1、2020年广东省广州市天河区高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）设集合，0，1，2，则AB，C，D，1，2（5分）高铁、扫码支付、共享单车、网购被称为中国的“新四大发明”，为评估共享单车的使用情况，选了座城市作试验基地，这座城市共享单车的使用量（单位；人次天）分别为，下面给出的指标中可以用来评估共享单车使用量的稳定程度的是A，的平均数B，的标准差C，的最大值D，的中位数3（5分）若复数为纯虚数，则AB13C10D4（5分）设等差数列的前项和为，若，则等于A18B36C45D605（5分）已知，
2、则的值等于ABCD6（5分）若实数，满足，则的最小值为A2BC1D7（5分）三国时代吴国数学家赵爽所注周髀算经中给出了勾股定理的绝妙证明，下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实，图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱色及黄色，其面积称为朱实，黄实，利用勾股（股勾）朱实黄实弦实，化简，得勾股弦，设勾股中勾股比为，若向弦图内随机抛掷1000颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉数大约为A866B500C300D1348（5分）已知满足，则ABCD9（5分）如图所示，在棱长为的正方体中，是棱的中点，是侧面上的动点，且面，则在侧面上的轨迹的长
3、度是ABCD10（5分）已知函数，为图象的对称中心，是该图象上相邻的最高点和最低点，若，则的单调递增区间是A，B，C，D，11（5分）一对夫妇为了给他们的独生孩子支付将来上大学的费用，从孩子一周岁生日开始，每年到银行储蓄元一年定期，若年利率为保持不变，且每年到期时存款（含利息）自动转为新的一年定期，当孩子18岁生日时不再存入，将所有存款（含利息）全部取回，则取回的钱的总数为ABCD12（5分）已知函数，曲线上总存在两点，使曲线在，两点处的切线互相平行，则的取值范围为ABCD二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分13（5分）已知向量，若向量，则 14（5分）已知数列满足，则当时， 1
4、5（5分）如图所示，位于处的信息中心获悉：在其正东方向相距海里的处有一艘渔船遇险，在原地等待营救信息中心立即把消息告知在其南偏西、相距20海里的处的乙船，现乙船朝北偏东的方向沿直线前往处救援，则的值为 16（5分）已知直三棱柱外接球的表面积为，若外接圆的圆心在上，半径，则直三棱柱的体积为 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题学生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。(一）必考题：共60分。17（12分）某校在一次期末数学测试中，为统计学生的考试情况，从学校的2000名学生中随机抽取50名学生的考试成绩，被测学生成绩全部介于
5、65分到145分之间（满分150分），将统计结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，第八组，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分（1）求第七组的频率，并完成频率分布直方图；（2）用样本数据估计该校的2000名学生这次考试成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值代表该组数据平均值）；（3）若从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取2名，求他们的分差的绝对值小于10分的概率18（12分）在等比数列中，公比，且满足，（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前项和为，当取最大值时，求的值19（12分）在中，角、所对的边分别为、，且（1）求角的大小；（2）若，的面积为，求及的值
6、20（12分）如图，四棱锥的底面是矩形，侧面是正三角形，、分别为、的中点（1）求证：；（2）求点到平面的距离21（12分）已知函数，（1）讨论函数的单调区间及极值；（2）若关于的不等式恒成立，求整数的最小值（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。选修4-4：坐标系与参数方程22（10分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数），坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，直线的极坐标方程为（1）求曲线和直线的直角坐标方程；（2）直线与轴的交点为，经过点的动直线与曲线交于、两点，证明：为定值选修4-5：不等式选讲（10分）2
7、3已知函数（1）若时，解不等式；（2）若关于的不等式在，上有解，求实数的取值范围2020年广东省广州市天河区高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）设集合，0，1，2，则AB，C，D，1，【解答】解：由中不等式变形得：，解得：或，即或，0，1，2，故选：2（5分）高铁、扫码支付、共享单车、网购被称为中国的“新四大发明”，为评估共享单车的使用情况，选了座城市作试验基地，这座城市共享单车的使用量（单位；人次天）分别为，下面给出的指标中可以用来评估共享单车使用量的稳定程度的是A，的平均
8、数B，的标准差C，的最大值D，的中位数【解答】解：表示一组数据，的稳定程度是方差或标准差故选：3（5分）若复数为纯虚数，则AB13C10D【解答】解：由因为复数为纯虚数，所以，解得所以故选：4（5分）设等差数列的前项和为，若，则等于A18B36C45D60【解答】解：，故选：5（5分）已知，则的值等于ABCD【解答】解：，故选：6（5分）若实数，满足，则的最小值为A2BC1D【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，如图：由图可知，在与轴的交点处取得最小值，即故选：7（5分）三国时代吴国数学家赵爽所注周髀算经中给出了勾股定理的绝妙证明，下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，
9、其面积称为弦实，图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱色及黄色，其面积称为朱实，黄实，利用勾股（股勾）朱实黄实弦实，化简，得勾股弦，设勾股中勾股比为，若向弦图内随机抛掷1000颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉数大约为A866B500C300D134【解答】解：如图，设勾为，则股为，弦为，则图中大四边形的面积为，小四边形的面积为，则由测度比为面积比，可得图钉落在黄色图形内的概率为落在黄色图形内的图钉数大约为故选：8（5分）已知满足，则ABCD【解答】解：；又；故选：9（5分）如图所示，在棱长为的正方体中，是棱的中点，是侧面上的动点，且面，则在侧面上的轨迹的长度是AB
