1、3.3 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式3.3.2 从函数观点看一元二次不等式第2课时 一元二次不等式的应用第3章 不等式 学 习 任 务核 心 素 养1掌握一元二次不等式的实际应用(重点)2理解三个“二次”之间的关系3会解一元二次不等式中的恒成立问题(难点)1通过分式不等式的解法及不等式的恒成立问题的学习，培养数学运算素养2借助一元二次不等式的应用，培养数学建模素养.情境导学探新知 NO.1汽车在行驶中，由于惯性，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，一般称这段距离为“刹车距离”刹车距离是分析交通事故的一个重要依据在一个限速为 40 km/h 的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现
2、情况不对，同时刹车，但还是相碰了事后现场勘查，测得甲车的刹车距离略超过 6 m，乙车的刹车距离略超过 10 m.已知甲、乙两种车型的刹车距离 s m 与车速 v km/h 之间的关系，试判断甲、乙两车有无超速现象知识点 1 分式不等式的解法主导思想：化分式不等式为整式不等式类型同解不等式axbcxd0(0)(其中 a，b，c，d 为常数)法一：axb00cxd0或axb00cxd0法二：(axb)(cxd)0(0)类型同解不等式axbcxd0(0)法一：axb00cxd0或axb00cxd0法二：axbcxd00cxd0axbcxdk 0 与(x3)(x2)0 等价吗？将x3x20 变形为(x
3、3)(x2)0，有什么好处？提示 等价；好处是将不熟悉的分式不等式化归为已经熟悉的一元二次不等式1.思考辨析(正确的画，错误的画)(1)1x1 的解集为 x2 时可转化 x22(2x1)求解()答案(1)(2)(3)知识点 2 与一元二次不等式相关的恒成立问题(1)不等式的解集为 R(或恒成立)的条件不等式ax2bxc0ax2bxc0b0，c00a00 在区间2,3上恒成立的几何意义是什么？区间2,3与不等式 x10 的解集有什么关系？提示 x10在区间2,3上恒成立的几何意义是函数yx1在区间2,3上的图象恒在 x 轴上方区间2,3内的元素一定是不等式 x10 的解，反之不一定成立，故区间2
4、,3是不等式 x10 的解集的子集k|3k1 当 k1 时，10 恒成立当 k1 时，由题意知k10，k124k10，解得3k1.所以实数 k 的取值范围是k|3k12.若关于 x 的不等式(k1)x2(k1)x10 恒成立，则实数k 的取值范围为_知识点 3 从实际问题中抽象出一元二次不等式模型的步骤(1)阅读理解，认真审题，分析题目中有哪些已知量和未知量，找准不等关系(2)设出起关键作用的未知量，用不等式表示不等关系(或表示成函数关系)(3)解不等式(或求函数最值)(4)回扣实际问题(20,30)设围成的矩形一边的长为 x m，则另一边的长为(50 x)m，且 0 x600，即 x250
5、x6000，解得 20 x30.所以，当矩形一边的长在(20,30)范围内取值时，能围成一个面积大于 600 m2 的矩形 3.用一根长为 100 m 的绳子，围成一个一边长为 x 米，面积大于 600 m2 的矩形，则 x 的取值范围为_合作探究释疑难 NO.2类型1 分式不等式的解法 类型2 一元二次不等式的应用 类型3 不等式恒成立问题 类型 1 分式不等式的解法【例 1】解下列不等式：(1)2x1x3 0；(2)2x13x 1.解(1)不等式2x1x3 0 可转化为(2x1)(x3)0，即12x3.原不等式的解集为x12x3.(2)原不等式可化为2x13x 10 即3x23x 0.不等
