1、第76课特征值与特征向量【自主学习】第76课 特征值与特征向量(本课时对应学生用书第196198页)自主学习回归教材1. (选修4-2P72习题1改编)设A为二阶矩阵，已知A=3，A=2，求矩阵A的特征值.【解答】由特征值与特征向量的定义即可得到1=2，2=3.2. (选修4-2P72习题2改编)设矩阵A=，求矩阵A的特征向量.【解答】f()=2-1=0，得1=1，2=-1，对应的一个特征向量分别为1=，2=.3. (选修4-2P72习题1改编)已知矩阵M=，求矩阵M的特征向量.【解答】矩阵M的特征多项式为f()=(-2)(-1)-6，令f()=0，得矩阵M的特征值为1=4，2=-1.将1=4
2、代入二元一次方程组解得x=y，不妨设x=3k，kR，且k0，于是矩阵M属于特征值4的一个特征向量为.将2=-1代入二元一次方程组解得x=-y，不妨设x=m，mR，且m0，于是矩阵M属于特征值-1的一个特征向量为.因此矩阵M的特征值为4和-1，对应的一个特征向量分别为，.4. (选修4-2P72习题3改编)已知矩阵M=，向量=，求M3.【解答】f()=(+1)(-3)-5，令f()=0，得1=4，2=-2.1=4对应的一个特征向量1为，2=-2对应的一个特征向量2为.因为1与2不共线，又 =3+=31+2，所以M3=M3(31+2)=3M31+M32=31+2=343+(-2)3=.5. (选修
3、4-1P67例1改编)已知矩阵A=，其中aR，若点P(1，1)在矩阵A对应的变换作用下得到点P1(0，-3)，求实数a的值及矩阵A的特征值和特征向量.【解答】由=，得a=-4，令f()=(-1)(-1)-4=0，得=-1或3.当=-1时对应的一个特征向量为，当=3时对应的一个特征向量为.1. 设A是一个二阶矩阵，如果对于实数，存在一个非零向量，使得A = ，那么称为A的一个特征值，而称为A的属于特征值的一个特征向量.注意，特征值与特征向量一定要强调它们的对应关系，一个特征值对应的特征向量并不唯一，它有无穷多个特征向量.2. 设A=是一个二阶矩阵，R，我们把行列式f()=2-(a+d)+ad-b
4、c称为A的特征多项式.若是f()=0的一个根，则是A的一个特征值，用这种方法可以把A的特征值全部求出来.3. 求特征向量和特征值的步骤：(1)f()=0；(2)解(-a)x-by=0；(3)取x=1或y=1，写出相应的向量.【要点导学】要点导学各个击破求矩阵的特征值和特征向量例1已知矩阵A=，求A的特征值1，2及对应的特征向量1，2.【思维引导】根据矩阵的特征值与特征向量的概念，直接计算即可，需要注意的是，矩阵的特征向量不唯一.若为一个矩阵的特征向量，则t(tR，t0)也为该矩阵的特征向量.【解答】设A的一个特征值为，由题意知f()=0，则(-2)(-3)=0，解得1=2，2=3.当1=2时，
5、由=2，得矩阵A属于特征值2的一个特征向量1=；当2=3时，由=3，得矩阵A属于特征值3的一个特征向量2=.【精要点评】计算矩阵M=的特征值和特征向量的步骤如下：(1)由矩阵M得到特征多项式f()=；(2)求特征多项式的根，即求f()=2-(a+d)+(ad-bc)=0的根；(3)将特征多项式的根，即特征值代入特征方程组求得非零解对应的向量，即矩阵M对应的特征向量.变式(2015南通、扬州、淮安、连云港二调)设是矩阵M=的一个特征向量，求实数a的值.【解答】设是矩阵M属于特征值的一个特征向量，则=，故解得故实数a的值为1.例2(2015江苏卷)已知x，yR，向量=是矩阵A=的属于特征值-2的一
6、个特征向量，求矩阵A以及它的另一个特征值.【思维引导】由矩阵特征值与特征向量可列出关于x，y的方程组，再根据特征多项式求出矩阵的另一个特征值.【解答】由已知得A=-2，即=，则即所以矩阵A=，从而矩阵A的特征多项式f()=(+2)(-1)，所以矩阵A的另一个特征值为1.变式(2015南京调研)已知矩阵A=的属于特征值的一个特征向量为=.(1)求实数b，的值；(2)若曲线C在矩阵A对应的变换作用下，得到的曲线为C：x2+2y2=2，求曲线C的方程.【解答】(1)因为矩阵A=属于特征值的一个特征向量为=，所以=，即=，从而解得b=0，=2.(2)由(1)知A=.设曲线C上任意一点M(x，y)在矩阵
7、A对应的变换作用下变为曲线C上一点P(x0，y0)，则=，从而因为点P在曲线C上，所以+2=2，即(2x)2+2(x+3y)2=2，从而3x2+6xy+9y2=1，所以曲线C的方程为3x2+6xy+9y2=1.特征值及特征向量的应用例3(2014苏州、无锡、常州、镇江、连云港、徐州二调)已知矩阵M=，=，计算M6.【思维引导】首先求出矩阵M的特征值1，2及对应的特征向量1，2，然后用特征向量线性表示向量，再利用Mn=m1+n2进行计算.【解答】 矩阵M的特征多项式为f()=2-2-3.令f()=0，解得1=3，2=-1，对应的一个特征向量分别为1=，2=.令=m 1+n 2，得m=4，n=-3
