1、2.3平面向量的数量积2.3.1向量数量积的物理背景与定义2.3.2向量数量积的运算律学 习 目 标核 心 素 养1理解平面向量数量积的含义及其物理意义(难点)2体会平面向量的数量积与向量射影的关系(重点)3.掌握数量积的运算性质，并会利用其性质解决有关长度、夹角、垂直等问题(重点)1通过向量的夹角、向量数量积概念的学习，培养学生的数学抽象核心素养2通过向量数量积的应用，培养学生的数学运算核心素养.1向量的夹角定义已知两个非零向量a和b，作a，b，则AOB叫做向量a与b的夹角.范围0180特例0a与b同向180a与b反向90a与b垂直，记作ab，规定零向量可与任一向量垂直2.向量的数量积向量在
2、轴上的正射影已知向量a和轴l，如图(1)正射影的概念：作a，过点O，A分别作轴l的垂线，垂足分别为O1，A1，则向量叫做向量a在轴l上的正射影(简称射影)；(2)正射影的数量：该射影在轴l上的坐标，称作a在轴l上的数量或在轴l的方向上的数量.a在轴l上正射影的坐标记作al，向量a的方向与轴l的正向所成的角为，则由三角函数中的余弦定义有al|a|cos .3平面向量数量积的定义|a|b|cosa，b叫做向量a和b的数量积，记作|a|b|cosa，b4数量积的性质(1)若e是单位向量，则eaae|a|cosae思考1：向量的数量积与数乘向量的区别是什么？提示向量的数量积ab是一个实数，不考虑方向；
3、数乘向量a是一个向量，既有大小，又有方向，这是二者的区别(2)若ab，则ab0；反之，若ab0，则ab，通常记作abab0.思考2：ab0与ab0的区别是什么？提示(1)意义和表达方式不同ab表示两个向量的数量积，中间的“”不能省略，也不能写成“”(2)推出的结果不同由ab0可推出以下四种可能a0，b0，a0，b0，a0，b0，a0，b0，但ab.而ab0可推出a与b中至少有一个为0.(3)|a|.(4)cos .(|a|b|0)(5)对任意两个向量a，b，有|ab|a|b|.当且仅当ab 时等号成立1已知|a|3，向量a与b的夹角为，则a在b方向上的投影为()A.B.C. D.D向量a在b方
4、向上的投影为|a|cos 3cos .故选D.2在ABC中，a，b，且ba0，则ABC是()A锐角三角形B钝角三角形C直角三角形D无法确定C在ABC中，因为ba0，所以ba，故ABC为直角三角形3如图，在ABC中，的夹角与，的夹角的关系为_互补根据向量夹角定义可知向量，夹角为BAC，而向量，夹角为BAC，故二者互补与向量数量积有关的概念【例1】(1)以下四种说法中正确的是_(填序号)如果ab0，则a0或b0；如果向量a与b满足ab0，则a与b所成的角为钝角；ABC中，如果0，那么ABC为直角三角形；如果向量a与b是两个单位向量，则a2b2.(2)已知|a|3，|b|5，且ab12，则a在b方向
5、上的正射影的数量为_，b在a方向上的正射影的数量为_(3)已知等腰ABC的底边BC长为4，则_.思路探究根据数量积的定义、性质、运算律及投影的定义解答(1)(2)4(3)8(1)由数量积的定义知ab|a|b|cos (为向量a，b的夹角)若ab0，则90或a0或b0，故错；若ab0，则为钝角或180，故错；由0知B90，故ABC为直角三角形，故正确；由a2|a|21，b2|b|21，故正确(2)设a与b的夹角为，则有ab|a|b|cos 12，所以向量a在向量b方向上的正射影的数量为|a|cos ；向量b在向量a方向上的正射影的数量为|b|cos 4.(3)如图，过点A作ADBC，垂足为D.因
6、为ABAC，所以BDBC2，于是|cosABC|42，所以|cosABC428.1在书写数量积时，a与b之间用实心圆点“”连接，而不能用“”连接，更不能省略不写2求平面向量数量积的方法：(1)若已知向量的模及其夹角，则直接利用公式ab|a|b|cos .(2)若已知一向量的模及另一向量在该向量上的射影，可利用数量积的几何意义求ab.1给出下列判断：若a2b20，则ab0；已知a，b，c是三个非零向量，若ab0，则|ac|bc|；a，b共线ab|a|b|；|a|b|0，则a与b的夹角为锐角；若a，b的夹角为，则|b|cos 表示向量b在向量a方向上的射影长其中正确的是_(填序号)由于a20，b2
7、0，所以，若a2b20，则ab0，故正确；若ab0，则ab，又a，b，c是三个非零向量，所以acbc，所以|ac|bc|，正确；a，b共线ab|a|b|，所以不正确；对于应有|a|b|ab，所以不正确；对于，应该是aaa|a|2a，所以不正确；a2b22|a|b|2ab，故正确；当a与b的夹角为0时，也有ab0，因此错；|b|cos 表示向量b在向量a方向上的正射影的数量，而射投影长，故错综上可知正确数量积的基本运算【例2】已知|a|4，|b|5，当(1)ab；(2)ab；(3)a与b的夹角为135时，分别求a与b的数量积思路探究(1)当ab时，a与b夹角可能为0或180.(2)当ab时，a与
8、b夹角为90.(3)若a与b夹角及模已知时可利用ab|a|b|cos (为a，b夹角)求值解设向量a与b的夹角为，(1)ab时，有两种情况：若a和b同向，则0，ab|a|b|，cos 020；若a与b反向，则180，ab|a|b|cos 18020.(2)当ab时，90，ab0.(3)当a与b夹角为135时，ab|a|b|cos 13510.1求平面向量数量积的步骤是：求a与b的夹角，0，；分别求|a|和|b|；求数量积，即ab|a|b|cos .2非零向量a与b共线的条件是ab|a|b|.2已知正三角形ABC的边长为1，求：(1)；(2)；(3).解(1)与的夹角为60，|cos 6011.
