1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时提升作业(三十二)数 列 求 和(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.数列1+2n-1的前n项和为()A.1+2nB.2+2nC.n+2n-1D.n+2+2n【解析】选C.由题意得an=1+2n-1,所以Sn=n+=n+2n-1,故选C.【加固训练】若数列an的通项公式是an=(-1)n(3n-2),则a1+a2+a10=()A.15B.12C.-12D.-15【解析】选A.因为an=(-1)n(3n-2),所以a1+a2+a10=(-1+4)+(-
2、7+10)+(-25+28)=35=15.2.(2015青岛模拟)数列an的通项公式是an=,若前n项和为10,则项数n为()A.120B.99C.11D.121【解析】选A.an=-,所以a1+a2+an=(-1)+(-)+(-)=-1=10.即=11,所以n+1=121,n=120.3.已知数列an,an=2n+1,则+=()A.1+B.1-2nC.1-D.1+2n【解析】选C.an+1-an=2n+1+1-(2n+1)=2n+1-2n=2n,所以+=+=1-=1-.4.(2015杭州模拟)设函数f(x)=xm+ax的导数f(x)=2x+1,则数列(nN*)的前n项和为()A.B.C.D.
3、【解析】选C.函数f(x)=xm+ax的导数为f(x)=mxm-1+a=2x+1,所以m=2,a=1,所以f(x)=x2+x,f(n)=n2+n,即=-,所以数列的前n项和为+=-+-+-=1-=,故选C.5.数列an的通项公式an=ncos,其前n项和为Sn,则S2016等于()A.2016B.1008C.504D.0【解析】选B.因为an=ncos,所以当n为奇数时,an=0,当n为偶数时,an=其中mN*,所以S2016=a1+a2+a3+a4+a5+a2016=a2+a4+a6+a8+a2016=-2+4-6+8-10+12-14+2016=(-2+4)+(-6+8)+(-10+12)
4、+(-2014+2016)=2504=1008.故选B.【加固训练】(2015合肥模拟)已知数列an满足a1=1,an+1an=2n(nN*),Sn是数列an的前n项和,则S2016=()A.22016-1B.321008-3C.321008-1D.322016-2【解析】选B.依题意得anan+1=2n,an+1an+2=2n+1,于是有=2,即=2,数列a1,a3,a5,a2n-1,是以a1=1为首项、2为公比的等比数列;数列a2,a4,a6,a2n,是以a2=2为首项、2为公比的等比数列,于是有S2016=(a1+a3+a5+a2015)+(a2+a4+a6+a2016)=+=32100
5、8-3,故选B.二、填空题(每小题5分,共15分)6.设f(x)=,利用倒序相加法,可求得:(1)f+f+f的值为.(2)f+f+f=.【解析】当x1+x2=1时,f(x1)+f(x2)=+=1.(1)设S1=f+f+f,倒序相加有2S1=+=10,即S1=5.(2)设S2=f+f+f,倒序相加有2S2=+f+f=2016,所以S2=1008.答案:(1)5(2)10087.(2015郑州模拟)设数列an的通项公式为an=2n-10(nN*),则|a1|+|a2|+|a15|=.【解析】由an=2n-10(nN*)知an是以-8为首项,2为公差的等差数列,又由an=2n-100得n5,所以当n
6、5时,an0,当n5时,an0,所以|a1|+|a2|+|a15|=-(a1+a2+a3+a4) +(a5+a6+a15)=20+110=130.答案:130【加固训练】(2015郑州模拟)若数列an是1,1+,则数列an的前n项和Sn=.【解析】an=1+=2,所以Sn=2=2=2=2=2n-2+.答案:2n-2+8.(2015厦门模拟)设f(x)是定义在R上恒不为零的函数,且对任意的x,yR,都有f(x)f(y)=f(x+y),若a1=,an=f(n)(nN*),则数列an的前n项和Sn的取值范围是.【解析】由已知可得a1=f(1)=,a2=f(2)=2=,a3=f(3)=f(2)f(1)
