1、第3课时 圆的方程考点探究挑战高考 考向瞭望把脉高考 双基研习面对高考 第3课时双基研习面对高考 1圆的定义(1)在平面内，到_的距离等于_的点的集合叫做圆(2)确定一个圆的要素是_和_定点定长圆心半径基础梳理2圆的方程圆的标准方程 圆的一般方程 方程 _ _ 圆心坐标(a，b)_ 半径 r _(xa)2(yb)2r2(r0)x2y2DxEyF0(D2E24F0)(D2，E2)12D2E24F思考感悟方程x2y2DxEyF0表示圆的充要条件是什么？提示：充要条件是D2E24F0.1已知圆的圆心为P(2,3)并且与y轴相切，则该圆的方程是()A(x2)2(y3)24 B(x2)2(y3)24 C
2、(x2)2(y3)29D(x2)2(y3)29 答案：B 2圆心在x轴上，半径为1，且过点(2,1)的圆的方程是()A(x2)2y21Bx2(y2)21 C(x1)2(y3)21Dx2(y3)21 答案：A课前热身3若方程a2x2(a2)y22axa0表示圆，则a等于()A1 B2C1或2 D1答案：A4(2010年高考上海卷)圆C：x2y22x4y40的圆心到直线3x4y40的距离d_.答案：35(教材习题改编)以直线3x4y120夹在两坐标轴间的线段为直径的圆的方程是_答案：x2y24x3y0考点探究挑战高考 求圆的方程 考点突破(1)确定圆的方程的主要方法是待定系数法如果选择标准方程，即
3、列出关于a、b、r的方程组，求a、b、r或直接求出圆心(a，b)和半径r.(2)如果已知条件中圆心的位置不能确定，则选择圆的一般方程圆的一般方程也含有三个独立的参数，因此，必须具备三个独立的条件，才能确定圆的一般方程，其方法仍采用待定系数法例1 根据下列条件求圆的方程(1)圆心C(2，1)，且截直线yx1所得弦长为2 ；(2)圆心在直线y4x上，且与直线l：xy10相切于点P(3，2)；(3)过三点A(1,12)，B(7,10)，C(9,2)【思路分析】(1)(2)涉及圆心与半径，设圆的标准方程求解比较简单，(3)用一般方程求解比较简单2【解】(1)设圆的方程为(x2)2(y1)2r2(r0)
4、由题意知，圆心到直线 yx1 的距离为d|2（1）1|12（1）2 2.又直线 yx1 被圆截得的弦长为 2 2，2 22 r2d2，即 2 22r22，解得 r2.所求圆的方程为(x2)2(y1)24.(2)法一：设圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2，则有 b4a3a22b2r2|ab1|2r，解得a1，b4，r2 2.圆的方程为(x1)2(y4)28.法二：过切点且与 xy10 垂直的直线方程为 y2x3，其与 y4x 联立可求得圆心为(1，4)r2 2.所求圆的方程为(x1)2(y4)28.(3)设圆的一般方程为 x2y2DxEyF0，则1144D12EF0，491007D10EF0
5、，8149D2EF0，解得D2，E4，F95.所求圆的方程为 x2y22x4y950.【规律方法】求圆的方程的一般步骤为：根据题意选用圆的方程两种形式中的一种；根据所给条件，列出关于D、E、F或a、b、r的方程组；解方程组，求出D、E、F或a、b、r的值，并把它们代入所设的方程中，得到所求的圆的方程与圆有关的最值问题 与圆有关的最值问题多采用几何法：(1)形如 mybxa的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题(2)形如 taxby 的最值问题，可转化为直线在y 轴上的截距的最值问题(3)形如 m(xa)2(yb)2 的最值问题，可转化为两点间的距离平方的最值问题例2 已知实数x、y满足(x1
6、)2y24，求x2y的最小值与最大值【思路分析】设zx2y，依题意直线x2yz0与圆(x1)2y24有交点，有交点的主要条件为圆心到该直线的距离不大于圆的半径，从而构建关于z的不等式，即可求解x2y的最大值和最小值【解】设 zx2y，也就是 x2yz0.由已知，圆心(1,0)到该直线的距离不大于圆的半径 2，即|1z|12222，解得 12 5z12 5，(x2y)min12 5，(x2y)max12 5.互动探究 本例条件不变，求 yx2的取值范围解：设 k yx2，也就是 kxy2k0，由已知，圆心(1,0)到该直线的距离不大于圆的半径 2，即|k2k|k2122，解得 k245，也就是2
