1、高考资源网提供高考试题、高考模拟题，发布高考信息题 本站投稿专用信箱：，来信请注明投稿，一经采纳，待遇从优 共 10 页 第 1 页上海市普陀区 20062007 学年度第一学期高三年级质量调研 数学试卷 一、填空题（本大题满分 48 分）1.复数 zabi（,Ra b）为虚数的一个充分非必要条件是.2.函数2()5f xx，,1x 的反函数为1()fx _ _ _.3.不等式4103x的解集为.4.已知15arcsin17，则 tan().5.过点(1,3)且垂直于直线250 xy的直线的一般式方程为.6.设21P20n，则正整数 n 的最小值为.7.已知1tan2，2tan5，则 tan
2、.8.已 知 双 曲 线22:18xyCm 的 顶 点 恰 与 抛 物 线28yx的 焦 点 重 合，则m.9.函数25loglog(1)yxx在定义域1,4 上的值域是.10.在直角三角形 ABC 中，,22CAC，则 BA AC=.11.已 知 集 合2lglg(815),AxxxxR，cos0,2xBxxR，则AB=.12.设集合,1Px，,1,2Qy，且 PQ，,1,2,3,9x y.在坐标平面内，从所有满足这些条件的有序数对(,)x y 所表示的点中任取一个，其落在圆222xyr内的概率恰为 27，则该圆半径r(0)r 的取值范围是.二、选择题（本大题满分 16 分）13.椭圆22:
3、169144Cxy的长轴长2a 和短轴长 2b 分别是（）A.29,216ab；B.28,26ab；C.24,23ab；D.216,29ab.14.已知 p 和 q 都是实数，则下列各集合中，可能是空集的集合个数有（）0,RMx pxqx；高考资源网提供高考试题、高考模拟题，发布高考信息题 本站投稿专用信箱：，来信请注明投稿，一经采纳，待遇从优 共 10 页 第 2 页222,NxpqxpqxR；()()0,Px xp xqxR.A.0 个；B.1 个；C.2 个；D.3 个.15.如图，EF 是梯形 ABCD 的中位线，则以下向量中，与 EF 不相等的向量是（）A.12 ADBC；B.12
4、ACBD；C.12ADABCD；D.12ADABCD.16.设函数sinyx的定义域为,ba，值域为11,2.则以下结论中，错误的是（）A.ab 的最小值为 23；B.ab 的最大值为 43；C.a 不可能等于26k，kZ；D.b 不可能等于26k，kZ.三、解答题（本大题满分 86 分）17.（本题满分 10 分）已知复数cos(30)sin150zi 是实系数一元二次方程210axbx 的根，求 abi.18.（本题满分 14 分）已知等比数列 na满足1nnaa，且3618aa，4532aa.求数列 na中所有小于 1 的项的各项和 S.19.（本题满分 14 分）经测算，某燃料动力拖船
5、在行驶中每小时的燃料费用与船速（船速是指船在静水中的速度）的平方成正比，且当船速为 15（公里/小时）时，每小时燃料费用为 75 元.若该船在水流速度为 5（公里/小时）的江水中逆流而上，从甲地行驶到 30 公里外的乙地.现要使总的燃料费用最少，应控制该船的船速为多少（公里/小时）？这个单程共需燃料费用多少元？第 15 题图高考资源网提供高考试题、高考模拟题，发布高考信息题 本站投稿专用信箱：，来信请注明投稿，一经采纳，待遇从优 共 10 页 第 3 页20.（本题满分 14 分.其中第 1 小题满分 11 分，第 2 小题满分 3 分）已知：过点(0,1)P的直线l 与双曲线22:13xCy
6、交于不同的两点 A、B，且直线l 的斜率为 k.（1）是否存在这样的直线l，使得0OA OB（O 为坐标原点）？若存在，试求出斜率k的取值范围；若不存在，试说明理由.（2）试叙述第（1）题结论的几何意义.21.（本题满分 16 分.其中第 1 小题满分 3 分，第 2 小题满分 5 分，第 3 小题满分 8 分）已知函数2|1|()4xmf xx，0m 且满足2)2(f.（1）求实数m 的值；（2）判断函数)(xfy 在区间1,(m上的单调性，并用单调性的定义证明；（3）若关于 x 的方程()f xkx有三个不同的实数解，求实数k 的取值范围.22.（本题满分 18 分.其中第 1 小题满分
