1、11.2 正弦定理 第1课时 正弦定理(1)第11章 解三角形 学 习 任 务核 心 素 养 1通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明(难点)2能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题(重点)1通过对正弦定理的推导及应用正弦定理判断三角形的形状，培养逻辑推理的核心素养 2借助利用正弦定理求解三角形的边长或角的大小的学习，培养数学运算的核心素养 情境导学探新知 NO.1知识点1知识点2 如图，在 RtABC 中，asin A，bsin B，csin C各自等于什么？对于斜三角形类似关系成立么？知识点 1 正弦定理 三角形的各边与它所对角的正弦的比相等，即a
2、sin Absin Bcsin C(1)正弦定理的适用范围是什么？(2)正弦定理的主要功能是什么？提示(1)正弦定理对任意三角形都成立(2)正弦定理实现了三角形中边角关系的转化 1在ABC 中，下列式子与sin Aa 的值相等的是()Abc Bsin Bsin A Csin Cc Dcsin C C 由正弦定理得，asin Acsin C，所以sin Aa sin Cc 知识点 2 应用正弦定理解三角形 应用正弦定理可以解两类三角形：(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角；(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角 2在ABC 中，已知 A30，B60，a10，则 b 等于()A5 2
3、B10 3 C10 33 D5 6 B 由正弦定理得，basin Bsin A 10 321210 3 合作探究释疑难 NO.2类型1 类型2 类型3 类型 1 定理证明【例 1】在钝角ABC 中，A 为钝角，证明正弦定理 证明 如图，过 C 作 CDAB，垂足为 D，D 是 BA 延长线上一点，根据正弦函数的定义知：CDb sinCADsin(180A)sin A，CDa sin B CDbsin Aasin B asin A bsin B 同理，bsin Bcsin C故 asin A bsin Bcsin C 用正弦函数定义沟通边与角内在联系，充分挖掘这些联系可以使理解更深刻，记忆更牢固
4、 跟进训练 1(对接教材 P95T10)已知ABC 的外接圆 O 的直径长为 2R，试借助ABC 的外接圆推导出正弦定理 解 如图，连接 BO 并延长交圆 O 于点 D，连接CD，则BCD90，BACBDC，在 RtBCD中，BCBDsinBDC，所以 a2Rsin A，即 asin A2R，同理 bsin B2R，csin C2R，所以 asin A bsin Bcsin C2R 类型 2 用正弦定理解三角形【例 2】已知ABC 中，a10，A30，C45，求角 B，边 b，c 解 A30，C45，B180(AC)105，又由正弦定理得：casin Csin A 10 2 basin Bsi
5、n A 10sin 105sin 3020sin(6045)5(6 2)B105，b5(6 2)，c10 2 正弦定理实际上是三个等式：asin A bsin B，bsin Bcsin C，asin Acsin C，每个等式涉及四个元素，所以只要知道其中的三个就可以求另外一个 跟进训练 2已知 B30，b 2，c2，求 A，C，a 解 由正弦定理得：sin Ccsin Bb2sin 302 22，cb，0C180，C45或 135 当 C45时，A105，absin Asin B 2sin 105sin 30 31；当 C135时，A15，absin Asin B 2sin 15sin 30
6、31 综上，得 A105，C45，a 31 或 A15，C135，a 31 类型 3 三角形形状的判断【例 3】在ABC 中，若 sin A2sin Bcos C，且 sin2Asin2Bsin2C，试判断ABC 的形状 解 法一：(利用角的互余关系)sin2Asin2Bsin2C，根据正弦定理 asin A bsin Bcsin C，得 a2b2c2，A 是直角，BC90，2sin Bcos C2sin Bcos(90B)2sin2Bsin A1，sin B 22 0B90，B45，C45，ABC 是等腰直角三角形 法二：(利用角的互补关系)sin2Asin2Bsin2C，根据正弦定理 as
7、in A bsin Bcsin C，得 a2b2c2，A 是直角 A180(BC)，sin A2sin Bcos C，sin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C2sin Bcos C，sin(BC)0 又90BCsin B，则有()Aab Da，b 的大小无法判定 1 2 3 4 5 C 因为 asin A bsin B，所以absin Asin B 因为在ABC 中，sin Asin B0，所以absin Asin B1，所以 ab 1 2 3 4 5 2在ABC 中，三个内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 a 2，b 3，B60，那么 A 等于()A135 B90
8、 C45 D30 C 由 asin A bsin B得 sin Aasin Bb2 323 22，A45或 135 又ab，AB，A45 1 2 3 4 5 3在ABC 中，若 acos Cccos Absin B，则此三角形为()A等边三角形B等腰三角形 C直角三角形D等腰直角三角形 C 在ABC 中，由 acos Cccos Absin B，以及正弦定理可知，sin A cos Csin C cos Asin2 B，即 sin(AC)sin Bsin2 B，0B0)，则bc4k，ca5k，ab6k，解得 a72k，b52k，c32k.sin Asin Bsin Cabc753 5 1 2
9、3 4 5在ABC 中，若 tan A12，C120，a1，则 c_ 152 tan A12，A(0，)，sin A 55，由正弦定理得 155csin 120，c 32 5 152 回顾本节知识，自我完成以下问题：1正弦定理的表示形式有哪些？提示 正弦定理的表示形式：asin A bsin Bcsin C2R，或 a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C(R 为ABC 外接圆半径)2正弦定理可以解哪几种解三角形题型？提示 正弦定理的应用：已知两角和任一边，求其他两边和一角已知两边和其中一边的对角，求另一边和两角 3利用正弦定理判断三角形形状的常用方法有哪些？提示(1)化边为角：将题目中的条件，利用正弦定理化边为角若sin 2Asin 2B，则AB或AB2，再根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系，进而确定三角形的形状(2)化角为边：将题目中的条件，利用正弦定理化角为边，再根据代数恒等变换得到边的关系(如 ab，a2b2c2 等)，进而确定三角形的形状 点击右图进入 课 后 素 养 落 实 谢谢观看 THANK YOU!
