1、第24课三角变换【自主学习】第24课 三角变换(本课时对应学生用书第6264页)自主学习回归教材1. (必修4P131复习题16改编)若sin-cos=m，则实数m的最小值为.【答案】-2【解析】由sin -cos =2sin=m-2，得实数m的最小值为-2.2. (必修4P128练习3改编)已知cos=，且(0，)，那么sin=.【答案】【解析】由(0，)，得，所以sin=.3. (必修4P130习题5改编)若tan =，tan(+)=，则tan =.【答案】【解析】tan =tan(+)-=.4. (必修4P117习题1改编)化简：=.【答案】【解析】因为tan(95-35)=，所以原式=
2、.5. (必修4P131复习题13改编)若sin=m，cos=n，则tan=.(用m，n 表示)【答案】1. 在三角函数式的化简、求值、证明等三角恒等变换中，要注意将不同名的三角函数化成同名的三角函数，如遇到正切、正弦、余弦并存的情况，一般要将正切化为正弦或余弦.2. 要注意对“1”的代换，如1=sin2+cos2=tan；还有1+cos =2cos2，1-cos =2sin2.3. 对于 sin cos 与sin cos 同时存在的试题，可通过换元完成.如设t=sin cos ，则sin cos =.4. 常见的“变角”方法有：2=(+)+(-)；=(+)-=(-)+.【要点导学】要点导学各
3、个击破倍角公式的拓展例1求sin 50(1+tan 10)的值.【解答】sin 50(1+tan 10)=sin 50=sin 50=1.变式计算：tan 70cos10(tan 20-1).【解答】原式=cos 10=-1.角的变换例2已知cos=，x.(1)求sin x的值；(2)求sin的值.【思维引导】(1)x=+；(2)利用两角和的正弦公式求值.【解答】(1)方法一：因为x，所以x-，故sin=，所以sin x=sin=sincos+cossin=+=.方法二：由题设得cos x+sin x=，即sin x+cos x=.又因为sin2x+cos2x=1，所以25sin2x-5sin
4、 x-12=0，解得sin x=或sin x=-，因为x，所以sin x=.(2)因为x，所以cos x=-=-，所以sin 2x=2sin xcos x=-，cos 2x=2cos2x-1=-，所以sin=sin 2xcos+cos 2xsin=-.【精要点评】角的变换非常灵活，如=-=+，=(+)-，=+等，需要在平时的训练中细心体会.变式已知cos=，且x，求的值.【解答】因为x，所以x+2.又因为cos=，所以sin=-，所以cos x=cos=coscos +sinsin =-，从而sin x=-，tan x=7.故原式=-.三角恒等变换公式的综合应用微课6 典型示例例3(2015苏
5、州调查)如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C均在单位圆上，已知点A在第一象限且横坐标为，点B在第二象限，点C的坐标是(1，0).(1)设COA=，求sin 2的值；(2)若AOB为正三角形，求点B的坐标.(例3)【思维导图】【规范解答】(1)由题设得cos =.因为点A在单位圆上且在第一象限，所以sin =，从而sin 2=2sin cos =.(2)因为AOB为正三角形，所以BOC=AOC+60=+60，所以cos BOC=cos(+60)=cos cos 60-sin sin 60=，sinBOC=sin(+60)=sin cos 60+cos sin 60=.因此，点B的坐标为.
