1、第4讲 数列的通项的求法 知 识 梳理 数列通项的常用方法： 利用观察法求数列的通项.利用公式法求数列的通项：；等差、等比数列公式. 应用迭加（迭乘、迭代）法求数列的通项：；构造等差、等比数列求通项： ；. 重 难 点 突 破 1.重点：掌握由常见数列递推关系式求通项公式的方法.2.难点：由数列递推关系式的特点，选择合适的方法. 热 点 考 点 题 型 探 析考点 求数列的通项公式题型1 利用公式法求通项【例1】已知为数列的前项和，求下列数列的通项公式： ； .【解题思路】已知关系式，可利用，这是求数列通项的一个重要公式.【解析】当时，当时，.而时，.当时，当时，.而时，.【名师指引】任何一个
2、数列，它的前项和与通项都存在关系：若适合，则把它们统一起来，否则就用分段函数表示.题型2 应用迭加（迭乘、迭代）法求通项【例2】已知数列中，求数列的通项公式；已知为数列的前项和，求数列的通项公式.【解题思路】已知关系式，可利用迭加法或迭代法；已知关系式，可利用迭乘法.【解析】方法1：（迭加法）， 方法2：（迭代法），.，当时，.【名师指引】迭加法适用于求递推关系形如“”； 迭乘法适用于求递推关系形如“；迭加法、迭乘法公式： .题型3 构造等比数列求通项【例3】已知数列中，求数列的通项公式.【解题思路】递推关系形如“”是一种常见题型，适当变形转化为等比数列.【解析】，是以为公比的等比数列，其首项
3、为【名师指引】递推关系形如“” 适用于待定系数法或特征根法：令； 在中令，；由得，.【例4】已知数列中，求数列的通项公式.【解题思路】递推关系形如“” 适当变形转化为可求和的数列.【解析】方法1：，令则 ， 方法2：，令则 ，转化为“ （解法略）【名师指引】递推关系形如“”通过适当变形可转化为：“”或“求解.【例5】已知数列中，求数列的通项公式.【解题思路】递推关系形如“”可用待定系数法或特征根法求解.【解析】令由或，数列是等比数列， .【名师指引】递推关系形如“”，通过适当变形转化为可求和的数列.【新题导练】1.已知为数列的前项和， ，求数列的通项公式.【解析】当时，当时，.是以为公比的等比
4、数列，其首项为，2.已知数列中，求数列的通项公式.【解析】由得，.3.已知数列中，求数列的通项公式；已知数列中，求数列的通项公式.【解析】，；令，得， 4.已知数列中，求数列的通项公式.【解析】，令数列是等差数列，.5.（2008全国卷理节选）设数列的前项和为，已知，设，求数列的通项公式【解析】依题意，即，由此得， 6.(2008广东文节选) 已知数列中，求数列的通项公式.【解析】由 得又，所以数列是以1为首项，公比为的等比数列， 抢 分 频 道 基础巩固训练1.若数列的前项和（，且），则此数列是( )等差数列 等比数列 等差数列或等比数列 既不是等差数列，也不是等比数列【解析】C. ，当时，是等差数列；且时，是等比数列选C.2.数列中，则数列的通项( ) 【解析】 ,使用迭乘法，得3.数列中，,且，则( ) 【解析】 由，得，4.设是首项为1的正项数列，且，则数列的通项 . 【解析】 5.数列中，则的通项 .【解析】 由，得6.数列中，则的通项 .【解析】 由，得，综合拔高训练7.数列中，求数列的通项公式.【解析】，.数列是以2为公比的等比数列，其首项为8.已知数列中，求数列的通项公式.【解析】，.数列是以3为公比的等比数列，其首项为，.令，则 ， ，.
