1、第6课时解三角形的综合应用1.结合三角函数性质,深入理解正、余弦定理.2.初步解决正、余弦定理与平面向量、三角恒等变换相结合的综合性问题.重点:正、余弦定理的灵活运用.难点:各知识点间的交汇梳理与分析.我们学完了正弦定理、余弦定理之后,又对正、余弦定理的应用举例做了了解,如仰角、俯角、方位角这些涉及角度的问题, 我们还会利用正、余弦定理处理与距离、高度有关的问题,其实这些问题都离不开解三角形,这节课我们就一起来研究正、余弦定理在解三角形中的综合应用吧!问题1:ABC中,正弦定理用数学公式可表示为:=;余弦定理用公式可表示为a2=b2+c2-2bccos A,b2=c2+a2-2cacos B,
2、c2=a2+b2-2abcos C.问题2:根据正弦定理知,abc=sin Asin Bsin C;余弦定理的推论可表示为cos A=,cos B=,cos C=.问题3:两角和与差的余弦公式:cos()=cos cos sin sin ;两角和与差的正弦公式:sin()=sin cos cos sin ;二倍角公式:sin 2=2sin cos ,cos 2=cos2-sin2=2cos2-1=1-2sin2.问题4:设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),向量a与b的夹角为,则ab=x1x2+y1y2=|a|b|cos .此外,计算向量的数量积时,还可以先根据向量加减法运算的几何法则
3、进行转化,把题目中未知的向量用已知的向量表示出来,在这个过程中要充分利用共线向量定理、平面向量基本定理以及解三角形等知识.早期的三角学是天文学的一个组成部分,真正把三角学作为数学的一个独立学科加以系统叙述的,是德国数学家雷基奥蒙坦纳斯.他生于哥尼斯堡,热心出版古希腊和阿拉伯著作,因此对阿拉伯数学家们在三角方面的工作比较了解.1464年,他以雷基奥蒙坦纳斯的名字发表了论各种三角形.在书中,他把以往各种书上的三角学知识系统地综合了起来,使三角学开始成为数学上的一个分支.1.在ABC中,角A,B,C所对边的长分别为a,b,c,且a=,b=3,c=2,则等于().A.10B.12C.10D.12【解析
4、】由余弦定理得:cos A=,所以=|cos A=12.【答案】B2.设ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcos C+ccos B=asin A,则ABC的形状为().A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.不确定【解析】bcos C+ccos B=asin A,由正弦定理得sin Bcos C+sin Ccos B=sin2A,即sin(B+C)=sin2A,sin A=sin2A,sin A=1或0(舍去),A=,选A.【答案】A3.在ABC中,若b=2,c=1,tan B=2,则a=.【解析】由tan B=20,知0Bc,b=,求的值.【方法指导】(1)利用正弦定
5、理进行边角互化;(2)等价于ABC中bc与cos A的积,即在ABC中求c与cos A.【解析】(1)因为a-2bsin A=0,所以 sin A-2sin Bsin A=0,因为sin A0,所以sin B=.又B为锐角,所以B=.(2)根据余弦定理,得b2=7=a2+c2-2accos,整理,得(a+c)2-3ac=7.由已知a+c=5,得ac=6.又ac,故a=3,c=2,所以cos A=,所以=|cos A=cbcos A=2=1.【小结】与解三角形的知识交汇考查时,向量数量积的计算多使用公式ab=|a|b|cos,应围绕公式中的量,由已知向未知转换,完成对数量积的求解.三角恒等变换与
6、正、余弦定理的交汇考查设ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,(a+b+c)(a-b+c)=ac.(1)求B;(2)若sin Asin C=,求C.【方法指导】(1)先化简(a+b+c)(a-b+c)=ac,再由余弦定理的推论求出角B;(2)利用条件sin Asin C=以及(1)中结论,先计算cos(A-C),然后再去求解角C.【解析】(1)因为(a+b+c)(a-b+c)=ac,所以a2+c2-b2=-ac.由余弦定理得cos B=-,因此B=120.(2)由(1)知A+C=60,所以cos(A-C)=cos Acos C+sin Asin C=cos Acos C-sin Asi
