1、第四章 指数函数与对数函数 4.2 指数函数 第2课时 指数函数的性质的应用 学 习 目 标核 心 素 养 1.掌握指数函数的性质并会应用，能利用指数函数的单调性比较幂的大小及解不等式(重点)2通过本节内容的学习，进一步体会函数图象是研究函数的重要工具，并能运用指数函数研究一些实际问题(难点)借助指数函数的性质及应用，培养逻辑推理和数学运算素养.合 作 探 究 释 疑 难 利用指数函数的单调性比较大小【例 1】比较下列各组数的大小：(1)1.52.5 和 1.53.2；(2)0.61.2 和 0.61.5；(3)1.70.2 和 0.92.1；(4)a1.1 与 a0.3(a0 且 a1)解(
2、1)1.52.5，1.53.2 可看作函数 y1.5x 的两个函数值，由于底数 1.51，所以函数 y1.5x 在 R 上是增函数，因为 2.53.2，所以1.52.51.5，所以 0.61.21.701,0.92.10.92.1.(4)当 a1 时，yax 在 R 上是增函数，故 a1.1a0.3；当 0a1 时，yax 在 R 上是减函数，故 a1.11 和 0a1 两种情况分类讨论.跟进训练1比较下列各值的大小：4313，223，233，3412.解 先根据幂的特征，将这 4 个数分类：(1)负数：233；(2)大于 1 的数：4313，223；(3)大于 0 且小于 1 的数：3412
3、.(2)中，4313213223(也可在同一平面直角坐标系中，分别作出 y43x，y2x 的图象，再分别取 x13，x23，比较对应函数值的大小，如图)，故有23334124313223.利用指数函数的单调性解不等式【例 2】(1)解不等式123x12；(2)已知 ax23x10，a1)，求 x 的取值范围解(1)2121，原不等式可以转化为123x1121.y12x在 R 上是减函数，3x11，x0，故原不等式的解集是x|x0(2)分情况讨论：当 0a0，a1)在 R 上是减函数，x23x1x6，x24x50，根据相应二次函数的图象可得 x5；当 a1 时，函数 f(x)ax(a0，a1)在
4、 R 上是增函数，x23x1x6，x24x50，根据相应二次函数的图象可得1x5.综上所述，当 0a1 时，x5；当 a1 时，1xag(x)(a0，a1)的依据是指数型函数的单调性，要养成判断底数取值范围的习惯，若底数不确定，就需进行分类讨论，即 af(x)ag(x)fxgx，a1，fxgx，0a1a53x(a0 且 a1)，求 x 的取值范围解 因为 ax11a53x，所以 ax1a3x5，当 a1 时，yax 在 R上为增函数，可得 x13x5，所以 x3；当 0a1 时，yax 在 R 上为减函数，可得 x13.综上，当 a1 时，x 的取值范围为(，3)；当 0a0，且 a1)的单调
5、性与 yx2 的单调性存在怎样的关系？提示：分两类：(1)当 a1 时，函数 yax2的单调性与 yx2的单调性一致；(2)当 0a1 时，函数 yax2的单调性与 yx2 的单调性相反【例 3】判断 f(x)13x22x的单调性，并求其值域思路点拨 令ux22x函数ux的单调性 函数y13u的单调性同增异减 解 令 ux22x，则原函数变为 y13u.ux22x(x1)21 在(，1上递减，在1，)上递增，又y13u在(，)上递减，y13x22x在(，1上递增，在1，)上递减 ux22x(x1)211，y13u，u1，)，00，a1)的单调性的处理技巧(1)关于指数型函数 yaf(x)(a0
6、，且 a1)的单调性由两点决定，一是底数是 a1 还是 0a1；二是 f(x)的单调性，它由两个函数 yau，uf(x)复合而成(2)求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成 yf(u)，u(x)，通过 f(u)和(x)的单调性，求出 yf(x)的单调性课 堂 小 结 提 素 养 1掌握 2 种方法比较两个指数式值的大小的主要方法(1)比较形如 am 与 an 的大小，可运用指数函数 yax 的单调性(2)比较形如 am 与 bn 的大小，一般找一个“中间值 c”，若 amc且 cbn，则 amc 且 cbn，则 ambn.2关注 2 类易错点(1)解简单指数不等式问题的注
7、意点形如 axay 的不等式，可借助 yax 的单调性求解如果 a 的值不确定，需分 0a1 两种情况进行讨论形如 axb 的不等式，注意将 b 化为以 a 为底的指数幂的形式，再借助 yax 的单调性求解形如 axbx 的不等式，可借助图象求解(2)函数 yaf(x)的问题的注意点研究 yaf(x)型单调区间时，要注意 a1 还是 0a1 时，yaf(x)与 f(x)单调性相同当 0a1 时，yaf(x)与 f(x)单调性相反研究 yf(ax)型单调区间时，要注意 ax 属于 f(u)的增区间还是减区间1若 2x11，则 x 的取值范围是()A(1,1)B(1，)C(0,1)(1，)D(，1)D 2x1120，且 y2x 是增函数，x10，x0，可得 f(x)1，则 D 错误故选 B.5已知函数 f(x)ax(a0 且 a1)的图象经过点2，19.(1)比较 f(2)与 f(b22)的大小；(2)求函数 g(x)ax22x(x0)的值域解(1)由已知得 a219，解得 a13，因为 f(x)13x在 R 上递减，2b22，所以 f(2)f(b22)(2)因为 x0，所以 x22x1，所以13x22x3，即函数 g(x)ax22x(x0)的值域为(0,3点击右图进入 课 时 分 层 作 业 Thank you for watching!