10、CD【解答】解：设，分别为、边上的中点则四点共面，且平面平面又面，落在线段上，正方体中的棱长为，即在侧面上的轨迹的长度是故选：10（5分）已知函数，为图象的对称中心，是该图象上相邻的最高点和最低点，若，则的单调递增区间是A，B，C，D，【解答】解：函数，为图象的对称中心，是该图象上相邻的最高点和最低点，若，即，求得再根据，可得，令，求得，故的单调递增区间为，故选：11（5分）一对夫妇为了给他们的独生孩子支付将来上大学的费用，从孩子一周岁生日开始，每年到银行储蓄元一年定期，若年利率为保持不变，且每年到期时存款（含利息）自动转为新的一年定期，当孩子18岁生日时不再存入，将所有存款（含利息）全部取回
11、，则取回的钱的总数为ABCD【解答】解：根据题意，当孩子18岁生日时，孩子在一周岁生日时存入的元产生的本利合计为，同理：孩子在2周岁生日时存入的元产生的本利合计为，孩子在3周岁生日时存入的元产生的本利合计为，孩子在17周岁生日时存入的元产生的本利合计为，可以看成是以为首项，为公比的等比数列的前17项的和，此时将存款（含利息）全部取回，则取回的钱的总数：；故选：12（5分）已知函数，曲线上总存在两点，使曲线在，两点处的切线互相平行，则的取值范围为ABCD【解答】解：函数，导数由题意可得，且即有，化为，而，化为对，都成立，令，对，恒成立，即在，递增，（4），即的取值范围是，故选：二、填空题：本大题
12、共4小题，每小题5分，满分20分13（5分）已知向量，若向量，则【解答】解：向量，故答案为：14（5分）已知数列满足，则当时，【解答】解：数列满足， ，则，由此可得当时，故答案为：15（5分）如图所示，位于处的信息中心获悉：在其正东方向相距海里的处有一艘渔船遇险，在原地等待营救信息中心立即把消息告知在其南偏西、相距20海里的处的乙船，现乙船朝北偏东的方向沿直线前往处救援，则的值为【解答】解：如图所示，在中，由余弦定理得，所以由正弦定理得由知为锐角，故故故答案为：16（5分）已知直三棱柱外接球的表面积为，若外接圆的圆心在上，半径，则直三棱柱的体积为24【解答】解：如图，外接圆的圆心在上， 为的中
13、点，且是以为直角的直角三角形，由半径，得，又，把直三棱柱补形为长方体，设，则其外接球的半径又直三棱柱外接球的表面积为，即，解得直三棱柱的体积为故答案为：24三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题学生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。(一）必考题：共60分。17（12分）某校在一次期末数学测试中，为统计学生的考试情况，从学校的2000名学生中随机抽取50名学生的考试成绩，被测学生成绩全部介于65分到145分之间（满分150分），将统计结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，第八组，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的
14、一部分（1）求第七组的频率，并完成频率分布直方图；（2）用样本数据估计该校的2000名学生这次考试成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值代表该组数据平均值）；（3）若从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取2名，求他们的分差的绝对值小于10分的概率【解答】解：（1）由频率分布直方图得第七组的频率为：完成频率分布直方图如下：（2）用样本数据估计该校的2000名学生这次考试成绩的平均分为：（3）样本成绩属于第六组的有人，样本成绩属于第八组的有人，从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取2名，基本事件总数，他们的分差的绝对值小于10分包含的基本事件个数，他们的分差的绝对值小于
15、10分的概率18（12分）在等比数列中，公比，且满足，（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前项和为，当取最大值时，求的值【解答】解：（1），可得，由，即，可得，由，可得，可得，即，由解得舍去），则；（2），可得，则，可得或7时，取最大值则的值为6或719（12分）在中，角、所对的边分别为、，且（1）求角的大小；（2）若，的面积为，求及的值【解答】解：（1），可得：，（2），20（12分）如图，四棱锥的底面是矩形，侧面是正三角形，、分别为、的中点（1）求证：；（2）求点到平面的距离【解答】解：（1）证明：为正三角形，根据勾股定理得，为矩形，面且交于点，面，面，面面，为的中点，为正三角形，平面
16、，平面，（） 解：取中点，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则，0，2，0，0，2，0，设平面的法向量，则，取，得，1，点到平面的距离21（12分）已知函数，（1）讨论函数的单调区间及极值；（2）若关于的不等式恒成立，求整数的最小值【解答】解：（1）定义域为，当时恒成立，在上是增函数，无极值，当时令，令，所以函数在上为增函数，在，为减函数，所以当时，有极大值，极大值为，无极小值，（2）：由恒成立知恒成立，令，则，令，因为，（1），则为增函数故存在，使，即，当时，为增函数，当时，为减函数所以，而，所以，所以整数的最小值为2（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答
17、。如果多做，则按所做的第一题计分。选修4-4：坐标系与参数方程22（10分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数），坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，直线的极坐标方程为（1）求曲线和直线的直角坐标方程；（2）直线与轴的交点为，经过点的动直线与曲线交于、两点，证明：为定值【解答】解：（1）由，得曲线直线的极坐标方程展开为，故的直角坐标方程为（2）显然的坐标为，不妨设过点的直线方程为为参数），代入得，设，对应的参数为，所以为定值选修4-5：不等式选讲（10分）23已知函数（1）若时，解不等式；（2）若关于的不等式在，上有解，求实数的取值范围【解答】解：（1）若时，当时，原不等式可化为解得，所以，当时，原不等式可化为得，所以，当时，原不等式可化为解得，所以，综上述：不等式的解集为；（2）当，时，由得，即，故得，又由题意知：，即，故的范围为，
