1、第 1 页 共 4 页厦门外国语学校 2021 届高三 1 月阶段性检测数学试题（满分：150 分时间：120 分钟）一、单选题（每题 5 分，共 40 分）1已知集合210Axx，30Bx x，则 AB（）A3,B 1,2C 1,32D1,322已知复数5i5i2iz，则 z （）A5B5 2C3 2D2 53如图、分别是甲、乙两户居民家庭全年各项支出的统计图.根据统计图，下列对两户教育支出占全年总支出的百分比作出的判断中，正确的是（）A甲户比乙户大B乙户比甲户大C甲、乙两户一般大D无法确定哪一户大4如图所示，在ABC中，点 D 是边 BC 上任意一点，M 是线段 AD 的中点，若存在实数
2、和 ，使得 BMABACuuuruuuruuur，则 （）A 1B12C 2D325在某场新冠肺炎疫情视频会议中，甲乙丙丁戊五位疫情防控专家轮流发言，其中甲必须排在前两位，丙丁必须排在一起，则这五位专家的不同发言顺序共有（）A8 种B12 种C20 种D24 种6如图，在底面为正方形的四棱锥 PABCD中，侧面 PAD 底面 ABCD，PAAD，PAAD，则异面直线 PB 与 AC 所成的角为（）A 30B 45C60D907已知0.52a，0.512b，22c，则 a，b，c 的大小关系为（）A abcBcbaCcabDacb8定义在0,上的函数 yf x有不等式 23f xxfxf x恒成
3、立，其中 yfx为函数 yf x的导函数，则（）A 24161ffB 2481ffC 2341ffD 2241ff第 2 页 共 4 页二、多选题（每题 5 分,错选不得分，漏选得 3 分，共 20 分）9已知双曲线的方程为：22197xy，则下列说法正确的是（）A焦点为2,0B渐近线方程为730 xyC离心率 e 为 43D焦点到渐近线的距离为14410已知函数()sin()0,2f xx的部分图象如图所示，则（）A()cos(2)6f xxB()sin 26f xxC33fxfxD33fxfx 11设0,0,1abab，则（）A22ab的最小值为 12B 41ab的范围为9,)C(1)(1
4、)abab的最小值为 2 2D若1c，则231121acabc 的最小值为 812甲罐中有 4 个红球，3 个白球和 3 个黑球；乙罐中有 5 个红球，3 个白球和 2 个黑球先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以1A，2A 和3A 表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以 M 表示由乙罐取出的球是红球的事件，下列的结论：其中正确结论的为（）A12P M B 1611P M AC事件 M 与事件1A 不相互独立D1A，2A，3A 是两两互斥的事件三、填空题（每题 5 分，共 20 分）13过抛物线28xy的焦点且斜率为 2 的直线与抛物线交于 A，B 两点，弦长
5、AB 等于_.14将数列21n 与43n 的公共项从小到大排列得数列 na，则na _.15已知(0,)，且有12sin2cos2，则cos _.16已知在三棱锥 PABC中，2 33PAPB，23APB，6ACB，则当点C 到平面 PAB 的距离最大时，三棱锥 PABC外接球的表面积为_.第 3 页 共 4 页四、解答题（第 17 题 10 分，其他每题 12 分，共 70 分）17ABC的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，面积为 S.已知60B ，sin2sinCA，再从条件条件这两个条件中选择一个作为已知，求ABC的周长.条件：2 3bc；条件：32S.注：如果选择条件和条件分
6、别解答，按第一个解答计分.18记nS 为等差数列 na的前 n 项和已知95Sa（1）若34a，求 na的通项公式；（2）若10a，求使得nnSa的 n 的取值范围19某学校高三年级数学备课组的老师为了解新高三年级学生在假期的自学情况，在开学初进行了一次摸底测试，根据测试成绩评定“优秀”、“良好”、“要加油”三个等级，同时对相应等级进行量化：“优秀”记 10 分，“良好”记 5 分，“要加油”记 0 分现随机抽取年级 120 名学生的成绩，统计结果如下所示：等级优秀良好要加油得分120,15090,1200,90频数127236（1）若测试分数 90 分及以上认定为优良分数段在120,150，
7、90,120，0,90 内女生的人数分别为 4 人，40 人，20 人，完成 22列联表，并判断：是否有95以上的把握认为性别与数学成绩优良有关？（2）用分层抽样的方法，从评定为“优秀”、“良好”、“要加油”的三个等级的学生中选取 10 人进行座谈，现再从这 10 人中任选 2 人，所选 2 人的量化分之和记为 X，求 X 的分布列及数学期望 EX 附表及公式：22()n adbcKabcdacbd，其中nabcd P（20Kk）0.150.100.050.0250.0100k2.0722.7063.8415.0246.635第 4 页 共 4 页20如图，在四棱锥 SABCD中，侧面 SCD
