1、北京2013届高三最新文科模拟试题分类汇编10：概率与统计一、选择题 （2013届北京大兴区一模文科）若实数满足,则关于的方程无实数根的概率为（）ABCD【答案】D （2013北京昌平二模数学文科试题及答案）在区间上随机取一个数,则事件“”发生的概率为（）ABCD【答案】C （2013北京海淀二模数学文科试题及答案）如图,在边长为的正方形内有不规则图形. 向正方形内随机撒豆子,若撒在图形内和正方形内的豆子数分别为,则图形面积的估计值为 （）ABCD【答案】C （2013北京东城高三二模数学文科）如图是某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图,其中成绩分组区间是:40,50),50,60)
2、,60,70),70,80),80,90),90,100 ,则图中的值等于 （）AB CD【答案】C （北京市石景山区2013届高三一模数学文试题）将一颗骰子掷两次,观察出现的点数,并记第一次出现的点数为m,第二次出现的点数为n,向量=(m,n),=(3,6),则向量与共线的概率为（）ABCD【答案】D （2013届房山区一模文科数学）甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次,两人成绩的统计表如下表所示,则环数45678环数569频数11111频数311 甲 乙（）A甲成绩的平均数小于乙成绩的平均数 B甲成绩的中位数等于乙成绩的中位数 C甲成绩的方差小于乙成绩的方差 D甲成绩的极差小于乙成绩的极差
3、【答案】C （2013北京朝阳二模数学文科试题）将一个质点随机投放在关于的不等式组所构成的三角形区域内,则该质点到此三角形的三个顶点的距离均不小于的概率是（）ABCD【答案】C （2013北京丰台二模数学文科试题及答案）在平面区域内任取一点,若满足的概率大于,则的取值范围是（）ABCD 【答案】D （2013北京顺义二模数学文科试题及答案）从中随机选取一个数,从中随机选取一个数,则关于的方程有两个不相等的实根的概率是（）ABCD 【答案】C二、填空题（2013北京昌平二模数学文科试题及答案）某高校在年的自主招生考试成绩中随机抽取50名学生的笔试成绩,绘制成频率分布直方图如图所示,由图中数据可知
4、=_;若要从成绩在 , , 三组内的学生中,用分层抽样的方法选取人参加面试,则成绩在内的学生中,学生甲被选取的概率为_. 【答案】0.040 , ; （2013届北京门头沟区一模文科数学）用计算机产生随机二元数组成区域,对每个二元数组,用计算机计算的值,记“满足 1”为事件,则事件发生的概率为_.【答案】 （2013届北京东城区一模数学文科）从1,3,5,7这四个数中随机地取两个数组成一个两位数,则组成的两位数是5的倍数的概率为_. 【答案】 （2013北京西城高三二模数学文科）右图是甲,乙两组各名同学身高(单位:)数据的茎叶图.记甲,乙两组数据的平均数依次为和, 则_. (填入:“”,“”,
5、或“”)【答案】 ; （2013届北京门头沟区一模文科数学）为了解本市的交通状况,某校高一年级的同学分成了甲、乙、丙三个组,从下午13点到18点,分别对三个路口的机动车通行情况进行了实际调查,并绘制了频率分布直方图(如图),记甲、乙、丙三个组所调查数据的标准差分别为,则它们的大小关系为_.(用“”连结)t1314151617180.10.30.21314151617180.10.30.21314151617180.10.30.2tt甲乙丙【答案】 （2013届北京西城区一模文科）某厂对一批元件进行抽样检测.经统计,这批元件的长度数据 (单位:)全部介于至之间.将长度数据以为组距分成以下组:,得
6、到如图所示的频率分布直方图.若长度在内的元件为合格品,根据频率分布直方图,估计这批产品的合格率是_. 【答案】; （2013届北京东城区一模数学文科）如图是甲、乙两名同学进入高中以来次体育测试成绩的茎叶图,则甲次测试成绩的平均数是_,乙次测试成绩的平均数与中位数之差是_.【答案】 （2013北京丰台二模数学文科试题及答案）已知变量具有线性相关关系,测得的一组数据如下:,其回归方程为,则的值等于_.【答案】 0.9; （2013届北京丰台区一模文科）某校从高一年级学生中随机抽取100名学生,将他们期中考试的数学成绩(均为整数)分成六段:40,50),50,60),90,100后得到频率分布直方图
