1、7.1 角与弧度 7.1.1 任意角 第7章 三角函数 学 习 任 务核 心 素 养1了解任意角的概念，了解两角的和、互为相反角和两角的差的概念2理解象限角的概念及终边相同的角的含义(重点)3掌握判断象限角及表示终边相同的角的方法(难点)1通过终边相同角的计算，培养数学运算素养2借助任意角的终边位置的确定，提升逻辑推理素养.情境导学探新知 NO.1初中对角的定义是：射线 OA 绕端点 O 按逆时针方向旋转一周回到起始位置，在这个过程中可以得到 0360范围内的角但是现实生活中随处可见超出 0360范围的角例如体操中有“前空翻转体540”，主动轮和被动轮的旋转方向不一致，如何定义角才能解决这些问
2、题呢？知识点1 任意角的概念(1)角的概念：一个角可以看作平面内_绕着_从一个位置_到另一个位置所形成的图形射线的端点称为角的顶点，射线旋转的_和_称为角的始边和终边一条射线它的端点旋转开始位置终止位置(2)角的分类：按旋转方向可将角分为如下三类：类型定义图示正角 按_旋转所形成的角负角 按_旋转所形成的角零角 一条射线_旋转，称它形成了一个零角逆时针方向顺时针方向没有作任何1.如果一个角的始边与终边重合，那么这个角一定是零角吗？提示 不一定，若角的终边未作旋转，则这个角是零角若角的终边作了旋转，则这个角就不是零角(3)两角的和、互为相反角、两角的差：对于两个任意角，将角 的终边旋转角(当 是
3、正角时，按逆时针方向旋转；当 是负角时，按顺时针方向旋转；当 是零角时，不旋转)，这时_称为 与 的和，记作.射线 OA绕端点 O 分别按逆时针方向、顺时针方向旋转相同的量所成的两个角称为互为相反角角 的相反角记为_，于是有 _终边所对应的角()240 120 是按逆时针方向旋转的，为 240，是按顺时针方向旋转的，为120.1.如图，角 _，_.知识点 2 象限角与轴线角(1)象限角：以角的_为坐标原点，角的_为 x 轴正半轴，建立平面直角坐标系这样，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角(2)轴线角：终边在_上的角顶点始边坐标轴2.思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1
4、)180是第二象限角()(2)30是第四象限角()(3)第一象限内的角都小于第二象限内的角()提示(1)180是轴线角(3)如 375120，而 375和 120分别是第一、二象限内的角答案(1)(2)(3)知识点 3 终边相同的角与角 终边相同的角的集合为_|k360，kZ提示 终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同终边相同的角的表示方法不唯一2.终边相同的角一定相等吗？其表示法唯一吗？|k360215，kZ 由终边相同的角的表示可知与215角终边相同的角的集合是|k360215，kZ3.与215角终边相同的角的集合可表示为_合作探究释疑难 NO.2类型1 角的概念辨析 类型2 终边
5、相同的角与象限角 类型3 区域角的表示 类型 4 角n，n(nN*)所在象限的确定类型 1 角的概念辨析【例 1】(1)给出下列说法：锐角都是第一象限角；第一象限角一定不是负角；小于 180的角是钝角、直角或锐角；始边和终边重合的角是零角其中正确说法的序号为_(把正确说法的序号都写上)(2)已知角的顶点与坐标原点重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，作出下列各角，并指出它们是第几象限角420.855.510.(1)锐角是大于 0且小于 90的角，终边落在第一象限，是第一象限角，所以正确；350角是第一象限角，但它是负角，所以错误；0角是小于 180的角，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，所以错误
6、；360角的始边与终边重合，但它不是零角，所以错误(2)解 作出各角的终边，如图所示：由图可知：420是第一象限角855是第二象限角510是第三象限角1理解角的概念的关键与技巧(1)关键：正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念(2)技巧：判断命题为真需要证明，而判断命题为假只要举出反例即可2象限角的判定方法(1)在坐标系中画出相应的角，观察终边的位置，确定象限(2)第一步，将 写成 k360(kZ,0360)的形式；第二步，判断 的终边所在的象限；第三步，根据 的终边所在的象限，即可确定 的终边所在的象限提醒：理解任意角这一概念时，要注意“旋转方向”决定角的“正负”，“旋转幅度”决