8、 为钝角三角形且垂直于底面 ABCD，底面为直角梯形且90ABC，12ABADBC，CDSD，点 M 是SA的中点.（1）求证：BD 平面 SCD；（2）若直线 SD 与底面 ABCD 所成的角为60，求 SD 与平面 MBD 所成角的正弦值.21已知函数 211ln2f xxxxaa0a.（1）求函数 f x 的单调区间；（2）令 2F xaf xx，若 1 2F xax 在1,x 恒成立，求整数a 的最大值.（参考数据：4ln33，5ln 44）22已知椭圆2222:10 xyCabab的长轴长是焦距的 2 倍，且过点31,2.（1）求椭圆C 的方程；（2）设,P x y 为椭圆C 上的动
9、点，F 为椭圆C 的右焦点，A，B 分别为椭圆C 的左、右顶点，点 P 满足4,0P Px.证明：P PFP 为定值；设Q 是直线:4l x 上的动点，直线 AQ、BQ 分别另交椭圆C 于 M、N 两点，求 MFNF的最小值.第 5 页 共 4 页1 C【详解】因为集合12102Axxx x，303Bx xx x，所以1,32AB.2B【详解】由题，得5i 2+i5i5i5i1+7i2i2i2+iz ，所以22(1)75 2z.3B【详解】由题意，根据条形图，可得甲户教育支出占120020%2000 1200 2 1600 ，由饼形图，可得乙户教育支出占 25%.所以乙户比甲户大.4B【详解】
10、如图所示，因为点 D 在线段 BC 上，所以存在tR，使得BDtBCt ACAB，因为 M 是线段 AD 的中点，所以111112222BMBABDABt ACt ABtABt AC，又 BMABACuuuruuuruuur，所以112 t ，12 t，所以12.5C【详解】当甲排在第一位时，共有323212A A 种发言顺序，当甲排在第二位时，共有1222 228C A A 种发言顺序，所以一共有12820种不同的发言顺序.6C【详解】由题意：底面 ABCD 为正方形，侧面 PAD 底面 ABCD，PAAD，面 PAD 面 ABCDAD，PA平面 ABCD，分别过 P，D 点作 AD，AP
11、的平行线交于 M，连接 CM，AM，PMAD，ADBC，PMAD，ADBC PBCM 是平行四边形，PBCM，所以ACM 就是异面直线 PB 与 AC 所成的角设 PAABa，在三角形 ACM 中，2,2,2AMa ACa CMa，三角形 ACM 是等边三角形所以ACM 等于 60，即异面直线 PB 与 AC 所成的角为 607C【详解】2xy 是增函数，0.50.5122b，0.50.52，0.50.52222，即bac8B 解：2 f xxfx，即 20fxxf x，因为 yf x定义在0,上，220fxxxfx，令 2f xg xx则 241ff，242g0fxxxfxxx，则函数 g
12、x 在0,上单调递增.由 21gg得，222121ff即，24(1)ff；第 6 页 共 4 页同理令 3f xh xx，3264330fxxx f xfxxf xh xxx，则函数 h x 在0,上单调递减.由 21hg得，332121ff，即 281ff.综上，2481ff.9BC【详解】由方程可知3,7,974abc则焦点为4,0，渐近线方程为73byxxa ，即730 xy离心率为43cea，焦点(4,0)到渐近线730 xy的距离为|4 7|779d 10AD【详解】由图象可得 35346124T，故T，所以22，又12f为最大值，故22,122kkZ，故2,3kkZ，因为2，故3，
13、所以()sin(2)3f xx.故()sin(2)cos(2)266f xxx，故 A 正确，B 错误.令 23xk，则,26kxkZ，当1k 时，3x，故函数图象的对称中心为,03，故 C 错误，D 正确.11ABD【详解】对于 A 中，由222()122baab，当且仅当12ab时取等，可得22ab的最小值为 12，所以 A 正确；对于 B 中，由 41414()552 49baabababab，当且仅当2ab时，即21,33ab时，等号成立，取得最小值 9，所以 B 正确；对于 C 中，由(1)(1)12ababababababab，又由102ab，所以21219412222abab，所
