1、高考资源网（） 您身边的高考专家2.2.2直线方程的几种形式学 习 目 标核 心 素 养1会求直线的点斜式，斜截式，两点式和一般式的方程(重点)2掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种基本形式及它们之间的关系(重点)3灵活选用恰当的方式求直线方程(难点)1通过直线方程的几种形式的学习，培养数学抽象的核心素养2通过直线方程的几种形式适用范围的学习，提升逻辑推理、数学运算的核心素养.直线方程的几种形式形式条件方程应用范围点斜式直线l上一点P(x0，y0)及斜率kyy0k(xx0)直线l的斜率k存在斜截式直线l的斜率k及在y轴上的截距bykxb两点式直线l上两点A(x1，y1)，B(x2，y
2、2)(x1x2，y1y2)直线l不与坐标轴平行或重合截距式直线l在x轴，y轴上的截距分别为a和b1直线l不与坐标轴平行或重合，且不过原点一般式二元一次方程系数A、B、C的值AxByC0(A2B20)平面内任何一条直线思考：直线的点斜式、斜截式、两点式，截距式方程均能化为一般式方程吗？提示是1一条直线不与坐标轴平行或重合，则它的方程()A可以写成两点式或截距式B可以写成两点式或斜截式或点斜式C可以写成点斜式或截距式D可以写成两点式或截距式或斜截式或点斜式B由于直线不与坐标轴平行或重合，所以直线的斜率存在，且直线上任意两点的横坐标及纵坐标都不相同，所以直线能写成两点式或斜截式或点斜式由于直线在坐标
3、轴上的截距有可能为0，所以直线不一定能写成截距式，故选B.2已知直线的方程是y2x1，则()A直线经过点(1,2)，斜率为1B直线经过点(2，1)，斜率为1C直线经过点(1，2)，斜率为1D直线经过点(2，1)，斜率为1C方程变形为y2(x1)，直线过点(1，2)，斜率为1.3过点A(3,2)，B(4,3)的直线方程是()Axy10Bxy10Cxy10Dxy10D由直线的两点式方程，得，化简得xy10.4若方程AxByC0表示直线，则A、B应满足的条件为_A2B20由二元一次方程表示直线的条件知A、B至少有一个不为零即A2B20.求直线的点斜式方程【例1】求满足下列条件的直线的点斜式方程(1)
4、过点P(4,3)，斜率k3；(2)过点P(3，4)，且与x轴平行；(3)过P(2,3)，Q(5，4)两点解(1)直线过点P(4,3)，斜率k3，由直线方程的点斜式得直线方程为y33(x4)(2)与x轴平行的直线，其斜率k0，由直线方程的点斜式可得直线方程为y(4)0(x3)，即y40.(3)过点P(2,3)，Q(5，4)的直线的斜率kPQ1.又直线过点P(2,3)，直线的点斜式方程为y3(x2)求直线的点斜式方程的方法步骤1求直线的点斜式方程的步骤：定点(x0，y0)定斜率k写出方程yy0k(xx0)2点斜式方程yy0k(xx0)可表示过点P(x0，y0)的所有直线，但xx0除外1(1)一条直
5、线经过点(2,5)，倾斜角为45，则这条直线的点斜式方程为_(2)经过点(5,2)且平行于y轴的直线方程为_(3)经过点(2，3)，倾斜角是直线yx倾斜角的2倍的直线的点斜式方程是_(1)y5x2(2)x5(3)y3(x2)(1)因为倾斜角为45，所以斜率ktan 451，所以直线的方程为y5x2.(2)因为直线平行于y轴，所以直线不存在斜率，所以方程为x5.(3)因为直线yx的斜率为，所以倾斜角为30.所以所求直线的倾斜角为60，其斜率为.所以所求直线方程为y3(x2)求直线的斜截式方程【例2】根据条件写出下列直线的斜截式方程(1)斜率为2，在y轴上的截距是5；(2)倾斜角为150，在y轴上
6、的截距是2.思路探究解(1)由直线方程的斜截式可知，所求直线的斜截式方程为y2x5.(2)倾斜角为150，斜率ktan 150.由斜截式可得方程为yx2.1用斜截式求直线方程，只要确定直线的斜率和截距即可，要特别注意截距和距离的区别2直线的斜截式方程ykxb不仅形式简单，而且特点明显，k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距，只要确定了k和b的值，直线的图象就一目了然因此，在解决直线的图象问题时，常通过把直线方程化为斜截式方程，利用k，b的几何意义进行判断2(1)写出直线斜率为1，在y轴上截距为2的直线的斜截式方程；(2)求过点A(6，4)，斜率为的直线的斜截式方程；(3)已知直线l的方程为2x
7、y10，求直线的斜率，在y轴上的截距以及与y轴交点的坐标解(1)易知k1，b2，故直线的斜截式方程为yx2.(2)由于直线的斜率k，且过点A(6，4)，根据直线的点斜式方程得直线方程为y4(x6)，化成斜截式为yx4.(3)直线方程2xy10可化为y2x1，由直线的斜截式方程知：直线的斜率k2，在y轴上的截距b1，直线与y轴交点的坐标为(0,1)直线的两点式方程【例3】在ABC中，A(3,2)，B(5，4)，C(0，2)，(1)求BC所在直线的方程；(2)求BC边上的中线所在直线的方程思路探究(1)由两点式直接求BC所在直线的方程；(2)先求出BC的中点，再由两点式求直线方程解(1)BC边过两
