1、广东省惠州市2020届高三数学6月模拟考试试题 文全卷满分150分，时间120分钟注意事项：1答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上。2作答选择题时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效。3非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。1设集合，集合，则（ ）A BCD2已知为虚数单位，下列各式的运算结果为纯虚数的是（ ）A
2、B C D3已知，则是的（ ）条件。A充分而不必要 B必要而不充分 C充要 D既不充分也不必要4已知数据的方差为4，若，则新数据的方差为（ ）A. B. C. D. 5函数的图象大致形状是（ ） A B C D6我国古代木匠精于钻研，技艺精湛，常常设计出巧夺天工的建筑在一座宫殿中，有一件特别的“柱脚”的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A B C D7在中，角的对边分别为，若，且满足，则的值为（ ）A. 2 B. 3 C. D.8已知函数，则满足的取值范围是（ ）A. B. C. D. 9已知是抛物线的焦点，过焦点的直线交抛物线的准线于点，点在抛物线上，且，则直线的斜率为（ ）A B
3、C D10空间中，m,n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）A. 若，则 B. 若，则C. 若，则 D. 若，则11函数的最小正周期为，若其图象向右平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数的图象（ ）A. 关于点对称 B. 在上单调递增C. 关于直线对称 D. 在处取最大值12已知函数，若关于的方程恰好有四个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（ ）AB C D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13设直线是曲线的一条切线，则实数m的值是_14已知向量，若向量与垂直，则=_频率/组距x0.150.05学习时长(h)5139711O152020年初，一场突如其来
4、的“新型冠状肺炎”使得全国学生无法在春季正常返校开学，不得不在家“停课不停学”。为了解高三学生每天居家学习时长，从某校的调查问卷中，随机抽取个学生的调查问卷进行分析，得到学生学习时长的频率分布直方图（如右图所示）。已知学习时长在的学生人数为25，则的值为_16已知椭圆的左、右焦点分别为，为椭圆上的动点，若动点满足且，则点到双曲线一条渐近线距离的最大值为_三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17（本小题满分12分）设等差数列的前项和为，（1）求数列的通项公式；（2
5、）若，求数列前项和参考公式：18（本小题满分12分）ABCDEF已知几何体中，面，（1）求证：平面平面；（2）求点到平面的距离19（本小题满分12分）惠州市某学校高三年级模拟考试的数学试题是全国I卷的题型结构，其中第22、23题为选做题，考生只需从中任选一题作答。已知文科数学和理科数学的选做题题目无任何差异，该校参加模拟考试学生共1050人，其中文科学生150人，理科学生900人。在测试结束后，数学老师对该学校全体高三学生选做的22题和23题得分情况进行了统计，22题统计结果如下表1，23题统计结果如下表2。22题得分035810理科人数507080100500文科人数5201057023题得
6、分035810理科人数1010152540文科人数552505表1 表2（1）在答卷中完成如下列联表，并判断能否至少有99.9%的把握认为“选做22题或23题”与“学生的科类（文理）”有关系；选做22题选做23题合计文科人数110理科人数100总计1050（2）在第23题得分为0的学生中，按分层抽样的方法随机抽取6人进行答疑辅导，并在辅导后从这6人中随机抽取2人进行测试，求被抽中进行测试的2名学生均为理科生的概率参考公式：，其中20（本小题满分12分）已知函数，且（1）当时，求函数的单调区间与极值；（2）当时，恒成立，求的取值范围21（本小题满分12分）已知椭圆：的两个焦点分别是，直线：与椭圆