6、 总结归纳若题目所给条件中含有角及角所在边上的点的坐标，这时优先考虑应用三角函数的定义求解. 题组强化1. 计算：=.【答案】1【解析】原式=1.2. 已知向量a=(sin ，cos )，b=(3，-4)，若ab，则tan 2=.【答案】-【解析】因为ab，所以-4sin -3cos =0，所以tan =-，从而tan 2=-.3. 在ABC中，若cos A=，cos B=，则cos C=.【答案】【解析】在ABC中，0A，0B0，cos B=0，得0A，0B，从而sin A=，sin B=，所以cos C=cos-(A+B)=-cos(A+B)=sin Asin B-cos Acos B=-
7、=.4. 计算：cos 10+sin 10tan70-2cos 40=.【答案】2【解析】原式=+-2cos 40=-2cos 40=-2cos 40=-2cos 40=2.5. 如图，已知OA=6，AB=3，ABAO，xOA=， .(1)用表示点B的纵坐标y；(2)求y的最大值.(第5题)【解答】(1)分别过点A，B作x轴的垂线，垂足分别为C，D，过点A作AEBD于点E，则ABE=xOA=，且y=BE+ED=BE+AC=3cos +6sin ，其中.(2)由(1)知y=6sin +3cos =3sin(+)，其中为锐角且tan =，故y的最大值为3.1. 已知cos 2=，那么sin2=.【
8、答案】【解析】因为cos 2=1-2sin2=，所以sin2=.2. 已知sin =，是第二象限角，且tan(+)=1，则tan 2=.【答案】-【解析】由sin =且是第二象限角，得tan =-，因为(+)-=，所以tan =tan(+)-=7，所以tan 2=-.3. (2015四川卷)已知sin +2cos =0，则2sin cos -cos2的值为.【答案】-1【解析】由已知可得sin =-2cos ，即tan =-2，所以2sin cos -cos2=-1.4. (2015宿迁一模)若cos=，则sin的值是.【答案】-【解析】令=-，则cos =，=+，从而2-=2+，所以sin=
9、sin=cos 2=2cos2-1=2-1=-.5. (2015广东卷)已知tan =2.(1)求tan的值；(2)求的值.【解答】(1)tan=-3.(2)=1.【融会贯通】融会贯通能力提升 如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边的两个锐角，它们的终边分别交单位圆于A，B两点.已知A，B两点的横坐标分别为和.(1)求sin ，sin 的值；(2)求sin(+2)的值.【思维引导】【规范解答】(1)由单位圆上三角函数的定义，可得cos =，cos =. .3分由于，为锐角，所以sin =，sin =.7分(2)由(1)知sin 2=2sin cos =2=，.9分cos 2=2cos2
10、-1=2-1=， .11分所以sin(+2)=sin cos 2+cos sin 2=+=. .14分【精要点评】高考题增加了三角函数的定义，以单位圆上的三角定义给出相应函数值.从实际考查的情况来看，这个题给那些注重单纯训练解题而忽视概念的学生以沉重地打击，相当多的学生在这个问题上失分.事实上，高考数学重视从概念出发解决数学问题，关注数学概念的本质.通过这道题，其实也在提醒我们在备考的时候要善于回头，重视基本概念.趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成配套检测与评估中的练习第4748页.【检测与评估】第24课三角变换一、 填空题 1若sin=，则cos(-2)=. 2已知cos =，且270
11、360，则cos=. 3若sin=，0，则cos 2=. 4已知为锐角，sin(+15)=，则cos(2-15)=. 5若，sin 2=，则cos -sin 的值为. 6已知函数f(x)=，当时，式子f(sin 2)-f(-sin 2)可化简为. 7若，化简=. 8已知，(0，)，且sin(+)=，tan=，则cos =.二、 解答题 9已知-x0，则cos=.【检测与评估答案】第24课三角变换1 【解析】由sin=，得cos =，所以cos(-2)=-cos 2=1-2cos2=.2-【解析】因为270360，所以135180，所以cos=-=-=-.3 -【解析】由于0，所以+.又因为si
12、n=sin ，所以cos -sin = =.6 2cos 【解析】f(sin 2)-f(-sin 2)=-=-=|sin -cos |-|sin +cos |.因为，所以sin cos 0，所以原式=cos -sin +sin +cos =2cos .7 sin【解析】因为，所以=sin.8-【解析】因为tan=，所以tan =，而(0，)，所以.由tan =及sin2+cos2=1得sin =，cos =.又sin(+)=，所以+，cos(+)=-，所以cos =cos(+)-=cos(+)cos +sin(+)sin =-+=-.9 (1)方法一：由题意得sin xcos +cos xsi
13、n =，所以sin x+cos x=.因为-x0，所以sin x0.由得所以sin x-cos x=-.方法二：同方法一知sin x0，(sin x+cos x)2=，所以1+2sin xcos x=，所以2sin xcos x=-.又sin x-cos x0，(sin x-cos x)2=1-2sin xcos x=，所以sin x-cos x=-.(2)原式=.10 原式=411 (1)因为tan =2，所以=2，即sin =2cos .又sin2+cos2=1，解得sin2=，cos2=.所以cos 2=cos2-sin2=-.(2)因为(0，)，且tan =2，所以.又cos 2=-0，故2，sin 2=.由cos =-，(0，)，得sin =，.所以sin(2-)=sin 2cos -cos 2sin =-=-.又2-，所以2-=-.12【解析】因为tan =1，tan =1，且，均为锐角，所以0，0，所以0+20，所以为第二象限角，所以cos=-=-.