7、(如图所示).则分数在70,80)内的人数是_【答案】 30 ; （2013北京海淀二模数学文科试题及答案）甲、乙两名运动员在8场篮球比赛中得分的数据统计如右图,则甲乙两人发挥较为稳定的是_.甲乙 909 8 516 7 6 322 3 3 5 78 631【答案】乙 （2013北京顺义二模数学文科试题及答案）以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名工人天加工的零件数,则甲组工人天每人加工零件的平均数为_;若分别从甲、乙两组中随机选取一名工人,则这两名工人加工零件的总数超过了的概率为_甲组乙组9 819 7 12 121【答案】 （2013北京西城高三二模数学文科）设,随机取自集合,则直线与圆有公共点
8、的概率是_. 【答案】 ; 三、解答题（北京市朝阳区2013届高三第一次综合练习文科数学）国家环境标准制定的空气质量指数与空气质量等级对应关系如下表:空气质量指数0-5051-100101-150151-200201-300 300以上空气质量等级1级优2级良3级轻度污染4级中度污染5级重度污染6级严重污染由全国重点城市环境监测网获得2月份某五天甲城市和乙城市的空气质量指数数据用茎叶图表示如下:甲城市2457109 7 35 63 15 8 8 乙城市()试根据上面的统计数据,判断甲、乙两个城市的空气质量指数的方差的大小关系(只需写出结果);()试根据上面的统计数据,估计甲城市某一天空气质量等
9、级为2级良的概率;()分别从甲城市和乙城市的统计数据中任取一个,试求这两个城市空气质量等级相同的概率.(注: ,其中为数据的平均数.)【答案】解:()甲城市的空气质量指数的方差大于乙城市的空气质量指数的方差 ()根据上面的统计数据,可得在这五天中甲城市空气质量等级为2级良的频率为, 则估计甲城市某一天的空气质量等级为2级良的概率为 , ()设事件A:从甲城市和乙城市的上述数据中分别任取一个,这两个城市的空气质量等级相同,由题意可知,从甲城市和乙城市的监测数据中分别任取一个,共有个结果,分别记为: (29,43),(29,41),(29,55),(29,58)(29,78) (53,43),(5
10、3,41),(53,55),(53,58),(53,78), (57, 43),(57,41),(57,55),(57,58),(57,78), (75,43),(75,41),(75, 55),(75,58),(75,78), (106,43),(106,41),(106,55),(106,58),(106,78). 其数据表示两城市空气质量等级相同的包括同为1级优的为甲29,乙41,乙43,同为2级良的为甲53,甲57,甲75,乙55,乙58,乙78. 则空气质量等级相同的为: (29,41),(29,43), (53,55),(53,58),(53,78), (57,55),(57,58
11、),(57,78), (75,55),(75,58),(75,78).共11个结果. 则. 所以这两个城市空气质量等级相同的概率为. （2013届房山区一模文科数学）是指大气中直径小于或等于微米的颗粒物,也称为可入肺颗粒物.我国标准采用世卫组织设定的最宽限值,即日均值在微克/立方米以下空气质量为一级;在微克/立方米微克/立方米之间空气质量为二级;在微克/立方米以上空气质量为超标.某城市环保局从该市市区年全年每天的监测数据中随机的抽取天的数据作为样本,监测值如茎叶图所示(十位为茎,个位为叶).() 若从这天的数据中随机抽出天,求至多有一天空气质量超标的概率;()根据这天的日均值来估计一年的空气质
12、量情况,则一年(按天计算)中平均有多少天的空气质量达到一级或二级?日均值(微克/立方米)3348179397【答案】解:由茎叶图可知:6天有4天空气质量未超标,有2天空气质量超标 记未超标的4天为,超标的两天为,则从6天抽取2天的所有情况为: , 基本事件总数为15 ()记“至多有一天空气质量超标”为事件,则“两天都超标”为事件, 易得, 所以 ()天中空气质量达到一级或二级的频率为 , 所以估计一年中平均有天的空气质量达到一级或二级 (说明:答243天,244天不扣分) （2013届北京大兴区一模文科）一次考试结束后,随机抽查了某校高三(1)班5名同学的数学与物理成绩如下表:学生数学8991