9、(2)与的夹角为120，|cos 12011.(3)与的夹角为60，|cos 6011.与向量模有关的问题【例3】已知x1是方程x2|a|xab0的根，且a24，a与b的夹角为120.求向量b的模解因为a24，所以|a|24，即|a|2，将x1代入原方程可得121ab0，所以ab3，所以ab|a|b|cos a，b2|b|cos 1203，所以|b|3.1(变结论)本例题设条件不变，求b在a方向上的射影的数量解由例题解析可知|b|3.因为|b|cos a，b3cos 120.所以b在a方向上的射影的数量为.2(变条件)将本例中“a与b的夹角为120”改为“|ab|3”如何求a与b的夹角？解易求
10、|a|2，|b|3.因为ab|a|b|cos ，所以|ab|a|b|cos |3，所以|cos |，故cos .又因为0，所以或.1此类求模问题一般转化为求模平方，与数量积联系2利用aaa2|a|2或|a|，可以实现实数运算与向量运算的相互转化平面向量数量积的性质探究问题1设a与b都是非零向量，若ab，则ab等于多少？反之成立吗？提示abab0.2当a与b同向时，ab等于什么？当a与b反向时，ab等于什么？特别地，aa等于什么？提示当a与b同向时，ab|a|b|；当a与b反向时，ab|a|b|；aaa2|a|2或|a|.3|ab|与|a|b|的大小关系如何？为什么？对于向量a，b，如何求它们的
11、夹角？提示|ab|a|b|，设a与b的夹角为，则ab|a|b|cos .两边取绝对值得：|ab|a|b|cos |a|b|.当且仅当|cos |1，即cos 1，0或时，取“”，所以|ab|a|b|，cos .【例4】已知|a|3，|b|2，向量a，b的夹角为60，c3a5b，dma3b，求当m为何值时，c与d垂直？思路探究由条件计算ab，当cd时，cd0列方程求解m.解由已知得ab32cos 603.由cd，知cd0，即cd(3a5b)(ma3b)3ma2(5m9)ab15b227m3(5m9)6042m870，m，即m时，c与d垂直1已知非零向量a，b，若ab，则ab0，反之也成立2设a与
12、b夹角为，利用公式cos 可求夹角，求解时注意向量夹角的取值范围0，4若非零向量a，b满足|a|3|b|a2b|，则a与b夹角的余弦值为_设a与b夹角为，因为|a|3|b|，所以|a|29|b|2，又|a|a2b|，所以|a|2|a|24|b|24ab|a|24|b|24|a|b|cos 13|b|212|b|2cos ，即9|b|213|b|212|b|2cos ，故有cos .(教师用书独具)1对正射影的三点诠释(1)ab等于|a|与b在a方向上的正射影的乘积，也等于|b|与a在b方向上的正射影的乘积其中a在b方向上的投影与b在a方向上的正投影是不同的(2)b在a方向上的正射影为|b|co
13、s (是a与b的夹角)，也可以写成.(3)正射影是一个数量，不是向量，其值可为正，可为负，也可为零2向量的数量积与实数乘积运算性质的比较实数a，b，c向量a，b，ca0，ab0b0a0，ab0/ b0abbc(b0)acabbc(b0)/ ac|ab|a|b|ab|a|b|满足乘法结合律不满足乘法结合律1已知点A，B，C满足|3，|4，|5，则的值是()A25B25C24D24A因为|2|291625|2，所以ABC90，所以原式()0225.2(2019全国卷)已知非零向量a，b满足|a|2|b|，且(ab)b，则a与b的夹角为()A. B. C. D.B设a与b的夹角为，(ab)b，(ab)b0，abb2，|a|b|cos |b|2，又|a|2|b|，cos ，0，.故选B.3已知|a|4，e为单位向量，a在e方向上的正射影的数量为2，则a与e的夹角为_120因为a在e方向上的射影为2，即|a|cosa，e2，所以cosa，e，又a，e0，所以a，e120.4已知ab20，|a|5，求b在a方向上的正射影的数量解设a，b的夹角为，则b在a方向上的正射影的数量就是|b|cos ，因为|a|b|cos ab20，所以|b|cos 4，即b在a方向上的正射影的数量是4.