7、 55 k2 55，即2 55 yx22 55.与圆有关的轨迹问题 求轨迹方程的大致步骤：(1)建立平面直角坐标系，设出动点坐标；(2)确定动点满足的几何等式，并用坐标表示；(3)化简得方程，一般情况下，化简前后方程的解集是相同的，如有特殊情况，可适当予以说明，即删去增加的解或补上失去的解例3 等腰三角形的顶点是A(4,2)，底边一个端点是B(3,5)，求另一个端点C的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么【思路分析】设出C点的坐标(x，y)，根据|AB|AC|列方程化简整理，即可得点C的轨迹方程，然后由轨迹方程指明轨迹【解】设另一端点 C 的坐标为(x，y)依题意，得|AC|AB|.由两点间的距离公
8、式，得 x42y22 432252，整理得(x4)2(y2)210.这是以点 A(4,2)为圆心，以 10为半径的圆，如图所示，又因为 A、B、C 为三角形的三个顶点，所以 A、B、C 三点不共线即点 B、C 不能重合且B、C 不能为圆 A 的一直径的两个端点因为点 B、C 不能重合，所以点 C 不能为(3,5)又因为点 B、C 不能为一直径的两个端点，所以x32 4，且y52 2，即点 C 不能为(5，1)故端点 C 的轨迹方程是(x4)2(y2)210(除去点(3,5)和(5，1)，它的轨迹是以点A(4,2)为圆心，10为半径的圆，但除去(3,5)和(5，1)两点【名师点评】求与圆有关的轨
9、迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：直接法，直接根据题目提供的条件列出方程；定义法，根据圆、直线等定义列方程；几何法，利用圆与圆的几何性质列方程；代入法，找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等方法感悟 方法技巧1利用圆的几何特征求方程，必须满足圆心坐标和半径易于求出这一条2利用待定系数法确定圆的方程需要三个独立条件，“选标准，定参数”是解题的基本方法其中，选标准是根据已知条件选恰当的圆的方程的形式，进而确定其中三个参数一般来讲，条件涉及到圆上的点多，可选择一般方程，条件涉及半径及圆心，通常选择标准方程(如例1)失误防范1圆的一般方程突出了圆的代数形式上的特点，其特点是：(1
10、)x2，y2 的系数相同且均为 1(不为 1 的可化为 1)；(2)不含 xy 项（如课前热身 3）在 x2y2DxEyF0 中，若 D2E24F0，则它表示一个点(D2，E2)；若 D2E24F0)由于圆过点(1,0)，则半径 r|x01|，圆心到直线 xy10 的距离为 d|x01|2.由弦长为 2 2可知(|x01|2)2(x01)22.解得(x01)24，x012.x03 或 x01(舍去)故圆心为(3,0)，半径为 2，所求圆的方程为(x3)2y24.【答案】(x3)2y24【名师点评】本题和课本中很多练习题相类似，考查了圆的性质和圆的方程求解，试想若圆心在y轴上，如何求圆的方程名师
11、预测 1已知C：x2y2DxEyF0，则“FE0且D0”是“C与y轴相切于原点”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：选 A.由题意可知，要求圆心坐标为(D2，0)，而 D 可以大于 0，故选 A.2若PQ是圆x2y29的弦，PQ的中点是M(1,2)，则直线PQ的方程是()Ax2y30 Bx2y50C2xy40 D2xy0解析：选 B.由圆的几何性质知 kPQkOM1，kOM2，kPQ12.故直线 PQ 的方程为 y212(x1)，即 x2y50.3两条直线 yx2a，y2xa 的交点 P 在圆(x1)2(y1)24 的内部，则实数 a 的取值范围是()A15a1 或 a15C15a1 Da1 或 a15解析：选 A.由yx2ay2xa，得 P(a,3a)(a1)2(3a1)24，15a0)上，并且与抛物线的准线及 y 轴都相切的圆的方程是()Ax2y2x2y10Bx2y22xy10Cx2y2x2y140Dx2y22xy140解析：选 D.设圆心为(a，b)，由题意得：a22bab12，解得a1b12，圆的方程数(x1)2(y12)21，即 x2y22xy140.本部分内容讲解结束 点此进入课件目录按ESC键退出全屏播放谢谢使用