7、定角的“绝对值大小”100 1 200 时针每小时转 30，分针每小时转 360，由于旋转方向均为顺时针方向，故转过的角度均为负值，又 3 小时 20 分等于103 小时，故时针转过的角度为103 30100；分针转过的角度为103 3601 200.跟进训练1时钟走了 3 小时 20 分，则时针所转过的角的度数为_，分针转过的角的度数为_类型 2 终边相同的角与象限角【例 2】已知 1 910.(1)把 写成 k360(kZ,0360)的形式，并指出它是第几象限角；(2)求，使 与 的终边相同，且7200；(3)若与 终边相同的最大负角、最小正角分别为 1，2，求 12.思路点拨(1)把 写
8、成 k360(kZ,0360)的形式后，判断 所在的象限即可(2)将 写成 k360(kZ,0360)的形式，用观察法验证 k 的不同取值即可解(1)法一：1 9106360250，1 910角与 250角终边相同，6360250，它是第三象限角法二：设 k360(kZ)，则 1 910k360(kZ)令1 910k3600，解得 k1 910360 51136.k 的最大整数解为 k6，相应的 250，于是 2506360，它是第三象限角(2)由(1)知令 250k360(kZ)，取 k1，2 就得到符合7200的角：250360110，250720470.故 110或470.(3)因为与
9、终边相同的角为 k360250(kZ)所以取 k1,0 得与 终边相同的最大负角为 1110，最小正角为 2250，所以 12140.1把任意角化为 k360(kZ 且 0360)的形式，关键是确定 k，可以用观察法(的绝对值较小)，也可用除法2要求适合某种条件且与已知角终边相同的角时，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出 k 的值3终边相同的角常用的三个结论(1)终边相同的角之间相差 360的整数倍(2)终边在同一直线上的角之间相差 180的整数倍(3)终边在相互垂直的两直线上的角之间相差 90的整数倍提醒：kZ，即 k 为整数这一条件不可少跟进训练2在 03
10、60范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角(1)150；(2)650；(3)95015.解(1)因为150360210，所以在 0360范围内，与150角终边相同的角是 210角，它是第三象限角(2)因为 650360290，所以在 0360范围内，与 650角终边相同的角是 290角，它是第四象限角(3)因为95015336012945，所以在 0360范围内，与95015角终边相同的角是 12945角，它是第二象限角3在与 10 030角终边相同的角中，求满足下列条件的角(1)最大的负角；(2)360720内的角解 与 10 030角终边相同的角的一般形式为10 030
11、k360(kZ)(1)由 10 030k3600.得 k36010 030，所以 k10 0336，又 kZ，故所求的最大负角为 50.(2)由36010 030k360720，得10 390k3609 310，又 kZ，解得 k28，27，26.当 k28 时，10 0302836050，当 k27 时，10 03027360310，当 k26 时，10 03026360670，故所求的角 的值为50，310，670.类型 3 区域角的表示【例 3】已知，如图所示分别写出终边落在 OA，OB 位置上的角的集合；写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合解 终边落在 OA 位置上的角的集合为|
12、9045k360，kZ|135k360，kZ；终边落在 OB 位置上的角的集合为|30k360，kZ由题干图可知，阴影部分(包括边界)的角的集合是由所有介于30，135之间的与之终边相同的角组成的集合，故该区域可表示为|30k360135k360，kZ1.(变条件)若将本例改为如图所示的图形，那么终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合如何表示？解 在 0360范围内，终边落在阴影部分(包括边界)的角为 60105与 240285，所以所有满足题意的角 为|k36060k360105，kZ|k360240k360285，kZ|2k180602k180105，kZ|(2k1)18060(2k1)1