13、939597物理8789899293()分别求这5名同学数学与物理成绩的平均分与方差,并估计该班数学与物理成绩那科更稳定;()从以上5名同学中选2人参加一项活动,求选中的学生中至少有一个物理成绩高于90分的概率.【答案】解:5名学生数学成绩的平均分为: 5名学生数学成绩的方差为: 5名学生物理成绩的平均分为: 5名学生物理成绩的方差为: 因为样本的数学成绩方差比物理成绩方差大,所以,估计高三(1)班总体物理成绩比数学成绩稳定. ()设选中的学生中至少有一个物理成绩高于90分为事件A 5名学生中选2人包含基本事件有: 共10个. 事件A包含基本事件有:共7个. 所以,5名学生中选2人, 选中的学
14、生中至少有一个物理成绩高于90分的概率为. （2013届北京丰台区一模文科）在一次抽奖活动中,有a、b、c、d、e、f 共6人获得抽奖的机会.抽奖规则如下:主办方先从6人中随机抽取两人均获一等奖,再从余下的4人中随机抽取1人获二等奖,最后还从这4人中随机抽取1人获三等奖.()求a能获一等奖的概率;()若a、b已获一等奖,求c能获奖的概率.【答案】在一次抽奖活动中,有a、b、c、d、e、f 共6人获得抽奖的机会.抽奖规则如下:主办方先从6人中随机抽取两人均获一等奖,再从余下的4人中随机抽取1人获二等奖,最后还从这4人中随机抽取1人获三等奖. ()求a能获一等奖的概率; ()若a、b已获一等奖,求
15、c能获奖的概率. 解:()设“a能获一等奖”为事件A, 事件A等价于事件“从6人中随机取抽两人,能抽到a”.从6人中随机抽取两人的基本事件有(a、b)、(a、c)、(a、d)、(a、e)、(a、f)、(b、c)、(b、d)、(b、e)、(b、f)、(c、d)、(c、e)、(c、f)、(d、e)、(d、f)、(e、f)15个, 包含a的有5个,所以,P(A)=, 答: a能获一等奖的概率为 ()设“若a、b已获一等奖,c能获奖”为事件B, a、b已获一等奖,余下的四个人中,获奖的基本事件有(c,c)、(c、d)、(c、e)、(c、f)、(d,c)、(d、d)、(d、e)、(d、f)、(e,c)、
16、(e、d)、(e、e)、(e、f)、(f,c)、(f、d)、(f、e)、(f、f)16个, 其中含有c的有7种,所以,P(B)=, 答: 若a、b已获一等奖,c能获奖的概率为 （2013北京朝阳二模数学文科试题）为了解某市今年初二年级男生的身体素质状况,从该市初二年级男生中抽取了一部分学生进行“掷实心球”的项目测试.成绩低于6米为不合格,成绩在6至8米(含6米不含8米)的为及格,成绩在8米至12米(含8米和12米,假定该市初二学生掷实心球均不超过12米)为优秀.把获得的所有数据,分成五组,画出的频率分布直方图如图所示.已知有4名学生的成绩在10米到12米之间.()求实数的值及参加“掷实心球”项
17、目测试的人数;()根据此次测试成绩的结果,试估计从该市初二年级男生中任意选取一人,“掷实心球”成绩为优秀的概率;()若从此次测试成绩不合格的男生中随机抽取2名学生再进行其它项目的测试,求所抽取的2名学生来自不同组的概率. 组距频率米频率分布直方图0.0250.0752468100.1500.20012a【答案】解:()由题意可知,解得. 所以此次测试总人数为. 答:此次参加“掷实心球”的项目测试的人数为40人 ()由图可知,参加此次“掷实心球”的项目测试的初二男生,成绩优秀的频率为,则估计从该市初二年级男生中任意选取一人,“掷实心球”成绩为优秀的概率为 ()设事件A:从此次测试成绩不合格的男生
18、中随机抽取2名学生来自不同组. 由已知,测试成绩在有2人,记为;在有6人,记为. 从这8人中随机抽取2人有, 共28种情况. 事件A包括共12种情况. 所以. 答:随机抽取的2名学生来自不同组的概率为 （2013届北京市延庆县一模数学文）某市电视台为了宣传举办问答活动,随机对该市1565岁的人群抽样了人,回答问题统计结果如图表所示.()分别求出的值;()从第2,3,4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人,则第2,3,4组每组应各抽取多少人?()在()的前提下,电视台决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖,求:所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率.【答案】解:()第1组人数, 所
