1、 数列一直是高考的重点和热点，有时甚至是难点历年 来，数列在高考中的题型有如下特征：1每年必出一道选择题或填空题，主要考查等差、等比数列的概念和性质，以及通项公式、前n项和公式的灵活运用，题目具有“小、巧、活”的特点 2每年必出一道解答题，题目往往与函数、导数、三角不等式、方程、平面向量、解析几何等知识综合起来考查，难度中等或中等偏难，突出考查对数列知识的理解、分析能力，创新能力，运算能力以及化归转化能力相对于理科的命题，文科更注重基本解法、基本能力的考查 3从新考纲的要求来看，2012年高考仍将延续这些特征，并将更侧重于考查学生的创新能力与逻辑思维能力 针对新课标考试“强调基础，淡化技巧，提
2、高能力”的特征，复习本单元时应注意以下几点：1重视对等差数列、等比数列的概念的理解，掌握它们的通项公式，前n项和公式及其性质 2重视运算能力的提高，涉及的解不等式、解方程问题以及等式的相加减、相乘除等运算，力求熟练而准确 3重视知识的综合，深刻领悟蕴藏在数列概念及方法中的数学思想，对其中的函数与方程、数形结合、分类讨论、等价转化等数学思想要在解题中进行感受和体会 考纲解读 1了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图像、通项公式)2了解数列是自变量为正整数的一类函数 考向预测 1已知数列的通项公式或递推关系，求数列的各项 2以数列的前几项为背景，考查“归纳推理”思想 3由数列的递推关系式求数
3、列的通项公式的是本节重点，也是本节难点 知识梳理 1数列的定义 按照排成的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做)2数列与函数的关系 在函数意义下，数列是定义域为N(或它的)的函数，f(n)是当自变量n从1开始依次取时所对应的一列f(1)，f(2)，f(n)通常用an代替f(n)，故数列的一般形式为，简记为an，其中an是数列的第项一定次序项首项子集自然数函数值a1，a2，a3，ann 3数列的分类分类原则类型满足条件项数有穷数列项数无穷数列项数项与项间的大小关系递增数列an1an其中nN*递减数列an1 an常数列an1an其他标准摆动数
4、列从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项有限无限1)，则这个关系式就称为数列的递推公式anf(n)列表法、图像法解析法(通项公式法)n 基础自测 1(2010安徽文)设数列n的前n项和Snn2，则a8的值为()A15 B16 C49 D64 答案 A 解析 a8S8S7644915，a815.2数列12，34，58，716，的一个通项公式是()Aan(1)n12n12nBan(1)n2n12nCan(1)n12n12nDan(1)n2n12n 答案 C 3若数列an(nN*)的首项为14，前n项的和为Sn，点(an，an1)在直线xy20上，那么下列说法正确的是()A当且仅当n
5、1时，Sn最小 B当且仅当n8时，Sn最大 C当且仅当n7或8时，Sn最大 DSn有最小值，无最大值 答案 C解析 由题意得：anan120，则 an1an2，所以数列an是以 a114，d2 的等差数列，则Sn14nnn12(2)n215n，所以当且仅当 n7 或 8 时，Sn 最大4数列an的前 n 项和为 Sn，若 an1nn1，则 S5 等于()A1 B.56 C.16 D.130解析 S5 112 123 156112 1213 151611656.答案 B 5将全体正整数排成一个三角形数阵：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 按照以上排列的规律，第n行(n3)从左向右的第3个
6、数为_答案 n2n62解析 前 n1 行共有正整数 12(n1)个，即n2n2个，因此第 n 行第 3 个数是全体正整数中第n2n23 个，即为n2n62.6已知数列an的首项 a113，且满足 1an1 1an5(nN*)，则 a2012_.答案 110053解析 由 1an1 1an5 知，数列1an 是以 1a13 为首项，以 5 为公差的等差数列，故 1a2012 1a12011d31005510058.即 a2012110058.7写出分别满足下列条件的数列的前4项，并归纳出通项公式：(1)a10，an1an(2n1)(nN)；(2)a13，an13an(nN)解析(1)由条件得a1