8、.M6=M6(41-32)=4(M61)-3(M62)=436-3(-1)6=.【精要点评】求Mn的一般步骤：(1)求M=，即M的特征值和特征向量；(2)用特征向量1，2线性表示向量=，即=m1+n2，m，n是常数，但一般不是1，2；(3)代入M=M(m1+n2)=mM1+nM2，因为M1=11，M2=22，mM1+nM2=m11+n22，因此Mn=m1+n2.变式已知矩阵A=，向量=.(1)求矩阵A的逆矩阵；(2)计算A5的值.【解答】(1)因为|A|=60，故A-1=.(2)矩阵A的特征多项式为f()=2-5+6，由f()=0，解得1=2，2=3.当1=2时，解得对应的一个特征向量1=；当
9、2=3时，解得对应的一个特征向量2=.设=m1+n2，得解得m=3，n=1，则A5=A5(31+2)=3(A51)+A52=3(1)+2=325+35=.1. (2015常州期末)已知矩阵M=满足Mi=ii，其中i(i=1，2)是互不相等的实常数，i(i=1，2)是非零的平面列向量，1=1，2=，求矩阵M.【解答】由题意知1，2是方程f()=2-ab=0的两个实数根.因为1=1，所以ab=1.又M2=22，所以=2，从而所以=ab=1.因为12，所以2=-1，从而a=b=-1，故矩阵M=.2. 求矩阵M=的特征值和特征向量，并计算M8的值.【解答】矩阵M的特征多项式f()=(-1)(+1).令
10、f()=0，得1=1，2=-1.矩阵M的属于特征值1的一个特征向量为1=，矩阵M的属于特征值-1的一个特征向量为2=.又=21+32，所以M8=M8(21+32)=2(M81)+3(M82)=2+3(-1)8=.3. (2016苏州一模)已知二阶矩阵M有特征值=3及对应的一个特征向量e1=，并且矩阵M对应的变换将点(-1，2)变换成点(9，15)，求矩阵M.【解答】设M=，则=3=，故=，故联立以上两方程组，解得a=-1，b=4，c=-3，d=6，故M=.4. (2014淮安、宿迁摸底)已知矩阵A=，若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为1=，属于特征值1的一个特征向量为2=.求矩阵A，并写出A
11、的逆矩阵.【解答】由矩阵A属于特征值6的一个特征向量为1=，可得=6，即c+d=6.由矩阵A属于特征值1的一个特征向量为2=，可得=，即3c-2d=-2.联立方程解得即A=，故A-1=.趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成配套检测与评估中的练习第151152页.【检测与评估】第76课特征值与特征向量1(2015南京、盐城、徐州二模)已知矩阵A=，A的逆矩阵A-1=.(1)求a，b的值；(2)求矩阵A的特征值.2(2015盐城三模)若矩阵M=属于特征值3的一个特征向量为=，求矩阵M的逆矩阵M-13(2014南京、盐城二模)已知矩阵A=的一个特征值为2，其对应的一个特征向量为=.(1)求矩阵A
12、；(2)若A=，求x，y的值.4已知矩阵A的逆矩阵A-1=.(1)求矩阵A；(2)求矩阵A-1的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量.5已知二阶矩阵A=，矩阵A属于特征值1=-1的一个特征向量为1=.(1)求矩阵A的另一个特征值及其对应的一个特征向量；(2)若向量M=，求A4M.6已知二阶矩阵M属于特征值=5的一个特征向量是e=，且矩阵M对应的变换将点(-1，2)变换为点(-2，4)，求矩阵M.7(2015宿迁一模)已知二阶矩阵A属于特征值1=1的一个特征向量为e1=，属于特征值2=2的一个特征向量为e2=，试求矩阵A.8已知矩阵M=，=，试计算M9.【检测与评估答案】第76课特征值与特征向
13、量1 (1)因为AA-1=，所以解得(2)由(1)得A=，则矩阵A的特征多项式为f()=(-3)(-1).令f()=0，解得矩阵A的特征值为1=1，2=32 由题意得=3，解得所以M=.设M-1=，则MM-1=，解得x=-，y=，z=，w=-，即M-1=.3 (1)由题意得=2，即解得a=2，b=4，所以A=.(2)方法一：因为A=，即=，所以解得方法二：由(1)知A=，所以A-1=.因为A=，所以=A-1=，所以4 (1)设矩阵A=.由AA-1=E，得=，所以解得所以A=.(2)矩阵A-1的特征多项式为f()=2-4+3=(-1)(-3).令f()=0，得矩阵A-1的特征值为1=1，2=3所
14、以1=是矩阵A-1的属于特征值1=1的一个特征向量；2=是矩阵A-1的属于特征值2=3的一个特征向量.5 (1)由题意得=-1，所以=，所以矩阵A的特征多项式为f()=(-2)(-1)-6令f()=0，解得1=-1，2=4，所以特征值2=4对应的一个特征向量为2=.(2)M=2-，所以A4M=2A4-A4=2(-1)4-44=-44=.6 设M=.依题意得=，且=，所以解得所以M=.7 设矩阵A=.因为是矩阵A的属于1=1的特征向量，则有=1.又因为是矩阵A的属于2=2的特征向量，则有=2.根据，则有从而a=2，b=-1，c=0，d=1，所以A=.8 矩阵M的特征多项式为f()=(-3)(+2)+4=2-2令f()=0，得1=2，2=-1当1=2时，对应的一个特征向量为1=；当1=-1时，对应的一个特征向量为2=，=1+22，所以M9=29+(-1)92=.