7、4 分，第 2 小题满分 5 分，第 3 小题满分 9 分）若正整数n 能拆成 k（k 是正整数且3k）个成等差数列且公差不为零的正整数的和，即：123knaaaa，（其中正整数123,ka a aa 依次成公差不为零的等差数列），则称 n 有一个 k 阶非平凡等差分拆，记作123(,)kna a aa.并且规定：“n 的两个非平凡等差分拆1123(,)kna a aa与2123(,)knb b bb是相同的分拆”等价于“12kk且集合1123,ka a aa与集合2123,kb b bb相等”.请研究并回答下面的问题：高考资源网提供高考试题、高考模拟题，发布高考信息题 本站投稿专用信箱：，来
8、信请注明投稿，一经采纳，待遇从优 共 10 页 第 4 页（1）有非平凡等差分拆的最小正整数n 是多少？为什么？（2）试写出 20 的一个非平凡等差分拆，并说明 20 的非平凡等差分拆不超过 5 阶；（3）素数（即质数，除了1和它本身外不再有其他正约数的自然数）有非平凡等差分拆吗？若有，试举一例；若没有，试说明你的理由.高考资源网提供高考试题、高考模拟题，发布高考信息题 本站投稿专用信箱：，来信请注明投稿，一经采纳，待遇从优 共 10 页 第 5 页上海市普陀区 20062007 学年度第一学期高三年级质量调研 数学试卷参考解答及评分标准 一、填空题：（41248）题号1234答案开放题，0b
9、 等5,6,xx,37,158题号5678答案210 xy 61124题号9101112答案5log 2,34 3 294 2r 二、选择题：（4416）题号13141516答案BCCD三、解答题：（101414141618）17.解：由条件，复数13122zxi是给定方程的一个虚根.因为实系数一元二次方程的虚根为一对共轭复数，所以23122xi也是该方程的根.由韦达定理：123131()()3,2222bxxiia 1213131()()12222x xiia，可解得1a，3b .于是，2abi.3681018.解：因为 na是等比数列，所以453632aaa a.又因为1nnaa，则由36
10、3618,32aaaa3616,2.aa 设 na的公比为q，则3631182aqqa，46高考资源网提供高考试题、高考模拟题，发布高考信息题 本站投稿专用信箱：，来信请注明投稿，一经采纳，待遇从优 共 10 页 第 6 页且可得31264aaq.所以数列 na的通项公式为11642nna.若1na ，则由11164164272nnn.所以“数列 na中所有小于 1 的项的各项和”即为“等比数列 na从第 8 项起的各项和.”则81211112aSq.8111419.解：先设每小时的燃料费用 p 元与船速 x（公里/小时）的关系式为2pkx，当15x 时，75p，可得13k.又设一个单程的燃料
11、费用共需 y 元.根据题意，得213035yxx，5,x21(55)253010(510)355xxxx 10(2 2510)200.当且仅当255105xxx时，min200y元.答：应控制实际该船船速为 10（公里/小时）时，总的燃烧费用最少；这样一个单程共需燃料费用 200 元.3711131420.解：（1）假设存在这样的直线，其方程为:1l ykx.另设直线l 与双曲线的交点坐标分别为11(,)A x y、22(,)B xy.将直线方程与双曲线方程联立，得221,33,ykxxy 223(1)30 xkx 22(1 3)660kxkx.可得1221226,1 36,1 3kxxkx
12、xk3高考资源网提供高考试题、高考模拟题，发布高考信息题 本站投稿专用信箱：，来信请注明投稿，一经采纳，待遇从优 共 10 页 第 7 页因为直线与双曲线交于不同两点，则有22(6)4(6)(1 3)0kk 22232003kk.由于0OA OB，可得1 2121 212(1)(1)x xy yx xkxkx21 212(1)()1kx xk xx22266(1)11 31 3kkkkk222635101 331kkk 213k.综 上，当21233k6336,3333k 时，可 使 得0OA OB.（2）上题结论的几何意义是：当直线l 的斜率k 在区间6336,3333时，直线l 与双曲线2
13、2:13xCy的交点 A、B 与原点O 构成的AOB为锐角.579111421.解：（1）函数2|1|()4xmf xx满足2)2(f，可得1m或3m；又0m，所以1m.（2）因为1m，所以2|()4xf xx，由题意只需研究2|()4xf xx在0,(x上的单调性，该函数在区间,0内为单调递增函数.证明：任取120 xx，有12()()f xf x42422211xxxx12128()(4)(4)xxxx由于120 xx，021xx，140 x ，240 x，0)()(21xfxf，即)()(21xfxf.故函数)(xfy 在区间,0为增函数.（3）解法 1：原方程即为 2|4xkxx-1
