1、2003年普通高等学校春季招生考试数学（文史类）（北京卷）本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。第卷1至2页。第卷3至9页。共150分。考试时间120分钟。第卷（选择题 共60分）注意事项：1答第卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。2每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上。3考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回。参考公式：三角函数的积化和差公式 正棱台、圆台的侧面积公式其中c，c分别表示上、下底面周长，l表示斜高或母线长球体的体积公式其中R表示球的半径一、选择题：本大题共
2、12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）设a，b，c R，且ab,cd，则下列结论中正确的是（A）a+cb+d（B）a-cb-d（C）acbd（D） （2）设M和m分别表示函数 的最大值和最小值，则M+m等于（A） （B） （C） （D）-2（3）若 ，则方程f(4x)=x的根是（A）-2（B）2（C） （D） （4）若集合 ， ，则MP=（A）y|y1（B）y|y1（C）y|y0（D）y|y0（5）若A、B、C是ABC的三个内角，且ABC（ ），则下列结论中正确的是（A）tgAtgC（B）ctgActgC（C）sinAsinC（D）cosAb
3、0）的曲线大致是（10）某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目。如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为（A）6（B）12（C）15（D）30（11）如图，在正三角形ABC中，D，E，F分别为各边的中点，G，H，I，J分别为AF，AD，BE，DE的中点。将ABC沿DE，EF，DF折成三棱锥以后，GH与IJ所成角的度数为（A）90（B）60（C）45（D）0（12）已知直线ax+by+c=0(abc0)与圆 相切，则三条边长分别为|a|,|b|,|c|的三角形（A）是锐角三角形（B）是直角三角形（C）是钝角三角形（D）不存在 2003
4、年普通高等学校春季招生考试 数学（文史类）（北京卷） 第卷（非选择题共90分）注意事项：1第卷共7页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中。2答卷前将密封线内的项目填写清楚。 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在题中横线上。 （13）函数y=sin2x+1的最小正周期为_。 （14）如图，一个底面半径为R的圆柱形量杯中装有适量的水。若放入一个半径为r的实心铁球，水面高度恰好升高r，则 。 （15）在某报自测健康状况的报道中，自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表。观察表中数据的特点，用适当的数填入表中空白（ ）内。 年龄（岁） 30 35 40 45 50 55 60 65
5、收缩压（水银柱毫米） 110 115 120 125 130 135 （ ）145 舒张压（水银柱毫米） 70 73 75 78 80 83 （ ） 88 （16）如图， ， 分别为椭圆 的左、右焦点，点P在椭圆上， 是面积为 的正三角形，则 的值是_。 三、解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （17）（本小题满分12分） 解不等式： 。 （18）（本小题满分12分） 已知函数 ，求f(x)的定义域，判断它的奇偶性，并求其值域。（19）（本小题满分12分） 如图， 是正四棱柱，侧棱长为1，底面边长为2，E是棱BC的中点。 （）求三棱锥 的体积； （）证明
6、 ； （）求面 与面CDE所成二面角的正切值。（20）（本小题满分12分） 设A(-c,0)，B(c,0)(c0) 为两定点，动点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值a(a0)，求P点的轨迹。 （21）（本小题满分13分） 某租赁公司拥有汽车100辆。当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出。当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆，租出的车每辆车每月需要维护费200元。（）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？ （）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少元？ （22）（本小题满分12分） 如图，在边长为l的等边ABC中，圆 为ABC
7、的内切圆，圆 与圆 外切，且与AB，BC相切，圆 与圆 外切，且与AB，BC相切，如此无限继续下去，记圆 的面积为 （nN）。 （）证明 是等比数列； （）求 的值。 2003年普通高等学校春季招生考试 数学（文史类）（北京卷） 数学试题第I卷数学试题第II卷数学试题答案数学试题（文史类）（北京卷）参考解答 一、选择题：本题主要是考查基本知识和基本运算。每小题5分，满分60分。 （1）A （2）D （3）D （4）C （5）C （6）A （7）B （8）C （9）A （10）D （11）B （12）B 二、填空题：本题主要考查基本知识和基本运算。每小题4分，满分16分。 （13） （14） （
8、15） 年龄（岁） 30 35 40 45 50 55 60 65 收缩压（水银柱毫米） 110 115 120 125 130 135 （140）145 舒张压（水银柱毫米） 70 73 75 78 80 83 （85） 88 （16） 三、解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（17）本小题主要考查不等式的解法、对数函数的性质等基本知识，考查运算能力和逻辑思维能力。满分12分。 解：原不等式 所以原不等式的解集是x|x3。 （18）本小题主要是考查三角函数的基本知识，考查逻辑思维能力、分析和解决问题的能力。满分12分。 解：由cos2x0得 ，解得 ，k
9、Z。 所以f(x)的定义域为 。 因为f(x)的定义域关于原点对称，且 ， 所以f(x)是偶函数。 又当 （kZ）时， ， 所以f(x )的值域为 。 （19）本小题主要考查正四棱柱的基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力。满分12分。 （）解： 。 （）证明：记 与 的交点为O，连结OE。 O是 的中点，E是BC的中点， 。 ， ， 。 （）解：过C作CHDE于H，连结 。 在正四棱柱 中， ， ， 是面 与面CDE所成二面角的平面角。 DC=2， ，CE=1， ， 。 即面 与面CDE所成二面角的正切值为 。 （20）本小题主要考查直线、圆、曲线和方程等基本知识，考查运用解析几
10、何的方法解决问题的能力。满分12分。 解：设动点P的坐标为（x，y）。 由 （a0），得 。 化简得 。当a1时，得 ， 整理得 。 当a=1时，化简得x=0。 所以当a1时，P点的轨迹是以 为圆心， 为半径的圆； 当a=1时，P点的轨迹为y轴。 （21）本小题主要考查二次函数的基本知识，考查分析和解决问题的能力。满分13分。 解：（）当每辆车的月租金定为3600元时，未租出的车辆数为 ， 所以这时租出了88辆车。 （）设每辆车的月租金定为x元，则租赁公司的月收益为 ， 整理得 。 所以，当x=4100时，f(x)最大，最大值为f(4100)=304200， 即当每辆车的月租金定为4100元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益为304200元。 （22）本小题主要考查数列、数列极限、三角函数等基本知识，考查逻辑思维能力。满分13分。 （）证明：记 为圆 的半径，则 ， 。 所以 （n2）， 于是 ， ， 故 成等比数列。 （）解：因为 （nN）, 所以 。