1、1.3导数的应用1.3.1利用导数判断函数的单调性学 习 目 标核 心 素 养1理解导数与函数的单调性的关系(易混点)2掌握利用导数判断函数单调性的方法(重点)3会用导数求函数的单调区间(重点、难点)1通过利用导数判断函数单调性法则的学习，提升学生的数学抽象素养2借助判断函数单调性及求函数的单调区间，提升学生的逻辑推理、数学运算素养.用函数的导数判定函数单调性的法则(1)如果在(a，b)内，f(x)0，则f(x)在此区间是增函数，(a，b)为f(x)的单调增区间；(2)如果在(a，b)内，f(x)0，则函数f(x)在定义域上单调递增()(2)函数在某一点的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭”
2、()(3)函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上导数的绝对值越大()答案(1)(2)(3)2函数yf(x)的图象如图所示，则()Af(3)0Bf(3)0Cf(3)0Df(3)的正负不确定解析由图象可知，函数f(x)在(1,5)上单调递减，则在(1,5)上有f(x)0，故f(3)0，解得x1，故f(x)的单调递增区间是(1，)答案(1，)单调性与导数的关系【例1】(1)函数yf(x)的图象如图所示，给出以下说法：函数yf(x)的定义域是1,5；函数yf(x)的值域是(，02,4；函数yf(x)在定义域内是增函数；函数yf(x)在定义域内的导数f(x)0.其中正确的序号是()ABC D(2)设
3、函数f(x)在定义域内可导，yf(x)的图象如图所示，则导函数yf(x)的图象可能为()思路探究研究一个函数的图象与其导函数图象之间的关系时，注意抓住各自的关键要素，对于原函数，要注意其图象在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减；而对于导函数，则应注意其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致解析(1)由图象可知，函数的定义域为1,5，值域为(，02,4，故正确，选A.(2)由函数的图象可知：当x0时，函数先增后减再增，即导数先正后负再正，对照选项，应选D.答案(1)A(2)D1利用导数判断函数的单调性比利用函数单调性的定义简单的多，只需判断导
4、数在该区间内的正负即可2通过图象研究函数单调性的方法(1)观察原函数的图象重在找出“上升”“下降”产生变化的点，分析函数值的变化趋势；(2)观察导函数的图象重在找出导函数图象与x轴的交点，分析导数的正负1(1)设f(x)是函数f(x)的导函数，将yf(x)和yf(x)的图象画在同一个直角坐标系中，不正确的是()ABCD(2)若函数yf(x)的导函数在区间a，b上是增函数，则函数yf(x)在区间a，b上的图象可能是()ABCD解析(1)A，B，C均有可能；对于D，若C1为导函数，则yf(x)应为增函数，不符合；若C2为导函数，则yf(x)应为减函数，也不符合(2)因为yf(x)的导函数在区间a，
5、b上是增函数，则从左到右函数f(x)图象上的点的切线斜率是递增的答案(1)D(2)A利用导数求函数的单调区间【例2】求函数f(x)x(a0)的单调区间思路探究求出导数f(x)，分a0和a0求得单调增区间，由f(x)0时，令f(x)10，解得x或x；令f(x)10，解得x0或0x；当a0恒成立，所以当a0时，f(x)的单调递增区间为(，)和(，)；单调递减区间为(，0)和(0，)当a0(或f(x)0时，f(x)在相应的区间上是增函数；当f(x)0，可得x1即函数f(x)exex，xR的单调增区间为(1，)，故选D.(2)函数的定义域为(0，)，又f(x)1，由f(x)10，得0x1，所以3x23
6、.所以a3，即a的取值范围是(，3(2)令y0，得x2.若a0，则x2恒成立，即y0恒成立，此时，函数yx3axb在R上是增函数，与题意不符若a0，令y0，得x或x.因为(1，)是函数的一个单调递增区间，所以1，即a3.将上例(1)改为“若函数y在(1，)上不单调”，则a的取值范围又如何？解y3x2a，当a0，函数在(1，)上单调递增，不符合题意当a0时，函数y在(1，)上不单调，即y3x2a0在区间(1，)上有根由3x2a0可得x或x(舍去)依题意，有1，a3，所以a的取值范围是(3，)1解答本题注意：可导函数f(x)在(a，b)上单调递增(或单调递减)的充要条件是f(x)0(或f(x)0)
7、在(a，b)上恒成立，且f(x)在(a，b)的任何子区间内都不恒等于0.2已知f(x)在区间(a，b)上的单调性，求参数范围的方法(1)利用集合的包含关系处理f(x)在(a，b)上单调递增(减)的问题，则区间(a，b)是相应单调区间的子集；(2)利用不等式的恒成立处理f(x)在(a，b)上单调递增(减)的问题，则f(x)0(f(x)0)在(a，b)内恒成立，注意验证等号是否成立1函数yf(x)的图象如图所示，则导函数yf(x)的图象可能是()解析函数f(x)在(0，)，(，0)上都是减函数，当x0时，f(x)0，当x0时，f(x)0.答案D2已知函数f(x)ln x，则有()Af(2)f(e)
8、f(3)Bf(e)f(2)f(3)Cf(3)f(e)f(2) Df(e)f(3)f(2)解析因为在定义域(0，)上，f(x)0，所以f(x)在(0，)上是增函数，所以有f(2)f(e)f(3)故选A.答案A3函数f(x)2x39x212x1的单调减区间是_解析f(x)6x218x12，令f(x)0，即6x218x120，解得1x2.答案(1,2)4已知函数f(x)在(2，)内单调递减，则实数a的取值范围为_解析f(x)，由题意得f(x)0在(2，)内恒成立，解不等式得a，但当a时，f(x)0恒成立，不合题意，应舍去，所以a的取值范围是.答案5已知函数f(x)ln x，g(x)ax22x，a0.若函数h(x)f(x)g(x)在1,4上单调递减，求a的取值范围解h(x)ln xax22x，x(0，)，所以h(x)ax2.因为h(x)在1,4上单调递减，所以x1,4时，h(x)ax20恒成立，即a恒成立，所以aG(x)最大值，而G(x)1因为x1,4，所以，所以G(x)最大值(此时x4)，所以a.当a时，h(x)x2.因为x1,4，所以h(x)0，即h(x)在1,4上为减函数故实数a的取值范围是.
