1、北京101中学20142015学年度高三第一学期期中模拟试卷数 学 试 题一、填空题（将答案写在答卷纸上相应的位置）1计算 。2已知 。3椭圆的 离心率为 。 4若，其中是虚数单位，则 。5右图是某算法的流程图，则执行该算法输出的结果是 。6函数为奇函数，则实数 。7“”是“实系数一元二次方程有两异号实根”的 条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或者“既不充分又不必要”）8函数的最大值是 。9直线截得的弦AB的长为 。10在公差为正数的等差数列中，是其前项和，则使取最小值的是 。11已知向量a和b的夹角是60， 。12函数的定义域是 。13在中，若 。14设函数的根都在区间-2，2
2、内，且函数在区间（0，1）上单调递增，则b的取值范围是 。二、解答题（将解答过程写在答卷纸上相应的位置）15（本小题满发14分） 已知 （I）求的值； （II）求的值16（本小题满分14分）在直角坐标系中，O为坐标原点，设直线经过点，且与轴交于点F（2，0）。 （I）求直线的方程； （II）如果一个椭圆经过点P，且以点F为它的一个焦点，求椭圆的标准方程。17（本小题满分14分） 已知：在函数的图象上，以为切点的切线的倾斜角为 （I）求的值； （II）是否存在最小的正整数，使得不等式恒成立？如果存在，请求出最小的正整数，如果不存在，请说明理由。18（本小题满分16分）如图，已知矩形ABCD中，A
3、B=10，BC=6，沿矩形的对角线BD把折起，使A移到A1点，且A1在平面BCD上的射影O恰好在CD上。 （I）求证： （2）求证：平面平面19（本小题满分16分） 如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求M在AB的延长线上，N在AD的延长线上，且对角线MN过C点。已知AB=3米，AD=2米。 （I）设（单位：米），要使花坛AMPN的面积大小32平方米，求的取值范围； （II）若（单位：米），则当AM，AN的长度分别是多少时，花坛AMPN的面积最大？并求出最大面积。20（本小题满分16分）已知数列中，前项和为 （I）证明数列是等差数列，并求出数列的通项公式； （II
4、）设，数列的前项和为，求使不等式对一切都成立的最大正整数的值。参考答案一、填空题120，1200812093415166-17充要898101011412132143，4二、解答题15已知 （I）求的值； （II）求的值解：（I）由得2分 故6分 （II）原式8分 12分 14分16在直角坐标系中，O 为坐标原点，设直线经过点，且与轴交于点F（2，0）。 （I）求直线的方程； （II）如果一个椭圆经过点P，且以点F为它的一个焦点，求椭圆的标准方程。 解：（I）由于直线经过点和F（2，0）， 则根据两点式得，所求直线的方程为3分 即 从而直线的方程是7分 （II）设所求椭圆的标准方程为8分 由于
5、一个焦点为F（2，0），则10分 又点在椭圆上， 则12分 由解得 所以所求椭圆的标准方程为14分17已知：在函数的图象上，以为切点的切线的倾斜角为 （I）求的值； （II）是否存在最小的正整数，使得不等式恒成立？如果存在，请求出最小的正整数，如果不存在，请说明理由。 解：（1）依题意，得 因为6分 （II）令8分 当 当 当 又 因此， 当12分 要使得不等式恒成立，则 所以，存在最小的正整数使得不等式恒成立。 14分18如图，已知矩形ABCD中，AB=10，BC=6，沿矩形的对角线BD把折起，使A移到A1点，且A1在平面BCD上的射影O恰好在CD上。 （I）求证： （2）求证：平面平面 证
6、明：（I）由于A1在平面BCD上的射影O在CD上， 则 则4分 又 则 故8分 （II）因为ABCD为矩形，所以 由（I）知 又 从而有平面16分19如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求M在AB的延长线上，N在AD的延长线上，且对角线MN过C点。已知AB=3米，AD=2米。 （I）设（单位：米），要使花坛AMPN的面积大小32平方米，求的取值范围； （II）若（单位：米），则当AM，AN的长度分别是多少时，花坛AMPN的面积最大？并求出最大面积。解：由于则AM故SAMPNANAM 4分 （1）由SAMPN 32 得 32 ，因为x 2，所以，即（3x8）（x8）
7、 0从而即AN长的取值范围是8分 （2）令y，则y 10分因为当时，y 0，所以函数y在上为单调递减函数，从而当x3时y取得最大值，即花坛AMPN的面积最大27平方米，此时AN3米，AM=9米 15分分 答：（略）20已知数列中，前项和为 （I）证明数列是等差数列，并求出数列的通项公式； （II）设，数列的前项和为，求使不等式对一切都成立的最大正整数的值。 解：（I）由题意，当 当 则 则 即 则数列是首项为1，公差为0的等差数列。6分 从而，则数列是首项为1，公差为1的等差数列。 所以，8分 （II）10分 所以， 12分 由于 因此单调递增，故的最小值为14分 令，所以的最大值为18。16分
