1、三十一 抛物线方程及性质的应用(15 分钟 30 分)1过点 P(0，1)与抛物线 y2x 有且只有一个交点的直线有()A4 条 B3 条 C2 条 D1 条【解析】选 B.当直线垂直于 x 轴时，满足条件的直线有 1 条；当直线不垂直于 x轴时，满足条件的直线有 2 条2与直线 2xy40 平行的抛物线 yx2 的切线方程为()A2xy30 B2xy30C2xy10 D2xy10【解析】选 D.设切线方程为 2xym0，与 yx2 联立得 x22xm0，44m0，m1，即切线方程为 2xy10.3等腰直角三角形 AOB 内接于抛物线 y22px(p0)，O 为抛物线的顶点，OAOB，则 AO
2、B 的面积是()A8p2B4p2C2p2Dp2【解析】选 B.因为抛物线的对称轴为 x 轴，内接AOB 为等腰直角三角形，所以由抛物线的对称性，知直线 AB 与抛物线的对称轴垂直，从而直线 OA 与 x 轴的夹角为 45.由方程组yx，y22px，得x0，y0或x2p，y2p，所以易得 A，B 两点的坐标分别为(2p，2p)和(2p，2p).所以|AB|4p，所以 S AOB12 4p2p4p2.4(2020全国卷)设 O 为坐标原点，直线 x2 与抛物线 C：y22px(p0)交于D，E 两点，若 ODOE，则 C 的焦点坐标为()A14，0B12，0C(1，0)D(2，0)【解析】选 B.
3、将 x2 代入 y22px(p0)得 y2 p，由 ODOE 得 kODkOE1，即2 p22 p21，得 p1，所以抛物线 C：y22x 的焦点坐标为12，0.5若直线 l：y(a1)x1 与曲线 C：y2ax 恰好有一个公共点，试求实数 a 的取值集合【解析】因为直线 l 与曲线 C 恰好有一个公共点，所以方程组y（a1）x1，y2ax有唯一一组实数解，消去 y，得(a1)x12ax，整理得(a1)2x2(3a2)x10(1)当 a10，即 a1 时，方程是关于 x 的一元一次方程，解得 x1，这时，原方程组有唯一解x1，y1.(2)当 a10，即 a1 时，方程是关于 x 的一元二次方程
4、令(3a2)24(a1)2a(5a4)0，解得 a0 或 a45.当 a0 时，原方程组有唯一解x1，y0.当 a45 时，原方程组有唯一解x5，y2.综上实数 a 的取值集合是1，45，0.(30 分钟 60 分)一、单选题(每小题 5 分，共 20 分)1若抛物线 y2x 上两点 A(x1，y1)，B(x2，y2)关于直线 yxb 对称，且 y1y21，则实数 b 的值为()A3 B3 C2 D2【解析】选 D.因为抛物线 y2x 上两点 A(x1，y1)，B(x2，y2)关于直线 yxb 对称，所以y1y2x1x2 1，所以 y1y2y21 y22 1，所以 y1y21.因为 y1y21
5、，所以 x1x2y21 y22(y1y2)22y1y23，所以两点 A(x1，y1)，B(x2，y2)中点坐标为32，12.代入 yxb，可得 b2.2已知 P 为抛物线 y24x 上一个动点，P 到其准线的距离为 d，Q 为圆 C：(x2)2(y4)21 上一个动点，d|PQ|的最小值是()A5 B4C2 5 1 D 13 1【解析】选 B.点 P 是抛物线 y24x 上的点，又点 P 到抛物线准线的距离为 d，点P 到圆 C：(x2)2(y4)21 上的动点 Q 的距离为|PQ|，由抛物线定义知：点 P 到准线的距离等于点 P 到焦点 F 的距离，如图所示，连接圆心 C 与 F，交圆于 Q
6、.FC 交抛物线的点即为使 d|PQ|最小时 P 的位置，所以 d|PQ|的最小值为：|FC|1，因为 C(2，4)，F(1，0)，所以|FC|（21）2（40）2 5，|CQ|1，所以 d|PQ|的最小值为 514.3(2020哈尔滨高二检测)已知抛物线 C：y28x 的焦点为 F，准线为 l，P 是 l上一点，Q 是直线 PF 与 C 的一个交点，若FP 4FQ，则|QF|等于()A72B3 C52D2【解析】选 B.设点 Q 到 l 的距离为 d，则|QF|d.因为FP 4FQ，所以|PQ|3d.所以直线 PF 的斜率为2 2dd2 2.因为 F(2，0)，所以直线 PF 的方程为 y2
7、 2(x2)，与 y28x 联立，得 x1，x4(舍)，所以 Q 点横坐标为 1，所以|QF|d123.4(2020合肥高二检测)已知直线 l 与抛物线 x24y 交于 A，B 两点，OA OB 0(其中 O 为坐标原点).若OP OA OB，则直线 OP 的斜率的取值范围是()A(，2)2，B(，4)4，C(，2)2，D(，2 2)2 2，【解析】选 D.如图，设 A()x1，y1，B()x2，y2，因为OP OA OB，则 P()x1x2，y1y2，又OA OB 0，即 x1x2y1y20，即 x1x2x21 x22160，即 x1x216，设直线 OP 的斜率为 k，则 ky1y2x1x
