1、1.4两条直线的交点学 习 任 务核 心 素 养1会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标(重点)2会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系(难点)通过对两直线交点坐标的学习，提升数学运算、直观想象的数学素养点P(x0，y0)在直线AxByC0上，那么我们会有Ax0By0C0；若P(x0，y0)同时在两条直线A1xB1yC10和A2xB2yC20上时，我们会有Aix0Biy0Ci0(i1，2)，那么点P就是这两条直线的交点下面我们就来研究两直线的交点问题知识点直线的交点与直线的方程组解的关系方程组的解一组无数组无解直线l1，l2的公共点个数一个无数个零个直线l1，l2的位置关系相交重合平行1
2、思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)若由两条直线的方程组成的方程组只有一个公共解，则两条直线相交()(2)若两条直线的斜率都存在且不等，则两条直线相交()(3)直线系方程A1xB1yC1(A2xB2yC2)0表示经过直线A1xB1yC10和直线A2xB2yC20交点的所有直线()(4)直线A1xB1yC10与直线A2xB2yC20有交点的等价条件是A1B2A2B10()答案(1)(2)(3)(4)2直线x1和直线y2的交点坐标是()A(2，2)B(1，1)C(1，2)D(2，1)C由得交点坐标为(1，2)，故选C3当0k1时，两条直线yx1，2xyk20的交点在()A第一象限B第二象限
3、C第三象限D第四象限B联立两直线方程得它们的交点坐标为，因为0k1，所以k10，因此点(k1，k)在第二象限 类型1两条直线的交点问题【例1】分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点(1)l1：2xy7和l2：3x2y70；(2)l1：2x6y40和l2：4x12y80；(3)l1：4x2y40和l2：y2x3解法一：(1)方程组的解为因此直线l1和l2相交，交点坐标为(3，1)(2)方程组有无数个解，这表明直线l1和l2重合(3)方程组无解，这表明直线l1和l2没有公共点，故l1l2法二：(1)kl12，kl2，kl1kl2，l1与l2相交，由得故l1与l2的交点为(3，1)(2)由
4、，知l1与l2重合(3)l2方程为2xy30，由知两直线l1与l2平行两条直线相交的判定方法方法一：联立直线方程解方程组，若有一解，则两直线相交方法二：两直线斜率都存在且斜率不等方法三：两直线的斜率一个存在，另一个不存在跟进训练1若直线l1：ykxk2与直线l2：y2x4的交点在第一象限内，则实数k的取值范围是()AkBk2Ck2Dk或k2C法一：由题意知，直线l1过定点P(1，2)，斜率为k，直线l2与x轴、y轴分别交于点A(2，0)、B(0，4)，若直线l1与l2的交点在第一象限内，则l1必过线段AB上的点(不包括A，B)，因为kPA，kPB2，所以k2故选C法二：由直线l1，l2有交点，
5、得k2由得又交点在第一象限内，所以解得k2 类型2直线恒过定点问题【例2】求证：不论m取什么实数，直线(2m1)x(m3)y(m11)0都经过一定点，并求出这个定点坐标证明法一：对于方程(2m1)x(m3)y(m11)0，令m0，得x3y110；令m1，得x4y100解方程组得两条直线的交点坐标为(2，3)将点(2，3)代入直线，得(2m1)2(m3)(3)(m11)0这表明不论m取什么实数，所给直线均经过定点(2，3)法二：将已知方程(2m1)x(m3)y(m11)0整理为(2xy1)m(x3y11)0由于m取值的任意性，有解得所以不论m取什么实数，所给直线均经过定点(2，3)解含有参数的直
6、线恒过定点的问题(1)任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解(2)含有一个参数的二元一次方程若能整理为A1xB1yC1(A2xB2yC2)0，其中是参数，这就说明了它表示的直线必过定点，其定点可由方程组解得若整理成yy0k(xx0)的形式，则表示直线必过定点(x0，y0)跟进训练2不论m为何实数，直线(m1)x(2m1)ym5恒过的定点坐标是_(9，4)法一：取m1，得直线y4取m，得直线x9故两直线的交点为(9，4)，下面验证直线(m1)x(2m1)ym5恒过点(9，4)将x9，y4代入方程，左边(m1)94(
7、2m1)m5右边，故直线恒过定点(9，4)法二：直线方程可变形为(x2y1)m(xy5)0，对任意m该方程恒成立，解得故直线恒过定点(9，4) 类型3过两条直线交点的直线系方程应用【例3】求过两直线2x3y30和xy20的交点且与直线3xy10平行的直线方程1已知一点与斜率，如何求直线的方程？提示用点斜式写出直线的方程2过两条直线2x3y30与xy20的交点的直线系方程是什么？提示2x3y3(xy2)0(不包括直线xy20)解法一：解方程组得所以两直线的交点坐标为又所求直线与直线3xy10平行，所以所求直线的斜率为3故所求直线方程为y3，即15x5y160法二：设所求直线方程为(2x3y3)(
8、xy2)0，即(2)x(3)y(23)0(*)由于所求直线与直线3xy10平行，所以有得代入(*)式，得xy0，即15x5y1601本例中将“3xy10”改为“x3y10”，则如何求解？解由例题知直线2x3y30和xy20的交点坐标为，直线l与x3y10平行，故斜率为，所以直线l的方程为y，即5x15y2402本例中若将“平行”改为“垂直”，又如何求解？解设所求直线方程为(2x3y3)(xy2)0，即(2)x(3)y(23)0，由于所求直线与直线3xy10垂直，则3(2)(3)10，得，所以所求直线方程为5x15y180过两条直线交点的直线方程的求法(1)常规解法(方程组法)：一般是先解方程组
9、求出交点坐标，再结合其他条件写出直线方程(2)特殊解法(直线系法)：先设出过两条直线交点的直线方程，再结合其他条件用待定系数法求出参数，最后确定直线方程1直线2xy80和直线xy10的交点坐标是()A(9，10)B(9，10)C(9，10)D(9，10)B解方程组得故两直线的交点坐标为(9，10)2(多选题)下列各组直线中，两直线相交的是()Ayx2和y1Bxy10和yx5Cxmy10(m2)和x2y10D2x3y10和4x6y10ACA两直线显然相交；B两直线平行；C直线xmy10过点(1，0)，直线x2y10过点(1，0)，故两直线相交；D两直线平行3若三条直线2x3y80，xy10和xk
10、y0相交于一点，则k的值等于_由得把(1，2)代入xky0并解得k4不论a取何值时，直线(a3)x2ay60恒过第_象限四方程可化为a(x2y)(3x6)0，由得(2，1)在第四象限，故直线恒过第四象限5已知直线xy3m0和2xy2m10的交点M在第四象限，求实数m的取值范围解由得交点M的坐标为交点M在第四象限，解得1mm的取值范围是回顾本节知识，自我完成以下问题：1两条直线A1xB1yC10和A2xB2yC20相交的充要条件是什么？提示方程组有唯一解，即A1B2A2B102过直线A1xB1yC10与A2xB2yC20交点的直线方程是什么？提示A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(R)，但不包括直线A2xB2yC20
