1、1.2.2直线的两点式方程学 习 任 务核 心 素 养1掌握直线方程两点式的形式、特点及适用范围(重点)2了解直线方程截距式的形式、特点及适用范围(重点)3会用中点坐标公式求两点的中点坐标1通过对直线两点式方程的推导，提升逻辑推理的数学素养2通过对直线的两点式方程和截距式方程的学习，培养直观想象和数学运算的数学素养某区商业中心O有通往东、西、南、北的四条大街，某公园位于东大街北侧、北大街东侧P处，如图所示公园到东大街、北大街的垂直距离分别为1 km和4 km现在要在公园前修建一条直线大道分别与东大街、北大街交会于A，B两处，并使区商业中心O到A，B两处的距离之和最短在上述问题中，实际上解题关键
2、是确定直线AB，那么直线AB的方程确定后，点A，B能否确定？知识点直线的两点式和截距式方程名称两点式方程截距式方程已知条件直线l过点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)其中x1x2，y1y2直线l经在x轴、y轴上的截距分别为a，b，且a0，b0示意图直线方程1适用范围斜率存在且不为零斜率存在且不为零，不过原点方程和方程(yy1)(x2x1)(xx1)(y2y1)的适用范围相同吗？提示不同前者为分式形式方程，它不表示垂直于坐标轴的直线，后者为整式形式方程，它表示过任何两点的直线1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)直线的两点式方程也可以用(x1x2，y1y2)表示()(2)任何直线都可
3、以用方程1表示()(3)能用两点式写出的直线方程，也可以用点斜式方程写出()答案(1)(2)(3)2过点A(3，2)，B(4，3)的直线方程是()Axy10Bxy10Cxy10Dxy10D由直线的两点式方程，得，化简，得xy103直线y3x2在x轴上的截距是_令y0得x，即在x轴上的截距为 类型1直线的两点式方程【例1】(1)若直线l经过点A(2，1)，B(2，7)，则直线l的方程为_(2)若点P(3，m)在过点A(2，1)，B(3，4)的直线上，则m_(1)x2(2)2(1)由于点A与点B的横坐标相等，所以直线l没有两点式方程，所求的直线方程为x2(2)由直线方程的两点式得，即直线AB的方程
4、为y1x2，点P(3，m)在直线AB上，则m132，得m2由两点式求直线方程的步骤(1)设出直线所经过点的坐标(2)根据题中的条件，找到有关方程，解出点的坐标(3)由直线的两点式方程写出直线的方程提醒：当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不垂直于坐标轴若满足，则考虑用两点式求方程跟进训练1求经过两点A(2，m)和B(n，3)的直线方程解当m3时，直线垂直于y轴，方程为y3，当n2时，直线垂直于x轴，方程为x2当m3且n2时，由两点式得直线方程为 类型2直线的截距式方程【例2】求过点(4，3)且在两坐标轴上截距相等的直线l的方程若已知直线与两
5、坐标轴相交，选哪种形式的方程较好？提示选择截距式较好解设直线在x轴、y轴上的截距分别为a，b当a0，b0时，设l的方程为1点(4，3)在直线上，1，若ab，则ab1，直线方程为xy10当ab0时，直线过原点，且过点(4，3)，直线的方程为3x4y0综上知，所求直线方程为xy10或3x4y01(变条件)本例中把“截距相等”改为“截距互为相反数”，求直线l的方程解当截距均为零时，设直线方程为ykx，把点(4，3)代入得34k，解得k，所求的直线方程为yx，即3x4y0当截距均不为零且相反时，可设直线方程为1，把点(4，3)代入得1，解得a7，所求直线方程为1，即xy70，故所求l的方程为xy70或
6、3x4y02(变条件)本例中把“相等”改为“绝对值相等”呢？解当直线在两轴上的截距的绝对值相等时，包括：两截距均为零，即3x4y0两截距均不为零且相等即xy10两截距均不为零且相反即xy70故所求的直线方程为xy70或xy10或3x4y0利用截距式求直线方程的注意事项(1)用截距式求直线方程时，纵截距和横截距都必须存在且都不为0若a0，b0，则直线方程为x0；若a0，b0，则直线方程为y0；若a0，b0，则直线方程为ykx(k0)(2)截距相等且不为零，可设xya；截距相反且不为零，可设xya；截距相等且均为零，可设ykx 类型3直线方程的灵活应用【例3】在ABC中，已知A(3，2)，B(5，
7、4)，C(0，2)(1)求BC边的方程；(2)求BC边上的中线所在直线的方程解(1)BC边过两点B(5，4)，C(0，2)，由两点式，得，即2x5y100，故BC边的方程是2x5y100(0x5)(2)设BC的中点为M(a，b)，则a，b3，所以M，又BC边的中线过点A(3，2)，所以，即10x11y80，所以BC边上的中线所在直线的方程为10x11y80直线方程的选择技巧(1)已知一点的坐标，求过该点的直线方程，一般选取点斜式方程，再由其他条件确定直线的斜率(2)若已知直线的斜率，一般选用直线的斜截式，再由其他条件确定直线的一个点或者截距(3)若已知两点坐标，一般选用直线的两点式方程，若两点
8、是与坐标轴的交点，就用截距式方程(4)不论选用怎样的直线方程，都要注意各自方程的限制条件，对特殊情况下的直线要单独讨论解决跟进训练2过点P(2，3)且在两坐标轴上的截距相等的直线有_条2设直线的两截距都是a，则有当a0时，直线设为ykx，将P(2，3)代入得k，直线l的方程为3x2y0当a0时，直线设为1，即xya，把P(2，3)代入得a5，直线l的方程为xy5直线l的方程为3x2y0或xy50满足题意的直线共有2条1过P1(2，0)，P2(0，3)两点的直线方程是()A0B0C1D1C由条件可知，直线在x轴、y轴上的截距分别为2，3，所以方程为12过两点(1，1)和(3，9)的直线在x轴上的
9、截距是_由两点式得，即y12(x1)，令y0得x，所以直线在x轴上的截距为3过点(5，2)，且在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍的直线方程是_x2y90或2x5y0当y轴上截距b0时，设直线方程为ykx将点(5，2)代入，得yx，即2x5y0当b0时，设直线方程为1，将点(5，2)代入，得1，解得b，即直线方程为1，整理，得x2y904求过点P(6，2)，且在x轴上的截距比在y轴上的截距大1的直线方程解设直线方程的截距式为1则1，解得a2或a1，则直线方程是1或1，即2x3y60或x2y20回顾本节知识，自我完成以下问题：1直线的两点式方程及其适用情形分别是什么？提示直线的两点式方程为，直线没有斜率(x1x2)或斜率为0(y1y2)时，不能用两点式求它的方程2直线的截距式方程及其适用情形分别是什么？提示1，其适用情形是斜率存在且不为零，不过原点
