1、2003年普通高等学校春季招生考试数学(文史类)(北京卷)本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分。第卷1至2页。第卷3至9页。共150分。考试时间120分钟。第卷(选择题 共60分)注意事项:1答第卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。2每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,不能答在试题卷上。3考试结束,监考人将本试卷和答题卡一并收回。参考公式:三角函数的积化和差公式 正棱台、圆台的侧面积公式其中c,c分别表示上、下底面周长,l表示斜高或母线长球体的体积公式其中R表示球的半径一、选择题:本大题共
2、12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。(1)设a,b,c R,且ab,cd,则下列结论中正确的是(A)a+cb+d(B)a-cb-d(C)acbd(D) (2)设M和m分别表示函数 的最大值和最小值,则M+m等于(A) (B) (C) (D)-2(3)若 ,则方程f(4x)=x的根是(A)-2(B)2(C) (D) (4)若集合 , ,则MP=(A)y|y1(B)y|y1(C)y|y0(D)y|y0(5)若A、B、C是ABC的三个内角,且ABC( ),则下列结论中正确的是(A)tgAtgC(B)ctgActgC(C)sinAsinC(D)cosAb
3、0)的曲线大致是(10)某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单,开演前又增加了两个新节目。如果将这两个新节目插入原节目单中,且两个新节目不相邻,那么不同插法的种数为(A)6(B)12(C)15(D)30(11)如图,在正三角形ABC中,D,E,F分别为各边的中点,G,H,I,J分别为AF,AD,BE,DE的中点。将ABC沿DE,EF,DF折成三棱锥以后,GH与IJ所成角的度数为(A)90(B)60(C)45(D)0(12)已知直线ax+by+c=0(abc0)与圆 相切,则三条边长分别为|a|,|b|,|c|的三角形(A)是锐角三角形(B)是直角三角形(C)是钝角三角形(D)不存在 2003
4、年普通高等学校春季招生考试 数学(文史类)(北京卷) 第卷(非选择题共90分)注意事项:1第卷共7页,用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中。2答卷前将密封线内的项目填写清楚。 二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分。把答案填在题中横线上。 (13)函数y=sin2x+1的最小正周期为_。 (14)如图,一个底面半径为R的圆柱形量杯中装有适量的水。若放入一个半径为r的实心铁球,水面高度恰好升高r,则 。 (15)在某报自测健康状况的报道中,自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表。观察表中数据的特点,用适当的数填入表中空白( )内。 年龄(岁) 30 35 40 45 50 55 60 65
5、收缩压(水银柱毫米) 110 115 120 125 130 135 ( )145 舒张压(水银柱毫米) 70 73 75 78 80 83 ( ) 88 (16)如图, , 分别为椭圆 的左、右焦点,点P在椭圆上, 是面积为 的正三角形,则 的值是_。 三、解答题:本大题共6小题,共74分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 (17)(本小题满分12分) 解不等式: 。 (18)(本小题满分12分) 已知函数 ,求f(x)的定义域,判断它的奇偶性,并求其值域。(19)(本小题满分12分) 如图, 是正四棱柱,侧棱长为1,底面边长为2,E是棱BC的中点。 ()求三棱锥 的体积; ()证明
6、 ; ()求面 与面CDE所成二面角的正切值。(20)(本小题满分12分) 设A(-c,0),B(c,0)(c0) 为两定点,动点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值a(a0),求P点的轨迹。 (21)(本小题满分13分) 某租赁公司拥有汽车100辆。当每辆车的月租金为3000元时,可全部租出。当每辆车的月租金每增加50元时,未租出的车将会增加一辆,租出的车每辆车每月需要维护费200元。()当每辆车的月租金定为3600元时,能租出多少辆车? ()当每辆车的月租金定为多少元时,租赁公司的月收益最大?最大月收益是多少元? (22)(本小题满分12分) 如图,在边长为l的等边ABC中,圆 为ABC
7、的内切圆,圆 与圆 外切,且与AB,BC相切,圆 与圆 外切,且与AB,BC相切,如此无限继续下去,记圆 的面积为 (nN)。 ()证明 是等比数列; ()求 的值。 2003年普通高等学校春季招生考试 数学(文史类)(北京卷) 数学试题第I卷数学试题第II卷数学试题答案数学试题(文史类)(北京卷)参考解答 一、选择题:本题主要是考查基本知识和基本运算。每小题5分,满分60分。 (1)A (2)D (3)D (4)C (5)C (6)A (7)B (8)C (9)A (10)D (11)B (12)B 二、填空题:本题主要考查基本知识和基本运算。每小题4分,满分16分。 (13) (14) (
8、15) 年龄(岁) 30 35 40 45 50 55 60 65 收缩压(水银柱毫米) 110 115 120 125 130 135 (140)145 舒张压(水银柱毫米) 70 73 75 78 80 83 (85) 88 (16) 三、解答题:本大题共6小题,共74分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。(17)本小题主要考查不等式的解法、对数函数的性质等基本知识,考查运算能力和逻辑思维能力。满分12分。 解:原不等式 所以原不等式的解集是x|x3。 (18)本小题主要是考查三角函数的基本知识,考查逻辑思维能力、分析和解决问题的能力。满分12分。 解:由cos2x0得 ,解得 ,k
9、Z。 所以f(x)的定义域为 。 因为f(x)的定义域关于原点对称,且 , 所以f(x)是偶函数。 又当 (kZ)时, , 所以f(x )的值域为 。 (19)本小题主要考查正四棱柱的基本知识,考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力。满分12分。 ()解: 。 ()证明:记 与 的交点为O,连结OE。 O是 的中点,E是BC的中点, 。 , , 。 ()解:过C作CHDE于H,连结 。 在正四棱柱 中, , , 是面 与面CDE所成二面角的平面角。 DC=2, ,CE=1, , 。 即面 与面CDE所成二面角的正切值为 。 (20)本小题主要考查直线、圆、曲线和方程等基本知识,考查运用解析几
10、何的方法解决问题的能力。满分12分。 解:设动点P的坐标为(x,y)。 由 (a0),得 。 化简得 。当a1时,得 , 整理得 。 当a=1时,化简得x=0。 所以当a1时,P点的轨迹是以 为圆心, 为半径的圆; 当a=1时,P点的轨迹为y轴。 (21)本小题主要考查二次函数的基本知识,考查分析和解决问题的能力。满分13分。 解:()当每辆车的月租金定为3600元时,未租出的车辆数为 , 所以这时租出了88辆车。 ()设每辆车的月租金定为x元,则租赁公司的月收益为 , 整理得 。 所以,当x=4100时,f(x)最大,最大值为f(4100)=304200, 即当每辆车的月租金定为4100元时,租赁公司的月收益最大,最大月收益为304200元。 (22)本小题主要考查数列、数列极限、三角函数等基本知识,考查逻辑思维能力。满分13分。 ()证明:记 为圆 的半径,则 , 。 所以 (n2), 于是 , , 故 成等比数列。 ()解:因为 (nN), 所以 。