14、以 C 不正确；对于 D 中，由222313()4224aaababababba，当且仅当2ba时，即12,33ab时，等号成立，可得2311124(1)4811accabcc ，当且仅当32c 时取等，所以 D 正确.12BCD 解：甲罐中有 4 个红球，3 个白球和 3 个黑球；乙罐中有 5 个红球，3 个白球和 2 个黑球先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以1A、2A 和3A 表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以 M 表示由乙罐取出的球是红球的事件，对 A，第 7 页 共 4 页463535541()1011101110111102P M，故 A 错误
15、；对 B，11146()61011(|)4()1110P MAP M AP A，故 B 正确；对 C，当1A 发生时，6()11P M，当1A 不发生时，5()11P M，事件 M 与事件1A 不相互独立，故 C 正确；对 D，1A，2A，3A 不可能同时发生，故是两两互斥的事件，故 D 正确；13 40【详解】直线过抛物线28xy的焦点(0)2，且斜率为 2直线的方程为22yx设11()A xy，22()B xy，抛物线的焦点为 F 根据抛物线的定义可得：1222ABAFBFyy联立方程组2822xyyx，化简得23640yy1236yy122240AByy1441n 解:因为数列21n 是
16、以 3 为首项，以 2 为公差的等差数列，数列43n 是以 1 首项，以 4 为公差的等差数列，所以这两个数列的公共项所构成的新数列 na是以 5 为首项，以 4 为公差的等差数列，所以 na的通项公式为51 441nann，1555【详解】2212sin2cos214sincos12sinsin2sincos ，因为(0,)，所以sin0，因此由2sin2sincossin2costan2(0,)2，而22sincos1(1)，把sin2cos代入(1)得：222154coscos1coscos55 ，而(0,)2，因此5cos5.16523【详解】当点C 到平面 PAB 的距离最大时，平面
17、 ABC 平面 PAB,设1O，2O 分别为PAB，ABC的外心，O 为三棱锥 PABC外接球的球心，连结1O P，2OO，设1O P 交 AB 于 H，由面面垂直的性质定理可知第 8 页 共 4 页1O H 平面 ABC，在PAB中，2 33PAPA，23APB，所以6PABPBA,所以2 313sin323PHPAPAB，2 332cos2232ABPAPAB，PAB的外接圆直径为2 34 331sin32PAPBA，所以12 33O P，所以1133O HO PPH，ABC的外接圆直径为241sin2ABACB，所以22O A，在2RtOO A中，2222223392()33OAOOO
18、A，所以三棱锥 PABC外接球的半径为393，所以三棱锥 PABC外接球的表面积为239524()33.19选择条件，ABC的周长为33；条件ABC的周长为33.【详解】选择条件：2 3bc，根据sin2sinCA，由正弦定理可得2ca，由余项定理可得：222222cosbacacBacac，所以222234bacacc，即32bc，由2 3bc，可得3,2bc，所以1a ，33abc，所以ABC周长为33；选择条件：32S，由1sin2SacB可得：313222ac，所以2ac，根据sin2sinCA，由正弦定理可得2ca，所以1,2ac，2222cos523bacacB，所以3b，33ab
19、c，所以ABC的周长为33.18（1）210nan；（2）110,nnnN【详解】（1）设 na的公差为 d 由19955992aaSaa 得：50a，5324daa，解得：2d ，33423210naandnn；（2）由（1）知：50a，即140ad，14ad，又10a，0d，第 9 页 共 4 页11415naanddndnd，1922nnn aan nSd，由nnSa得：952n ndnd，由0d 得：211100nn，解得：110n，又 nN，n的取值范围为110,nnnN.17（1）表格见解析，没有95%以上的把握认为性别与数学成绩优良有关；（2）分布列见解析，8.【详解】（1）解：
20、依题意，完成下面的 22列联表：是否优良性别优良非优良总计男生401656女生442064总计84361202212016 4440 200.1023.84136 84 56 64K.故没有95%以上的把握认为性别与数学成绩优良有关.（2）解：按照分层抽样，评定为“优秀”、“良好”、“要加油”三个等级的学生分别抽取 1 人，6 人，3 人.现再从这 10 人中任选 2 人，所选 2 人的量化分之和 X 的可能取值为 15，10，5，0.11162101 62154515C CP XC，211613221010186104515CC CP XCC116321018654515C CP XC，23