7、0，a201112，a31(221)422，a44(231)932，归纳通项公式为an(n1)2.(2)由条件得a13，a23a132，a33a233，a43a334，归纳通项公式为an3n.例 1 根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：(1)45，12，411，27，；(2)1,3,6,10,15，；(3)12，14，58，1316，2932，6164，；(4)3,33,333,3333，.分析 先观察各项的特点，然后归纳出其通项公式，要注意项与项数的关系及项与前后项之间的联系解析(1)注意到前四项中两项分子均为 4，不妨把分子都统一为 4，即45，48，411，414，因而有 a
8、n43n2.(2)注意到 623,1025,1535，规律还不明显，再把各项同乘以 2，即122，232，342，452，562，因而有 annn12.(3)各项的分母分别为 21,22,23,24，易看出第 2,3,4 项的分子分别比分母少 3，因此把第 1 项变为232，至此原数列已化为21321，22322，23323，24324，an(1)n2n32n.点评 根据数列的前几项写出数列的一个通项公式，解决这一问题的关键是通过观察、分析、比较去发现项与项之间的关系如果关系不明显，可将项适当变形，让规律突显出来以便于找出通项公式(4)将数列各项改写为：93，993，9993，9 9993，分
9、母都是 3，而分子分别是 101,1021,1031,1041，an13(10n1)根据下面各数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：(1)1，13，935，1763，3399，(2)37，25，513，38，719，411，(3)12，34，78，1516，3132，；(4)23，1，107，179，2611，3713，.(5)1,3,7,15,31，解析(1)将数列写成：313，535，957，1779，33911，观察分子、分母与项数 n 之间的联系，易知：其通项公式为 an2n12n12n1.(2)这是一个与(1)n 有关的数列，可将数列写成37，410，513，616，719，82
10、2，可知分母组成以 3 为公差的等差数列，分子为以 3为首项，1 为公差的等差数列，因此其通项公式为：an(1)n n23n4.(3)每一项的分子比分母少 1，而分母组成数列21,22,23,24，所以 an2n12n.(4)偶数项为负，奇数项为正，故通项公式必含因子(1)n1，观察各项绝对值组成的数列，从第 3 项到第 6 项可见，分母分别由奇数 7,9,11,13 组成，而分子则是 321,421,521,621，按照这样的规律第 1、2两项可改写为12121，221221，所以 an(1)n1n212n1.(5)考虑数列的差分数列an1an a2a12 a3a24，a4a38，anan1
11、2n1.(n2)将这n1个式子累加，得 ana1222232n12n2(n2)ana12n212n22n1.(n2)当n1时，此式仍成立，故所求通项公式为an2n1.点评 根据数列的前几项写通项时，所求的通项公式不是惟一的其中常用方法是观察法观察an与n之间的联系，用归纳法写出一个通项公式，体现了由特殊到一般的思维规律联想与转换是有效的思维方法，它是由已知认识未知、将未知转化为已知的重要思维方法.例 2 已知数列an的前 n 项和为 Sn，Sn13(an1)(nN*)(1)求 a1，a2，a3 的值；(2)求 an 的通项公式及 S10.解析(1)由 a1S113(a11)得 a112.又 a
12、1a2S213(a21)，解得 a214.同理 a318(2)n2 时，anSnSn113(an1)13(an11)，得 anan112.数列an是首项为12，公比为12的等比数列即an(12)n，S10a11q101q3411024.点评 数列的通项 an 与前 n 项和 Sn 的关系是：anS1 n1SnSn1n2.此公式经常使用，应引起重视当 n1 时，a1 若适合 SnSn1，则 n1 的情况可并入 n2 时的通项 an；当 n1 时，a1 若不适合 SnSn1，则用分段函数的形式表示 已知数列an的前n项和Sn，求an的通项公式(1)Sn2n23n；(2)Sn3nb.解析 利用数列的
13、通项 an 与前 n 项和 Sn 的关系anS1 n1SnSn1n2.解(1)当n1时，a1S11，当n2时，anSnSn14n5.又a11，适合，an4n5，an4n5.(2)当n1时，a1S13b.n2时，anSnSn123n1，因此，当b1时，a12适合an23n1，an23n1.当b1时，a13b不合适an23n1，an3b n123n1n2.综上可知，当 b1 时，an23n1；当 b1 时，an3b n123n1n2.例3 根据下列条件，写出数列的通项公式(1)a12，an1ann；(2)a11,2n1anan1.分析(1)将递推关系写成n1个等式累加(2)将递推关系写成n1个等式
