1、北京四中2012-2013年度第一学期高三年级期中数学试题 试卷满分为150分，考试时间为120分钟。考生务必将答案写在答题纸上，在试卷上作答无效。 第一部分（选择题，共40分） 一、选择题：（每小题5分，共40分, 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B【解析】,，所以,选B.2. “”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】由，得或，所以“”是“”的充分不必要条件，选B, 3. 是等差数列的前项和，若，则（ ） A. 15 B.
2、18 C. 9 D. 12 【答案】D【解析】在等差数列中，所以，所以，选D. 4. 设为两个平面，为两条直线，且，有如下两个命题： 若；若. 那么（ ） A是真命题，是假命题 B是假命题，是真命题 C、都是真命题 D、都是假命题 【答案】D【解析】若，则或异面，所以错误。同理也错误，所以选D. 5. 若是所在平面内的一点，且满足，则一定是（ ） A. 等边三角形 B. 等腰直角三角形 C. 直角三角形 D. 斜三角形 【答案】C【解析】由得,即，所以,所以三角形为直角三角形，选C.6将函数的图象按向量平移后得到图象对应的函数解析式是（ ） A B C D【答案】D【解析】图象按向量平移，相当
3、于先向右平移个单位，然后在向上平移1个单位。图象向右平移个单位，得到，然后向上平移1个单位得到，选D. 7已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为（ ） A B C D【答案】B【解析】由图象可知，即。又，所以，所以函数。又，即，即，即，因为，所以，所以函数为，选B. 8. 已知函数，给出下列四个说法： 若，则； 的最小正周期是； 在区间上是增函数； 的图象关于直线对称 其中正确说法的个数为（ ） A1 B2 C3 D4【答案】B【解析】函数，若，即，所以，即，所以或，所以错误；所以周期，所以错误；当时，函数递增，所以正确；当时，为最小值，所以正确，所以正确的有2个，选B. 第二部分（非选
4、择题，共110分） 二、填空题：（每小题5分，共30分） 9. 函数的递增区间是_. 【答案】【解析】令，则函数在定义域上单调递减，由得，或，当时，单调递减，根据复合函数的单调性可知，此时函数单调递增，所以函数的递增区间为。10. 向量，满足，且，则，夹角的等于_. 【答案】【解析】由得，即，所以，所以。 11已知函数的最小正周期是，则正数_. 【答案】2【解析】 因为的周期为，而绝对值的周期减半，即的周期为，由，得。 12湖面上漂着一个小球，湖水结冰后将球取出，冰面上留下了一个直径为12 cm，深2 cm的空穴，则该球的半径是_cm，表面积是_cm. 【答案】10，400【解析】设球的半径为
5、r，画出球与水面的位置关系图，如图： 由勾股定理可知，解得r =10.所以表面积为。13某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是_. 【答案】 【解析】由三视图可知，该几何体为直三棱柱，所以体积为。 14. 如上页图，一条螺旋线是用以下方法画成：是边长为1的正三角形，曲线分别以为圆心，为半径画的弧，曲线称为螺旋线旋转一圈然后又以为圆心为半径画弧，这样画到第圈，则所得整条螺旋线的长度_(用表示即可) 【答案】【解析】设第n段弧的弧长为，由弧长公式，可得 数列是以为首项、为公差的等差数列.画到第n圈，有3n段弧， 故所得整条螺旋线的长度 三、解答题：（本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说
6、明，演算步骤或证明过程.） 15.（本小题满分13分） 在中，. （）求角； （）设，求的面积. 16.（本小题13分） 已知函数. （）求函数图象的对称轴方程； （）求的单调增区间； （）当时,求函数的最大值,最小值. 17.（本小题满分13分） 如图，正三棱柱中，D是BC的中点， （）求证：； （）求证：； （）求三棱锥的体积. 18.（本小题满分13分） 已知各项都不相等的等差数列的前六项和为60，且的等比中项. （）求数列的通项公式； （）若数列的前项和 19.（本小题满分14分） 已知函数处取得极值. （）求的值； （）若当恒成立，求的取值范围； （）对任意的是否恒成立？如果成立，给
7、出证明，如果不成立， 请说明理由. 20.（本小题满分14分） 设数列的首项R），且， （）若； （）若，证明：； （）若，求所有的正整数，使得对于任意，均有成立.【参考答案】 第一部分（选择题，共40分） 一、选择题（每小题5分，共40分） 1. B 2. B 3. D 4. D 5. C 6. D 7. B 8. B 第二部分（非选择题，共110分） 二、填空题：（每小题5分，共30分） 9. 10. 11. 2 12. 10，400 13. 14. n (3n+1) 三、解答题：（本大题共6小题，共80分） 15.（本小题满分13分） （）解：由， 得， 所以 3分 6分 且， 故 7分
8、 （）解：据正弦定理得，10分 所以的面积为 13分 16. （本小题13分） 解： （I）. 3分 令. 函数图象的对称轴方程是 5分 （II） 故的单调增区间为 8分 (III) , 10分 . 11分 当时,函数,最小值为. 13分 17（本小题满分13分） （）证明：ABCA1B1C1是正三棱柱， BB1平面ABC， BD是B1D在平面ABC上的射影 在正ABC中，D是BC的中点， ADBD， 根据三垂线定理得，ADB1D （）解：连接A1B，设A1BAB1 = E，连接DE. AA1=AB 四边形A1ABB1是正方形， E是A1B的中点， 又D是BC的中点， DEA1C. 7分 DE
9、平面AB1D，A1C平面AB1D， A1C平面AB1D. 9分 （） 13分 18（本小题满分13分） 解： （）设等差数列的公差为，则 1分 又 2分 解得 4分 . 5分 6分 （）由 9分 13分 19（本小题满分14分） 解： （）f(x)=x3x2+bx+c， f(x)=3x2x+b. 2分 f(x)在x=1处取得极值， f(1)=31+b=0. b=2. 3分 经检验，符合题意. 4分 （）f(x)=x3x22x+c. f(x)=3x2x2=(3x+2)(x1)， 5分x 1 (1,2) 2f(x) + 0 0 +f(x) 7分 当x=时，f(x)有极大值+c. 又 x1，2时，f
10、(x)最大值为f(2)=2+c. 8分 c22+c. c2. 10分 （）对任意的恒成立. 由（）可知，当x=1时，f(x)有极小值. 又 12分 x1，2时，f(x)最小值为. ，故结论成立. 14分 20（本小题满分14分） （）解：因为 所以a2=a1+4=a+4，且a2（3，4） 所以a3=a23=a+1，且a3（0，1） 所以a4=a3+4=a+3，且a4（3，4） 所以a5=a43=a 4分 （）证明：当 所以， 6分 当 所以， 综上， 8分 （）解：若 因此，当k=4m（mN*）时，对所有的nN*，成立 10分 若 因此，当k=2m（mN*）时，对所有的nN*，成立 12分 若， 因此k=m（mN*）时，对所有的nN*，成立 13分 综上，若0a1，则k=4m；，则k=2m； 若a=2，则k=m. mN* 14分