8、2 x21 x224()x1x2()x1x2 22x1x24()x1x2 x1x248x1x2，|k|x1x248|x1x22|x1x248|x1x22 2，当且仅当|x1x248|x1x2，即|x1x2 4 2 时等号成立，故 k(，2 2)2 2，.二、多选题(每小题 5 分，共 10 分，全部选对得 5 分，选对但不全的得 3 分，有选错的得 0 分)5(2020济南高二检测)已知抛物线 C：y22px 过点 P(1，1)，则下列结论正确的是()A点 P 到抛物线焦点的距离为32B过点 P 作过抛物线焦点的直线交抛物线于点 Q，则 OPQ 的面积为 532C过点 P 与抛物线相切的直线方
9、程为 x2y10D过点 P 作两条斜率互为相反数的直线交抛物线于 M，N 点，则直线 MN 的斜率为定值【解析】选 BCD.因为抛物线 C：y22px 过点 P(1，1)，所以 p12，所以抛物线方程为 y2x，焦点坐标为 F14，0，对于 A，|PF 114 54，故 A 错误对于 B，kPF43，所以 lPF：y43 x14，与 y2x 联立得 4y23y10，所以 y1y234，y1y214，所以 S OPQ12|OF|y1y2 12 14 ()y1y2 24y1y2 532，故 B 正确对于 C，依题意知斜率存在，设直线方程为 y1k(x1)，与 y2x 联立得 ky2y1k0，14k
10、()1k0，4k24k10，解得 k12，所以切线方程为 x2y10，故 C 正确对于 D，依题意知斜率存在，设 lPM：y1k(x1)，与 y2x 联立得：ky2y1k0，所以 yM11k，即 yM1k 1，则 xM1k12，所以点 M1k1 2，1k1，同理点 N1k1 2，1k1，所以 kMN1k11k11k1 21k1 22k4k12，故 D 正确6已知抛物线 C：y22px()p0的准线经过点 M()1，1，过 C 的焦点 F 作两条互相垂直的直线 l1，l2，直线 l1 与 C 交于 A，B 两点，直线 l2 与 C 交于 D，E两点，则下列结论正确的是()Ap2B|AB|DE 的
11、最小值为 16C四边形 ADBE 的面积的最小值为 64D若直线 l1 的斜率为 2，则AMB90【解析】选 ABD.由题可知p2 1，所以 p2，故 A 正确设直线 l1 的斜率为 k()k0，则直线 l2 的斜率为1k.设 A()x1，y1，B()x2，y2，D()x3，y3，E()x4，y4，直线 l1：yk()x1，直线 l2：y1k()x1.联立y24xyk（x1），消去 y 整理得 k2x2()2k24xk20，所以 x1x22k24k2，x1x21.所以|ABx1x2p2k24k224 4k2.同理|DEx3x4p2 1k241k2244k2，从而|AB|DE 841k2k216
12、，当且仅当 k1 时等号成立，故 B 正确因为 S 四边形 ADBE12|AB|DE81 1k2()1k2321k2 k232，当且仅当 k1 时等号成立，故 C 错误MAMB()x11，y11()x21，y21x1x2x1x21y1y2()y1y21，将 x1x23，x1x21与 y1y22，y1y24 代入上式，得MAMB0，所以AMB90，故 D 正确三、填空题(每小题 5 分，共 10 分)7已知直线 l1：4x3y60 和直线 l2：x1，抛物线 y24x 上一动点 P 到直线 l1 和直线 l2 的距离之和的最小值是_【解析】由抛物线定义知 P 到准线 l2：x1 的距离等于它到焦
13、点(1，0)的距离，所以 P 到直线 l1和 l2的距离之和的最小值等于焦点到 l1的距离 d|41306|42（3）22.答案：28(2018全国卷)已知点 M()1，1和抛物线 C：y24x，过 C 的焦点且斜率为 k 的直线与 C 交于 A，B 两点若AMB90，则 k_【解析】由抛物线的方程 y24x 可知其焦点 F 的坐标为(1，0)，所以直线 AB 的方程为 yk(x1)，由yk（x1），y24x，得 k2x22(k22)xk20，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以 x1x22（k22）k2，x1x21，因为AMB90，所以MA MB(x11，y11)(x21，y21)(