19、以, 第2组人数,所以, 第3组人数,所以, 第4组人数,所以 第5组人数,所以 ()第2,3,4组回答正确的人的比为,所以第2,3,4组每组应各依次抽取人,人,人 ()记抽取的6人中,第2组的记为,第3组的记为,第4组的记为, 则从6名学生中任取2名的所有可能的情况有15种,它们是: , , , , 其中第2组至少有1人的情况有9种,它们是: , , 故所求概率为 （2013届北京海滨一模文）在某大学自主招生考试中,所有选报II类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试,成绩分为A,B,C,D,E五个等级. 某考场考生的两科考试成绩的数据统计如下图所示,其中“数学与逻
20、辑”科目的成绩为B的考生有10人. (I)求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A的人数; (II)若等级A,B,C,D,E分别对应5分,4分,3分,2分,1分,求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分; ()已知参加本考场测试的考生中,恰有两人的两科成绩均为A. 在至少一科成绩为A的考生中,随机抽取两人进行访谈,求这两人的两科成绩均为A的概率.【答案】解: (I)因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为B的考生有10人, 所以该考场有人 所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A的人数为 (II)求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为 ()因为两科考试中,共有6人得分等级为A,又恰有两人的
21、两科成绩等级均为A, 所以还有2人只有一个科目得分为A 设这四人为甲,乙,丙,丁,其中甲,乙是两科成绩都是A的同学,则在至少一科成绩等级为A的考生中,随机抽取两人进行访谈,基本事件空间为 甲,乙,甲,丙,甲,丁,乙,丙,乙,丁,丙,丁,一共有6个基本事件 设“随机抽取两人进行访谈,这两人的两科成绩等级均为A”为事件B,所以事件B中包含的基本事件有1个,则 （2013届北京西城区一模文科）某商区停车场临时停车按时段收费,收费标准为:每辆汽车一次停车不超过小时收费元,超过小时的部分每小时收费元(不足小时的部分按小时计算).现有甲、乙二人在该商区临时停车,两人停车都不超过小时.()若甲停车小时以上且
22、不超过小时的概率为,停车付费多于元的概率为,求甲停车付费恰为元的概率;()若每人停车的时长在每个时段的可能性相同,求甲、乙二人停车付费之和为元的概率.【答案】()解:设“甲临时停车付费恰为元”为事件, 则 . 所以甲临时停车付费恰为元的概率是 ()解:设甲停车付费元,乙停车付费元,其中 则甲、乙二人的停车费用构成的基本事件空间为: ,共种情形 其中,这种情形符合题意 故“甲、乙二人停车付费之和为元”的概率为 （2013北京东城高三二模数学文科）用分层抽样方法从高中三个年级的相关人员中抽取若干人组成研究小组,有关数据见下表:(单位:人)年级相关人数抽取人数高一99高二27高三182()求,;()
23、若从高二、高三年级抽取的人中选人,求这二人都来自高二年级的概率.【答案】(共13分) 解:()由题意可得 ,所以,. ()记从高二年级抽取的人为,从高三年级抽取的人为, 则从这两个年级中抽取的人中选人的基本事件有:,共种 设选中的人都来自高二的事件为, 则包含的基本事件有:,共种. 因此. 故选中的人都来自高二的概率为 （2013届北京东城区一模数学文科）为了解高三学生综合素质测评情况,对2000名高三学生的测评结果进行了统计,其中优秀、良好、合格三个等级的男、女学生人数如下表: 优秀良好合格男生人数380373女生人数370377()若按优秀、良好、合格三个等级分层,在这2000份综合素质测