7、n C+2sin Asin C=cos(A+C)+2sin Asin C=+2=,故A-C=30,因此C=15.问题根据cos(A-C)=,一定能得出A-C=30,从而角C一定为15吗?结论根据cos(A-C)=,得出A-C=30不一定成立,A-C还可能为-30.(1)同错解部分. (2)由(1)知A+C=60,所以cos(A-C)=cos Acos C+sin Asin C =cos Acos C-sin Asin C+2sin Asin C =cos(A+C)+2sin Asin C =+2=, 故A-C=30或A-C=-30, 因此C=15或C=45.【小结】三角恒等变换公式与正、余弦定
8、理交汇考查时,多体现在利用恒等变换公式计算相应角的三角函数值,然后再利用正、余弦定理解三角形或求解三角形的角、边等.已知f(x)=-cos2x+sin x的图象上两相邻对称轴间的距离为(0).(1)求f(x)的单调减区间;(2)在ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,若f(A)=,c=3,ABC的面积是3,求a的值.【解析】由已知得,函数f(x)的周期为.f(x)=-cos2+sin x=-+sin x=sin x-cos x-=sin(x-)-,=2,f(x)=sin(2x-)-.(1)由2k+2x-2k+,得2k+2x2k+,k+xk+(kZ),f(x)的单调减区间是k+,k+(k
9、Z).(2)由f(A)=,得sin(2A-)-=,sin(2A-)=1,0A,-2A-,2A-=,故A=.由SABC=bcsin A=3,c=3,得b=4,a2=b2+c2-2bccos A=16+9-243=13,故a=.已知函数f(x)=sin(-2x)+2cos2x-1(xR).(1)解不等式f(x)0;(2)在ABC中,三内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知函数f(x)的图象经过点(A,)且b+c=2a,=9,求a的值.【解析】f(x)=sin(-2x)+2cos2x-1=-cos 2x+sin 2x+cos 2x=cos 2x+sin 2x=sin(2x+).(1)f(x)0,
10、即sin(2x+)0,2k2x+2k+(kZ),得:k-xk+(kZ),f(x)0的解集为k-,k+(kZ).(2)由f(A)=sin(2A+)=可得:2A+=+2k或+2k,A=,=bccos A=bc=9,bc=18.又b+c=2a,cos A=-1,a=3.设ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=2,b=3,cos C=-.(1)求c;(2)求cos(A-C).【解析】(1)a=2,b=3,cos C=-,c2=a2+b2-2abcos C=22+32-223(-)=16.c=4.(2)在ABC中,cos C=-,sin C=,且C为钝角.又=,sin A=,cos A
11、=,cos(A-C)=cos Acos C+sin Asin C=(-)+=.1.一等腰三角形的周长是底边长的5倍,那么顶角的余弦值为().A.B.C.D.【解析】设底边长为x,则两腰长为2x,则顶角的余弦值cos =.【答案】D2.在ABC中,sin A+cos A=,AC=2,AB=3,则ABC的面积为().A.(+)B.+C.D.2【解析】sin A+cos A=cos(A-45)=,cos(A-45)=.又0A180,A=105,sin A=sin(45+60)=sin 45cos 60+cos 45sin 60=.又AC=2,AB=3,SABC=ACABsin A=23=(+).【答
12、案】A3.在ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c.若cos B=,=2,且SABC=,则b=.【解析】依题意得,c=2a,b2=a2+c2-2accos B=a2+(2a)2-2a2a=4a2,所以b=c=2a,sin B=,又SABC=acsin B=b=,所以b=2.【答案】24.已知函数f(x)=sin 2x-cos2x-.(1)求函数f(x)的最小值,及取最小值时x的值;(2)设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c且c=,f(C)=0,若sin B=2sin A,求a,b的值.【解析】(1)f(x)=sin 2x-cos2x-=sin 2x-=sin(2x-)-1,所以当且仅当x=k-(kZ)时,f(x)取得最小值-2.(2)f(C)=sin(2C-)-1=0,则sin(2C-)=1,0C,-2C-b,则B等于().A.B.C.D.【解析】由正弦定理得sin Asin Bcos C+sin Csin Bcos A=sin B,所以sin B(sin Acos C+cos Asin C)=sin Bsin(A+C)=sin2B=sin B,因为sin B0,所以sin B=,又因为ab,所以B为锐角,故B=.【答案】A