8、点B(5，4)，C(0，2)，由两点式得，即2x5y100.故BC所在直线的方程为2x5y100.(2)设BC的中点为M(x0，y0)，则x0，y03.M，又BC边上的中线经过点A(3,2)由两点式得，即10x11y80.故BC边上的中线所在直线的方程为10x11y80.1由两点式求直线方程的步骤(1)设出直线所经过点的坐标(2)根据题中的条件，找到有关方程，解出点的坐标(3)由直线的两点式方程写出直线的方程2求直线的两点式方程的策略以及注意点当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不平行于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程3求过定点P(2,
9、3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程解设直线的两截距都是a，则有当a0时，直线为ykx，将P(2,3)代入得k，l：3x2y0；当a0时，直线设为1，即xya，把P(2,3)代入得a5，l：xy5.直线l的方程为3x2y0或xy50.直线的一般式方程探究问题1平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示吗？为什么？提示都可以，原因如下：(1)直线和y轴相交于点(0，b)时：此时倾斜角，直线的斜率k存在直线可表示成ykxb，可转化为kx(1)yb0，这是关于x，y的二元一次方程(2)直线和y轴平行(包含重合)时：此时倾斜角a，直线的斜率k不存在，不能用ykxb表示，
10、而只能表示成xa0，它可以认为是关于x，y的二元一次方程，此时方程中y的系数为0.2每一个关于x，y的二元一次方程AxByC0(A，B不同时为零)都能表示一条直线吗？为什么？提示能表示一条直线，原因如下：当B0时，方程AxByC0可变形为yx，它表示过点，斜率为的直线当B0时，方程AxByC0变成AxC0.即x，它表示与y轴平行或重合的一条直线【例4】设直线l的方程为(a1)xy2a0(aR)若直线l不过第三象限，则a的取值范围为_思路探究含有参数的一般式直线方程问题化为直线方程的相应形式，根据实际情况求解1，)把直线l化成斜截式，得y(1a)xa2，因为直线l不过第三象限，故该直线的斜率小于
11、等于零，且直线在y轴上的截距大于等于零即解得a1.所以a的取值范围为1，)1例题中若将方程改为“x(a1)y2a0(aR)”，其他条件不变，又如何求解？1，)(1)当a10，即a1时，直线为x3，该直线不过第三象限，符合(2)当a10，即a1时，直线化为斜截式方程为yx，因为直线l不过第三象限，故该直线的斜率小于等于零，且直线在y轴上的截距大于等于零即解得a1.由(1)(2)可知a1.2若例题中的方程不变，当a取何值时，直线不过第二象限？(，2把直线l化成斜截式，得y(1a)xa2，因为直线l不过第二象限，故该直线的斜率大于等于零，且直线在y轴上的截距小于等于零即解得a2.所以a的取值范围为(
12、，2直线恒过定点的求解策略1将方程化为点斜式，求得定点的坐标2将方程变形，把x，y作为参数的系数，因为此式子对任意的参数的值都成立，故需系数为零，解方程组可得x，y的值，即为直线过的定点1本节课的重点是了解直线方程的五种形式，难点是根据条件求直线的方程并能在几种形式间相互转化2本节课要重点掌握的规律方法(1)求点斜式方程与斜截式方程的方法(2)求截距式方程与两点式方程的方法(3)求一般式方程的方法3本节课的易错点是利用斜截式方程求参数时漏掉斜率不存在的情况1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)直线y3m(x1)恒过定点(1,3)()(2)直线y2x3在y轴上的截距为3.()(3)斜率不存在
13、的直线能用两点式方程表示()(4)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(yy1)(x2x1)(xx1)(y2y1)表示()答案(1)(2)(3)(4)提示(1)由点斜式方程的形式知正确(2)由斜截式方程的形式知正确(3)两点式方程不能表示与坐标轴平行或重合的直线，错误(4)正确2直线3x2y4的截距式方程是()A1B4C1D1D求直线方程的截距式，必须把方程化为1的形式，即右边为1，左边是和的形式3(1)若直线l经过点A(2，1)，B(2,7)，则直线l的方程为_；(2)若点P(3，m)在过点A(2，1)，B(3,4)的直线上，则m_.(1)x2(2)2(1)由于点A与点B的横坐标相等，所以直线l没有两点式方程，所求的直线方程为x2.(2)由两点式方程得，过A，B两点的直线方程为，即xy10.又点P(3，m)在直线AB上，所以3m10，得m2.4设直线l的方程为2x(k3)y2k60(k3)，根据下列条件分别确定k的值：(1)直线l的斜率为1.(2)直线l在x轴，y轴上的截距之和等于0.解(1)因为直线l的斜率存在，所以直线l的方程可化为yx2.由题意得1，解得k5.(2)直线l的方程可化为1.由题意得k320，解得k1.- 10 - 版权所有高考资源网