24、评结果中随机抽取80份进行比较分析,应抽取综合素质测评结果是优秀等级的多少份?()若,求优秀等级的学生中男生人数比女生人数多的概率.【答案】(共13分) 解:()由表可知,优秀等级的学生人数为: . 因为, 故在优秀等级的学生中应抽取份. ()设“优秀等级的学生中男生人数比女生人数多”为事件. 因为,且,为正整数, 所以数组的可能取值为: ,共个. 其中满足的数组的所有可能取值为: ,共5个,即事件 包含的基本事件数为. 所以. 故优秀等级的学生中男生人数比女生人数多的概率为. （北京市石景山区2013届高三一模数学文试题）PM2.5指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物,也称为可入肺颗粒物
25、.PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级:在35微克/立方米75微克/立方米之间空气质量为二级;在75微克/立方米以上空气质量为超标.石景山古城地区2013年2月6日至I5日每天的PM2.5监测数据如茎叶图所示.()计算这10天PM2.5数据的平均值并判断其是否超标: ()小陈在此期间的某天曾经来此地旅游,求当天PM2.5日均监测数据未超标的概率:(III)小王在此期间也有两天经过此地,这两天此地PM2.5监测数据均未超标.请计算出这两天空气质量恰好有一天为一级的概率.【答案】 （2013北京房山二模数学文科试题及答案）一个质地均匀的正方体的六个面上分别标有数字,一个质地均匀的正
26、四面体的四个面上分别标有数字.将这个正方体和正四面体同时抛掷一次,正方体正面向上的数字为,正四面体的三个侧面上的数字之和为 .()求事件的概率;()求事件“点满足”的概率.【答案】()由题可知的取值为,的取值为 基本事件空间: 共计24个基本事件 满足的有共2个基本事件 所以事件的概率为 ()设事件B=“点(a,b)满足” 当时,满足 当时,满足 当时,满足 所以满足 的有, 所以 （2013届北京门头沟区一模文科数学）某学校有两个参加国际中学生交流活动的代表名额,为此该校高中部推荐了2男1女三名候选人,初中部也推荐了1男2女三名候选人.(I)若从初高中各选1名同学做代表,求选出的2名同学性别
27、相同的概率;(II)若从6名同学中任选2人做代表,求选出的2名同学都来自高中部或都来自初中部的概率.【答案】解:设高中部三名候选人为A1,A2,B.初中部三名候选人为a,b1,b2 (I)由题意,从初高中各选1名同学的基本事件有 (A1,a),(A1,b1),(A1,b2), (A2,a),(A2,b1),(A2,b2), (B,a),(B,b1),(B,b2),共9种 设“2名同学性别相同”为事件E,则事件E包含4个基本事件, 概率P(E)= 所以,选出的2名同学性别相同的概率是 (II)由题意,从6名同学中任选2人的基本事件有 (A1 ,A2),(A1,B),(A1,a),(A1,b1),
28、(A1,b2), (A2,B),(A2,a),(A2,b1),(A2,b2),(B,a), (B,b1),(B,b2),(a,b1),(a,b2),(b1,b2)共15种 设“2名同学来自同一学部”为事件F,则事件F包含6个基本事件, 概率P(F)= 所以,选出的2名同学都来自高中部或都来自初中部的概率是 （2013北京丰台二模数学文科试题及答案）151617189 8 85 5 1 1 02 196 92 3 4 72 3 5第一组第二组高三某班20名男生在一次体检中被平均分成两个小组,第一组和第二组学生身高(单位:cm)的统计数据用茎叶图表示(如图).()求第一组学生身高的平均值和方差;
29、()从身高超过180cm的五位同学中随机选出两位同学参加校篮球队集训,求这两位同学在同一小组的概率.【答案】解: (), ; 答: 第一组学生身高的平均值为173cm,方差为23.6. ()设“甲、乙在同一小组”为事件A, 身高在180以上的学生别记为a,b,c,d,e,其中a,b属于第一组,c,d,e属于第二组. 从五位同学中随机选出两位的结果是如下10种: (a,b);(a,c); (a,d);(a,e);(b,c);(b,d);(b,e);(c,d);(c,e);(d,e). 其中两位同学在同一小组的4种结果是:(a,b); (c,d);(c,e);(d,e) . 答: 甲乙两位同学在同一小组的概率为
