时，h(x)0，故选D3已知f (x)是定义在R上的连续函数f (x)的导函数，若f (x)2f (x)0，且f (1)0，则f (x)0的解集为()A(，1) B(1,1)C(，0) D(1，)A设g(x)，则g(x)0在R上恒成立，所以g(x)在R上单调递减因为f (x)0，所以g(x)0，又g(1)0，所以x1
19、.备考技法2导数中的函数构造问题函数与方程思想、转化与化归思想是高中数学思想中比较重要的两大思想，而构造函数的解题思路恰好是这两种思想的具体体现.利用f (x)与xn构造函数1若F(x)xnf (x)，则F(x)nxn1f (x)xnf (x)xn1nf (x)xf (x)；2若F(x)，则F(x)；由此得到结论：(1)出现nf (x)xf (x)形式，构造函数F(x)xnf (x)；(2)出现xf (x)nf (x)形式，构造函数F(x).(1)已知偶函数f (x)(x0)的导函数为f (x)，且满足f (1)0，当x0时，2f (x)xf (x)，则使得f (x)0成立的x的取值范围是_(
20、2)设f (x)是定义在R上的偶函数，当x0时，f (x)xf (x)0，且f (4)0，则不等式xf (x)0的解集为_(1)(1,0)(0,1)(2)(，(0,4)(1)构造F(x)，则F(x)，当x0时，xf (x)2f (x)0，可以推出当x0时，F(x)0，F(x)在(0，)上单调递减f (x)为偶函数，x2为偶函数，F(x)为偶函数，F(x)在(，0)上单调递增根据f (1)0可得F(1)0，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图象如图所示，根据图象可知f (x)0的解集为(1,0)(0,1)(2)构造F(x)xf (x)，则F(x)f (x)xf (x)，当x0时，f (x)xf (
21、x)0，可以推出当x0时，F(x)0，F(x)在(，0)上单调递减f (x)为偶函数，x为奇函数，F(x)为奇函数，F(x)在(0，)上也单调递减根据f (4)0可得F(4)0，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图象如图所示，根据图象可知xf (x)0的解集为(，4)(0,4)评析构造函数后可根据条件判断构造函数的单调性、奇偶性，画出相应函数的图象，再根据图象写出解集设f (x)是定义在R上的偶函数，且f (1)0，当x0时，有xf (x)f (x)0恒成立，则不等式f (x)0的解集为_(，1)(1，)构造F(x)，则F(x)，当x0时，xf (x)f (x)0，可以推出当x0时，F(x)0，
22、F(x)在(，0)上单调递增f (x)为偶函数，x为奇函数，F(x)为奇函数，F(x)在(0，)上也单调递增根据f (1)0可得F(1)0，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图象，根据图象可知f (x)0的解集为(，1)(1，)利用f (x)与ex构造函数1若F(x)enxf (x)，则F(x)nenxf (x)enxf (x)enxf (x)nf (x)；2若F(x)，则F(x)；由此得到结论：(1)出现f (x)nf (x)形式，构造函数F(x)enxf (x)；(2)出现f (x)nf (x)形式，构造函数F(x).已知函数f (x)在R上可导，其导函数为f (x)，若f (x)满足：(x
23、1)f (x)f (x)0，f (2x)f (x)e22x，则下列判断一定正确的是()Af (1)f (0) Bf (2)e2f (0)Cf (3)e3f (0) Df (4)e4f (0)C构造F(x)，则F(x)，导函数f (x)满足(x1)f (x)f (x)0，则x1时F(x)0，F(x)在1，)上单调递增当x1时F(x)0，F(x)在(，1上单调递减又由f (2x)f (x)e22xF(2x)F(x)F(x)关于x1对称，从而F(3)F(0)即，f (3)e3f (0)，故选C评析构造函数时，要注意F(x)与F(x)，F(x)xnf (x)与F(x)enxf (x)的构造条件若定义在
24、R上的函数f (x)满足f (x)2f (x)0，f (0)1，则不等式f (x)e2x的解集为_(0，)构造F(x)，则F(x)，函数f (x)满足f (x)2f (x)0，则F(x)0，F(x)在R上单调递增又f (0)1，则F(0)1，f (x)e2x1F(x)F(0)，根据单调性得x0.利用f (x)与sin x，cos x构造函数sin x，cos x因为导函数存在一定的特殊性，所以也是重点考察的范畴，下面是常考的几种形式F(x)f (x)sin x，F(x)f (x)sin xf (x)cos x；F(x)，F(x)；F(x)f (x)cos x，F(x)f (x)cos xf (
25、x)sin x；F(x)，F(x).已知函数yf (x)对于任意的x满足f (x)cos xf (x)sin x0(其中f (x)是函数f (x)的导函数)，则下列不等式不成立的是()Af f Bf f Cf (0)f Df (0)2f A构造F(x)形式，则F(x)，导函数f (x)满足f (x)cos xf (x)sin x0，则F(x)0，F(x)在上单调递增FF，即，f f ，故选A评析准确记忆函数F(x)f (x)sin x，F(x)f (x)cos x，F(x)，F(x)的导数，是构造函数的前提定义在上的函数f (x)，函数f (x)是它的导函数，且恒有f (x)f (x)tan
26、x成立，则()Af f Bf (1)2f sin 1Cf f Df f Df (x)f (x)tan xf (x)sin xf (x)cos x0，令F(x)，则F(x)0，即函数F(x)在上是增函数，FF，即，f f ，故选D构造具体函数关系式这类题型需要根据题意构造具体的函数关系式，通过具体的关系式去解决不等式及求值问题已知，且sin sin 0，则下列结论正确的是()A B22C D0B构造函数f (x)xsin x，则f (x)sin xxcos x.当x时，f (x)0，f (x)是增函数，当x时，f (x)0，f (x)是减函数，又f (x)为偶函数，sin sin 0sin sin f ()f ()f (|)f (|)|22，故选B评析认真分析题目所给条件，寻找(或变形后寻找)结构相同的式子，结合所求构造函数定义在R上的函数f (x)满足f (1)1，且对xR，f (x)，则不等式f (log2x)的解集为_(0,2)构造函数F(x)f (x)x，则F(x)f (x)0，函数F(x)在R上是减函数由f (1)1，得F(1)f (1)1，f (log2x)f (log2x)log2xF(log2x)F(1)log2x10x2.- 18 - 版权所有高考资源网