14、显然，0 x恒为方程的 1 个解；2 当0 x时，式等价于：204kxkx24，3589高考资源网提供高考试题、高考模拟题，发布高考信息题 本站投稿专用信箱：，来信请注明投稿，一经采纳，待遇从优 共 10 页 第 8 页所以，当024 k102k，即当10,2k时方程在区间,0有 1 个解，此外无解；3 当0 x 且4x时，式等价于：204kx24xk由240 xk12k 或0k.所以，当1,0,2k 时，原方程在区间0,有 1 个实数解，此外无解.综上，要使原方程有三个不同的实数解，当且仅当原方程在区间,0和0,各有一个实数解时才成立，此时解得102k.即当10,2k原方程()f xkx有三
15、个不同的实数解.解法 2：本问题等价于研究函数()f x 和函数()g xkx图像有 3 个交点时，实数k 的取值范围.（如图 1），作出函数2|()4xf xx的图像，过原点作函数()g xkx的图像，即直线l.不难发现，它们都经过原点.除了原点之外：1 当0k时，直线l与函数()f x 的图像除原点外没有交点，不符题意；2 当0k时，直线l与函数()f x 的图像仅在第四象限可能产生一个交点，所以最多有两个交点，不符合题意；3 当0k时，直线l与函数()f x 的图像在第一象限恒有一个交点，在原点恒有一个交点；由题意可得，若有 3 个不同交点，则需直线l与函数()f x 的图像在第三象限也
16、有一个交点；即下列方程组：2,4xyxykx在区间,0有唯一实数解.则当0 x时，解得kx24，当024 k102k，即当10,2k时方程在区间,0有唯一实数解.综上可得，当10,2k时，原方程()f xkx有三个不同的实数解.1416101516高考资源网提供高考试题、高考模拟题，发布高考信息题 本站投稿专用信箱：，来信请注明投稿，一经采纳，待遇从优 共 10 页 第 9 页图 1 图 2 解法 3：对于方程 24xkxx，（）显然，0 x是方程的 1 个解；（）当0 x时，原方程等价于42 xk；当0 x时，原方程等价于xk 42.故0 x时，0,420,42xxxxk.构造函数0,420
17、,42)(xxxxxh和kxg)(.由()h x 和()g x 的图像可知（如图 2），显然，当10,2k时，kxg)(和0,420,42)(xxxxxh的图像有 2 个不同交点；综上（）、（）可得：当10,2k时，原方程()f xkx有三个不同的实数解.913151622.解：（1）根据题意，只须首项和公差都等于 1，即11ad，且3k 即可.由1236知，能进行非平凡等差分拆的最小自然数是6.（2）因为当11ad 且6k 时，1234562120n ，所以 20 的非平凡等差分拆不超过 5 阶；当4k 时，20 可以进行非平凡等差分拆，202468；当5k 时，20 可以进行非平凡等差分拆
18、，2023456 .（说明：写出其中 1 个非平凡等差分拆即可得 3 分）2469xyO4x 2y 2y 24xf xx g xkx12 2,042,04xxh xxx x g xkyO4x 12高考资源网提供高考试题、高考模拟题，发布高考信息题 本站投稿专用信箱：，来信请注明投稿，一经采纳，待遇从优 共 10 页 第 10 页（3）解法 1：因为 2 没有非平凡等差分拆，可设其他奇素数为 p，假设素数 p 有k阶非平凡等差分拆123(,)kpa a aa*(3,N)kk，则 123kpaaaa11(1)2kak kd（*），其中公差*Nd.1 当k 为偶数，即2km*(N)m时，由（*）12
19、(21)pm amd，由3k 2m，且*1Na，*Nd，*Nm，所以*12(21)Nammd，这与 p 是素数矛盾；2 当k 为奇数，即21km*(N)m时，由（*）1(21)()pmamd，同样，与 p 是素数矛盾.综上 1 和 2 可得，素数没有非平凡等差分拆.解法 2：因为 2 没有非平凡等差分拆，可设其他奇素数为 p，假设素数 p 有 k 阶非平凡等差分拆123(,)kpa a aa*(3,N)kk，则 123kpaaaa12kk aa（*），其中公差*Nd.1 当k 为偶数，即2km*(N)m时，由（*）1kpm aa，由3k 2m，且*1Na，*Nka，所以1kpm aa与 p 是素数矛盾；2 当k 为奇数，即21km*(N)m时，由（*）1211(21)()(21)2mmmpaama，且由*1Nma ，*21Nm，所以1(21)mpma，与 p 是素数矛盾.综上 1 和 2 可得，素数没有非平凡等差分拆.1114171811141718