14、累乘，或逐项迭代也可 解析(1)当n1,2,3，n1时，可得n1个等式：anan1n1，an1an2n2，a2a11，将其相加，得ana1123(n1)，ana11n1n122nn12n2n42.(2)方法一：an anan1an1an2an2an3a3a2a2a1a112n112n2122121a11212(n1)12n1n2，an12n1n2.方法二：由 2n1anan1 得an12n1an1an12n1an112n112n2an212n112n2121a112(n1)(n2)2112nn12.点评 1.已知a1且anan1f(n)(n2)，可以用“累加法”，即anan1f(n)，an1a
15、n2f(n1)，a3a2f(3)，a2a1f(2)所有等式左右两边分别相加，代入a1得an.2已知 a1 且 anan1f(n)(n2)，可以用“累乘法”，即 anan1f(n)，an1an2f(n1)，a3a2f(3)，a2a1f(2)，所有等式左右两边分别相乘，代入 a1 得 an.提醒：并不是每一个数列都有通项公式，如果一个数列有通项公式，那么它的通项公式在形式上也可以不止一个 解析(1)anan13n1，anan13n1，an1an23n2，an2an33n3，根据下列各个数列an的首项和基本关系式，求其通项公式(1)a11，anan13n1(n2)；(2)a11，ann1n an1(
16、n2)a2a131.以上 n1 个等式两边分别相加得ana131323n113323n13n12.(2)ann1n an1(n2)，anan1n1n，an1an2n2n1，an2an3n3n2，a212a1.以上 n1 个式子等式两边分别相乘得 ana11223n1n a1n 1n.例 4 已知数列an的通项公式 an(n1)(910)n，求 n为何值时，an 取最大值分析 已知数列an的通项公式，要求 n 为何值时 an取最大值，则需满足anan1，anan1.因为涉及 an1，所以应先讨论 a1 是否为最大值，然后再由不等式组去求使 an 最大时n 的取值解析 易知 a1 不是数列an中的
17、最大的项，an 若取最大值应满足anan10，anan10.(n2)，由已知中 an(n1)(910)n，则有anan1(n1)(910)n(n2)(910)n1(910)nn1 910(n2)(910)nn810.由 anan10，即(910)nn810 0，解不等式，得 n8；anan1(n1)(910)n(n11)(910)n1(910)n1(n1)910n(910)n19n10，当 anan10，即(910)n19n10 0，解不等式，得 n9；同时满足不等式组的正整数 n 的取值只能是 8,9，又 a89(910)8，a910(910)9，即 a8a9 99108.当 n8 或 n9
18、 时，a8a9 两项都是数列an中的最大项 点评 数列是特殊的函数，因此数列中一些问题的研究与函数有一定的联系如：数列中的最大、最小项问题；数列的单调性问题等都可以借助于函数知识研究，当然也有差别高考对本考点的考查主要以选择、填空的形式出现，有时也出现在解答题的某一问中，主要同函数、不等式等内容结合，结合性较强，有一定的难度备考中应从函数的角度把握数列中最大、最小项的求法以及数列单调性的判断方法 已知函数f(x)2x2x，数列an满足f(log2an)2n.(1)求数列an的通项公式；(2)求证：数列an是递减数列 解析(1)解：f(x)2x2x，f(log2an)2log2an2log2an
19、an1an，an1an2n，an22nan10.又 an0，an n21n.(2)证明：an0，且 an n21n，an1an n121n1n21nn21nn121n11.an1an.即an为递减数列 1数列中数的有序性是数列定义的灵魂，要注意辨析数列的项和数集中元素的异同数列可以看作是一个定义域为正整数集或它的子集的函数，因此在研究数列问题时，既要注意函数方法的普遍性，又要注意数列方法的特殊性 2观察法是求数列通项公式的最基础的一个方法，它一般适用于给出了数列的前几项，根据这些项来写出该数列的通项公式，一般来说，所给的数列的前几项规律性特别强并且规律也比较明显，要么能直接看出，要么需略作变形即可 3通项an与前n项和Sn的关系是一个十分重要的考点运用时，不要忘记对anSnSn1(n2)的条件的验证 4数列的通项公式与递推公式是表达数列特征与构造的两种方法观察法和猜想法一般适合于选择题和填空题；如果在解答题中用猜想法，则一定要用数学归纳法加以证明而特定系数法一般是适合已知数列的类型的题目