21、2103104515CP XC所以 X 的分布列为：X151050P215615615115所以2661151050815151515E X .20（1）证明见解析；（2）2114.解：（1）证明：取 BC 的中点 E，连接 DE，第 10 页 共 4 页设ABADa，2BCa，依题意，四边形 ABED 为正方形，且有 BEDECEa，2BDCDa，222BDCDBC，则 BDCD.又平面 SCD 底面 ABCD，平面 SCD 底面 ABCDCD，BD 平面 SCD（2）过点 S 作CD 的垂线，交CD 延长线于点 H，连接 AH，平面 SCD 底面 ABCD，平面 SCD 底面 ABCDCD
22、，SHCD，SH 平面 SCD，SH 底面ABCD，故 DH 为斜线 SD 在底面 ABCD 内的射影，SDH为斜线 SD 与底面 ABCD 所成的角，即60SDH.由（1）得，2SDa，在 Rt SHD中，2SDa，62SHa，在 ADH中，45ADH，ADa，22DHa，由余弦定理得222222cos45222AHaaaaa ，222AHDHAD，从而90AHD，过点 D 作/DFSH，DF 底面 ABCD，DB、DC、DF 两两垂直，如图，以点 D 为坐标原点，DB 为 x 轴正方向，DC为 y 轴正方向，DF为 z 轴正方向建立空间直角坐标系，则 2,0,0Ba，0,2,0Ca，260
23、,22Saa，22,022Aaa，226,424Maaa，设平面 MBD 的法向量,nx y z，由202260222n DBaxn DMaxayaz，取1z ，得30,12n，又260,22SDaa，22662142sincos,143131422aan SDaa ，SD 与平面 MBD 所成角的正弦值为2114.22（1）答案见解析；（2）3.【详解】（1）f x 定义域为0,，2221212112xaxaxaxfxxaxaaxax，第 11 页 共 4 页当0a 时，令 0fx，解得：12x，当10,2x时，0fx；当1,2x时，0fx；f x的单调递增区间为10,2，单调递减区间为 1
24、,2；当102a时，令 0fx，解得：xa或12x，当0,xa和 1,2时，0fx；当1,2xa时，0fx；f x的单调递增区间为0,a 和 1,2，单调递减区间为1,2a；当12a 时，0fx在0,上恒成立，f x的单调递增区间为0,，无单调递减区间；当12a 时，令 0fx，解得：xa或12x，当10,2x和,a 时，0fx；当1,2xa时，0fx；f x的单调递增区间为10,2和,a ，单调递减区间为 1,2 a.（2）2ln21F xaf xxaxax，由 1 2F xax 在1,x 恒成立.可得：1lnxax在1,x 恒成立，令 11lnxh xxx，则 21ln1lnxxh xx，
25、令 1ln11t xxxx，lnyx与1yx 在1,上均单调递增，t x在1,上单调递增，且 43ln303t，54ln 404t03,4x，使得 0001ln10t xxx，此时001ln1xx，当01,xx时，0h x；当0,xx 时，0h x；h x在01,x上单调递减，在0,x 上单调递增，0000min00113,41ln1xxh xh xxxx，1lnxax在1,x 恒成立，0minah xx，整数 a 的最大值为3.21（1）22143xy；（2）证明见解析；3.【详解】（1）由题意可得2ac，221914ab，222abc，解得：24a，23b，所以椭圆的方程为：22143xy
26、；第 12 页 共 4 页（2）由（1）可得2,0A，2,0B，1,0F，因为,P x y 为椭圆C 上的动点，所以22143xy点 P 满足4,0PPx，所以4PPx 2222113 14xPFxyx221112444422xxxx，所以：421 42PPxPFx，所以可证PPPF 为定值 2.如图，由题意设4,Qt，所以426AQttk，所以直线 AQ 的方程为：26tyx，联立直线 AQ 与椭圆的方程：222634120tyxxy整理可得：22222744108txtt，所以224108227Mtxt，所以2225427Mtxt，同理422BQttk，所以直线 BQ 的方程：22tyx，222234120tyxxy整理可得：2222344120txt xt，所以2241223Ntxt，所以22263Ntxt，因为4x 为右准线，所以由到焦点的距离与到准线的距离的比为离心率12e，可得：111448222MNMNMFNFxxxx2222273442273MNxxtttt224848443812 813030tt，当且仅当481t，即3t 时取等号.所以 MFNF的最小值为 3.