14、x11)(x21)(y11)(y21)(x11)(x21)k(x11)1k(x21)1(1kk2)(x1x2)(1k2)x1x2k22k2(1kk2)2（k22）k2(1k2)k22k20，整理可解得 k2.答案：2四、解答题(每小题 10 分，共 20 分)9(2020全国卷)已知椭圆 C1：x2a2 y2b2 1(ab0)的右焦点 F 与抛物线 C2 的焦点重合，C1 的中心与 C2 的顶点重合过 F 且与 x 轴垂直的直线交 C1 于 A，B 两点，交 C2 于 C，D 两点，且|CD|43|AB|.(1)求 C1 的离心率；(2)设 M 是 C1 与 C2 的公共点，若|MF|5，求
15、C1 与 C2 的标准方程【解析】(1)因为 F 是椭圆 C1 的右焦点，且 ABx 轴，所以 F(c，0)，直线 AB 的方程为 xc，联立xcx2a2y2b21，得y2b2 1c2a2 a2c2a2，又因为 a2b2c2，所以 y2b2a2，解得 yb2a，则|AB|2b2a，因为点 F(c，0)是抛物线 C2 的焦点，所以抛物线 C2 的方程为 y24cx，联立xcy24cx，解得xcy2c，所以|CD|4c，因为|CD|43|AB|，即 4c8b23a，2b23ac，即 2c23ac2a20，即 2e23e20，因为 0e1，解得 e12，因此，椭圆 C1 的离心率为12.(2)由(1
16、)知 a2c，b 3 c，椭圆 C1 的方程为 x24c2 y23c2 1，联立y24cxx24c2 y23c21，消去 y 并整理得 3x216cx12c20，解得 x23 c 或 x6c(舍去)，由抛物线的定义可得|MF|23 cc5c3 5，解得 c3.因此，曲线 C1 的标准方程为x236 y227 1，曲线 C2 的标准方程为 y212x.10已知抛物线 C：y22px(p0)的焦点为 F，P(5，a)为抛物线 C 上一点，且|PF|8.(1)求抛物线 C 的方程(2)过点 F 的直线 l 与抛物线 C 交于 A，B 两点，以线段 AB 为直径的圆过 Q(0，3)，求直线 l 的方程
17、【解析】(1)由抛物线定义，可得 5p2 8，解得 p6，所以抛物线 C 的方程为：y212x.(2)由(1)知，F(3，0)，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线 l 的方程为 xmy3，联立方程y212x，xmy3，消去 x，整理得 y212my360，则 144m21440，且 y1y212m，y1y236.因为以线段 AB 为直径的圆过点 Q(0，3)，所以QA QB 0，即 x1x2(y13)(y23)0，所以 x1x23(y1y2)y1y290，所以(my13)(my23)3(y1y2)y1y290，所以(m21)y1y2(3m3)(y1y2)180，36m23636m23
18、6m180，所以 m12.所以直线 l 的方程为：x12 y3，即 2xy60.【创新迁移】1已知以 F 为焦点的抛物线 y24x 上的两点 A，B 满足AF 3FB，则弦 AB的中点到准线的距离为_【解析】如图，分别过点 A，B 作准线 x1 的垂线，垂足分别为点 E，G，又过点 B 作 BKAE 于点 K 交 x 轴于点 H，由AF 3FB，可设|FB|m，|AF|3m，由抛物线的性质得，|AE|3m，|BG|m，|HF|2m；又由 HFAE 得|HF|AK|BF|BA|14，即 2m3mm 14，m43，所以弦 AB 的中点到准线的距离为 12(|BG|AE|)12|AB|12 4m24
19、3 83.答案：83 2设抛物线 C：y24x，F 为 C 的焦点，过 F 的直线 l 与 C 相交于 A，B 两点(1)设 l 的斜率为 2，求|AB|的值；(2)求证：OA OB 是一个定值【解析】(1)依题意得 F(1，0)，所以直线 l 的方程为 y2(x1).设直线 l 与抛物线的交点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由y2（x1），y24x，消去 y，整理得 x23x10，所以 x1x23，x1x21.方法一：|AB|1k2（x1x2）24x1x2 5 3241 5.方法二：|AB|AF|BF|x1x2p325.(2)由题意知 l 的斜率存在，故设直线 l 的方程为 xky1，直线 l 与抛物线的交点为 A(x1，y1)，B(x2，y2).由xky1，y24x，消去 x，整理得 y24ky40，所以 y1y24k，y1y24.因为OA OB(x1，y1)(x2，y2)x1x2y1y2(ky11)(ky21)y1y2k2y1y2k(y1y2)1y1y24k24k2143，所以OA OB 是一个定值