7、=3=,an=f(n)=n=,所以Sn=+=1-,因为nN*,所以Sn0,4Sn=.(1)求证:数列an是等差数列,并求通项公式.(2)设bn=,Tn=b1+b2+bn,求Tn.【解析】(1)令n=1,4S1=4a1=(a1+1)2,解得a1=1,由4Sn=(an+1)2,得4Sn+1=(an+1+1)2,两式相减得4an+1=-,整理得(an+1+an)(an+1-an-2)=0,因为an0,所以an+1-an=2,则数列an是首项为1,公差为2的等差数列,an=1+2(n-1)=2n-1.(2)由(1)得bn=,Tn=+,Tn=+,-得Tn=+2-=+2-=-,所以Tn=1-.【加固训练】
8、已知数列an是首项为a1=,公比为q=的等比数列,设bn+2=3loan(nN*),数列cn满足cn=anbn.(1)求数列bn的通项公式.(2)求数列cn的前n项和Sn.【解析】(1)由题意,知an=(nN*),又bn=3loan-2,故bn=3n-2(nN*).(2)由(1),知an=,bn=3n-2(nN*),所以cn=(3n-2)(nN*).所以Sn=1+4+7+(3n-5)+(3n-2),于是Sn=1+4+7+(3n-5)+(3n-2).两式相减,得Sn=+3+-(3n-2)=-(3n+2).所以Sn=-(nN*).(20分钟40分)1.(5分)已知an是首项为1的等比数列,若Sn是
9、an的前n项和,且28S3=S6,则数列的前4项和为()A.或4B.或4C.D.【解析】选C.设数列an的公比为q.当q=1时,由a1=1,得28S3=283=84.而S6=6,两者不相等,因此不合题意.当q1时,由28S3=S6及首项为1,得=.解得q=3.所以数列an的通项公式为an=3n-1.所以数列的前4项和为1+=.2.(5分)数列an的通项an=sin,前n项和为Sn,则S2015等于()A.B.0C.1D.-【解析】选B.由an=sin,知数列an是以6为周期的数列,且a1+a2+a6=0,则S2015=(a1+a2+a6)+(a2005+a2010)+a2011+a2015=a
10、1+a2+a5=0.故选B.【加固训练】在数列an中,a1=1,an+1=(-1)n(an+1),记Sn为an的前n项和,则S2015=.【解析】由a1=1,an+1= (-1)n(an+1)可得a1=1,a2=-2,a3=-1,a4=0,该数列是周期为4的数列,a2013=a1=1,a2014=a2=-2,a2015=a3=-1,所以S2015=503(a1+a2+a3+a4)+a2013+a2014+a2015=503(1-2-1+0)+1-2-1=-1008.答案:-1008【方法技巧】数列求和的思路(1)等差数列和等比数列的前n项和公式是求和的基础.一般数列的求和问题往往通过变形整理,
11、转化为这两类特殊数列的和的问题.例如,一类特殊数列的求和通过倒序相加法或错位相减法变形后,就可以转化为这两类数列的求和问题.(2)观察数列的特点是变形的基础.给定的数列有其自身的特点和规律,根据数列的特点和规律选择合适的方法变形是解题的突破口.3.(5分)已知定义在R上的函数f(x)=ax(0a0,c30,c40;当n5时,cn=,而-=0,得1,所以,当n5时,cn0.综上,对任意nN*恒有S4Sn,故k=4.【加固训练】等差数列an的首项a1=3,且公差d0,其前n项和为Sn,且a1,a4,a13分别是等比数列bn的b2,b3,b4项.(1)求数列an与bn的通项公式.(2)证明:+.【解析】(1)设等比数列的公比为q,因为a1,a4,a13分别是等比数列bn的b2,b3,b4,所以(a1+3d)2=a1(a1+12d).又a1=3,所以d2-2d=0,所以d=2或d=0(舍去).所以an=3+2(n-1)=2n+1.等比数列bn的公比为=3,b1=1.所以bn=3n-1.(2)由(1)知Sn=n2+2n.所以=,所以+=-.因为+=,所以-,所以+.关闭Word文档返回原板块