13、80105，kZ|n18060n180105，nZ故角 的取值集合为|n18060n180105，nZ2.(变条件)若将本例改为如图所示的图形，那么阴影部分(包括边界)表示的终边相同的角的集合如何表示？解 在 0360范围内，阴影部分(包括边界)表示的范围可表示为：150225，则所有满足条件的角 为|k360150k360225，kZ表示区间角的三个步骤第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的360360范围内的角 和，写出最简区间x|x，其中 360；第三步：起始、终止边界对应角，再加上 360的整数倍，即得区间角集合跟进训练4写出终
14、边落在如图所示阴影部分的角的集合解 法一：设终边落在阴影部分的角为，角 的集合由两部分组成：|k36030k360105，kZ|k360210k360285，kZ，角 的集合应当是集合与的并集：|k36030k360105，kZ|k360210k360285，kZ|2k180302k180105，kZ|(2k1)18030(2k1)180105，kZ|2k180302k180105或(2k1)18030(2k1)180105，kZ|n18030n180105，nZ法二：与 30角终边在同一条直线上的角的集合为|k18030，kZ与 18075105角终边在同一条直线上的角的集合为|k18010
15、5，kZ，结合图形可知，阴影部分的角的集合为|k18030k180105，kZ类型 4 角n，n(nN*)所在象限的确定【例 4】已知 是第二象限角，求角2所在的象限解 法一：是第二象限角，k36090k360180(kZ)k2360452k236090(kZ)当 k 为偶数时，令 k2n(nZ)，得n360452n36090，这表明2是第一象限角；当 k 为奇数时，令 k2n1(nZ)，得n3602252n360270，这表明2是第三象限角2为第一或第三象限角法二：如图，先将各象限分成 2 等份，再从 x 轴正向的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则标有二的区域即为2的终边所在的区域，
16、故2为第一或第三象限角在本例条件下，求角 2 的终边的位置解 是第二象限角，k36090k360180(kZ)k7201802k720360(kZ)角 2 的终边在第三或第四象限或在 y 轴的非正半轴上倍角、分角所在象限的判定思路(1)已知角 终边所在的象限，确定 n 终边所在的象限，可依据角 的范围求出 n 的范围，再直接转化为终边相同的角即可注意不要漏掉 n 的终边在坐标轴上的情况(2)已知角 终边所在的象限，确定n终边所在的象限，分类讨论法要对 k 的取值分以下几种情况进行讨论：k 被 n 整除；k 被 n 除余 1；k被 n 除余 2，k 被 n 除余 n1.然后方可下结论几何法依据数
17、形结合思想，简单直观跟进训练5已知 与 330角的终边相同，判断3是第几象限角解 由 k360330(kZ)，可得3k120110(kZ)若 k 3n(nZ)，则3n360110(nZ)，与 110角的终边相同，是第二象限角；若 k3n1(nZ)，则3n360230(nZ)，与 230角的终边相同，是第三象限角若 k3n2(nZ)，则3n360350(nZ)，与 350角的终边相同，是第四象限角所以3是第二或第三或第四象限角当堂达标夯基础 NO.31 2 3 4 5 ABCD 由终边相同角的概念知：A、B、C、D 都正确1(多选题)以下说法，其中正确的有()A75是第四象限角 B265是第三象
18、限角C475是第二象限角 D315是第一象限角1 2 3 4 5 D 因为 45315360，所以与 45角终边相同的角是315.2与 45角终边相同的角是()A45B225C395D3151 2 3 4 5 690 由题意知，所得角是 302360690.330角的始边与 x 轴的非负半轴重合，把终边按顺时针方向旋转2 周，所得角是_1 2 3 4 5 960 角 与 120角的终边相同，k360120，kZ.又990630，990k360120630，kZ，即1 110k360750，kZ，k3.当 k3 时，(3)360120960.4已知990630，且角 与 120角的终边相同，则 _.5 1 2 3 4 80 一 因为 800360280，所以 80角与 800角终边相同，且 080360，故 80，它是第一象限角5已知 0360，且 与 800角终边相同，则 _，它是第_象限角回顾本节知识，自我完成以下问题1任给一个角，如何判定该角所在的象限？提示 将角化为 k360.(kZ，且 0360)的形式，所在的象限即为任意角所在的象限2已知角的终边范围，怎样求终边相同的角的集合？提示 先写出边界对应的角，再写出 0360内符合条件的角的范围，最后加上 k360即可点击右图进入 课 后 素 养 落 实 谢谢观看 THANK YOU!