6、式等价于3x2x30 x3，解得23x3.原不等式的解集为x23x1.解(1)由 1x3x20 知x13x203x20，解得 x1 或 x23，即原不等式的解集为xx1或x1 可化为2x134x10，即6x44x30，所以(6x4)(4x3)0，23x34，原不等式的解集为x23x34.类型 2 一元二次不等式的应用【例2】国家原计划以2 400元/吨的价格收购某种农产品m吨按规定，农户向国家纳税为：每收入 100 元纳税 8 元(称作税率为 8 个百分点，即 8%)为了减轻农民负担，制定积极的收购政策根据市场规律，税率降低 x 个百分点，收购量能增加 2x 个百分点试确定 x 的范围，使税率
7、调低后，国家此项税收总收入不低于原计划的 78%.思路点拨 将文字语言转换成数学语言：“税率降低 x 个百分点”即调节后税率为(8x)%；“收购量能增加 2x 个百分点”，此时总收购量为 m(12x%)吨，“原计划的 78%”即为 2 400m8%78%.解 设税率调低后“税收总收入”为 y 元y2 400m(12x%)(8x)%1225m(x242x400)(0 x8)依题意，得 y2 400m8%78%，即1225m(x242x400)2 400m8%78%，整理，得 x242x880，解得44x2.根据 x 的实际意义，知 00，方程 R210R160 的两个实数根为 R12，R28.由
8、二次函数 y R210R 16 的图象可得不等式的解集为R|2R8)所以，当 2R8 时，每年在此项经营中所收附加税金额不少于112 万元类型 3 不等式恒成立问题【例 3】若函数 yx2ax3 在 x3，1上恒有 x2ax30 恒成立求 a 的取值范围结合图象说明对 x3，1上恒有 x2ax30 的意义是什么？提示 当 x3，1时函数图象在 x 轴下方解 要使 x2ax30 在3，1上恒成立，则必使函数 yx2ax3 在3，1上的图象在 x 轴的下方，由函数 yx2ax3 的图象可知，此时 a 应满足323a30，12a30，即3a60，a20，解得 a2.故当 a(，2)时，有 x2ax3
9、0 在 x3，1时恒成立若函数 yx22(a2)x4 对任意 a3,1时，y0 恒成立，如何求 x 的取值范围？解 由于本题中已知 a 的取值范围求 x，所以我们可以把函数 yf(x)转化为关于自变量是 a 的函数，求参数 x 的取值问题，则令 yg(a)2xax24x4.要 使 对 任 意a 3,1，y0恒 成 立，只 需 满 足2xx24x40，32xx24x40，即x22x40，x210 x40.因为 x22x40 的解集是空集，所以不存在实数 x，使函数 yx22(a2)x4 对任意 a3,1，y0 的解是全体实数(或恒成立)的条件是：当a0 时，b0，c0；当 a0 时，a0，0.2
10、不等式 ax2bxc0 的解是全体实数(或恒成立)的条件是：当a0 时，b0，c0；当 a0 时，a0，0.3ya 恒成立aM(函数的最大值为 M)，ya 恒成立am(函数的最小值为 m)跟进训练3若不等式(a2)x22(a2)x40 对一切 xR 恒成立求 a的取值范围解 当 a20 即 a2 时，不等式为40，恒成立当 a20 时，则 a 满足a200，解得2a2.综上所述，a 的范围是2a2.当堂达标夯基础 NO.31 2 3 4 5 D 不等式可化为x1x20 x10，解得10 恒成立，需m00，解得 0m4.综上 0m4.故 ABC 正确3(多选题)对于 xR，式子1mx2mx1恒有
11、意义，则常数 m 的值可能为()A0B2C3D41 2 3 4 5 x|2x3 且 x1 不等式可化为(x2)(x3)0 且 x10，解得2x3 且 x1.4不等式x12x3x20 的解集为_5 1 2 3 4 150 y25x0.1x25x3 0000，所以 x250 x30 0000，得 x200(舍去)或 x150，又因为 0 x240，xN，所以 150 x240，xN.5某产品的总成本 y(万元)与产量 x(台)之间的函数关系式是 y3 00020 x0.1x2(0 x0 在集合 A 中恒成立问题？提示 集合 A 是不等式 ax2bxc0 的解集的子集，可以先求解集由子集的含义求解参数的取值(范围)3解一元二次不等式应用题的关键是什么？提示 关键在于构造一元二次不等式模型，列出不等关系点击右图进入 课 后 素 养 落 实 谢谢观看 THANK YOU!