7、交于两点（1）若为椭圆短轴上的一个顶点，且是直角三角形，求的值；（2）若，且，求证：的面积为定值（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。答题时请在答卷中写清题号并将相应信息点涂黑。22（本小题满分10分）选修44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）以坐标原点O为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（1）求曲线的普通方程和的直角坐标方程；（2）设是曲线上一点，此时参数，将射线绕坐标原点逆时针旋转交曲线于点，记曲线的上顶点为，求的面积。23（本小题满分10分）选修45：不等式选讲 已知函数 （1）当时，求不等式的解集；（2）设，的
8、最小值为，若，求的最小值。惠州市2020届高三模拟考试文科数学参考答案与评分细则一、选择题：题号123456789101112答案ACBABCDACDAA1.【解析】集合B=，则A=，故选A 2.【解析】对于A，不是纯虚数；对于B，是实数；对于C，为纯虚数；对于D，不是纯虚数故选C3.【解析】若，则，则是成立的必要不充分条件，故选B4.【解析】新数据的方差为：故选A5.【解析】 根据指数函数图象，可知选B另解：，可排除CD，可排除A，故选B6.【解析】根据“柱脚”的三视图可知，该“柱脚”是由半圆柱和一个三棱柱组合而成，半圆柱的底面半圆的直径为，高为，故半圆柱的体积为，三棱柱的底面三角形的一边长
9、为，该边上的高为，该三棱柱的高为，故该三棱柱体积为，所以该“柱脚”的体积为故选：C7.【解析】根据正弦定理得：即：又，故选D.8.【解析】易知是偶函数，不等式等价为，当时，在区间上单调递增，解得：.故选A.9.【解析】点在抛物线上，且，点在抛物线的准线上，由抛物线的定义可知：，设则解得：，又直线的斜率为.故选C.10.【解析】 选项 A错误，同时和一个平面平行的两条直线不一定平行，可能相交，可能异面；选项B错误，两平面平行，两平面内的直线不一定平行，可能异面；选项C错误，一个平面内垂直于两平面交线的直线，只有在两个平面互相垂直时才与另一个平面垂直；选项D正确，由得又故选D.11.【解析】函数的
10、最小正周期为，可得，向右平移个单位后得到的函数为，此函数为奇函数，又，所以故函数，正确；的递增区间为，故B错；，故C错；，当时有最大值，故D错。故选A.12.【解析】当时，在上单调递增；当 时，在上单调递减，在上单调递增，当时，取得极小值；作出函数的图象如图所示，设的两根为 ，由恰好有四个不相等的实数根，则方程的一根在区间上，另一根在区间上，不妨设，根据二次函数零点分布可得，即，解得：，故实数m的取值范围是.故选A.二、填空题（本大题共4题，每小题5分，共20分.）13、1 14、7 15、50 16、13.【解析】，得，所以切点为，代入直线方程可得。14.【解析】，解得故答案为715.【解析
11、】由频率分布直方图的性质，可得，解得，所以学习时长在的频率，解得.16.【解析】椭圆的，若动点Q满足且，可得三点共线，且同向，由，可得Q的轨迹为以为圆心，6为半径的圆，双曲线的一条渐近线方程设为，由圆心到渐近线的距离为，所以点到双曲线一条渐近线距离的最大值为。三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。17（本小题满分12分）【解析】（1）解法一：设等差数列的公差为，由知，得，2分又由，得， 3分由上可得等差数列的公差，4分 6分解法二：设等差数列的公差为，由知，得，2分由，得，可得，4分 6
12、分（2）由题意得， 7分所以9分11分【两个求和公式各1分】 所以12分18.（本小题满分12分）ABCDEF【解析】（1）证明：由已知可得 -1分ABCDEF，且面ABCD， ABCDEF，-2分，-3分，-4分【步骤不全，本得分点不给分】-5分，所以-6分（2）解法一： 又平面，平面， 7分又平面， 即三角形为直角三角形8分设点到平面的距离为,，9分即 10分，11分点到平面的距离为 12分解法二：，面，面，所以面则点到平面的距离等于点到平面的距离，7分过作，垂足为，面， 面，面 又面，面， 面 8分又面 ，又，平面，平面， 则为点到平面的距离9分【上述证明过程可适当简化】，即到平面的距离
13、为， 11分点到平面的距离为 12分【解法二的给分要点为：写出距离的平行转移得1分，作出并证明AM为点面距离得2分，计算出AM得2分，回答所求结果1分】19.（本小题满分12分）【解析】（1）根据题意填写22列联表如下，选做22题选做23题合计文科人数11040150理科人数800100900总计9101401050 2分 由表中数据，计算，3分4分5分所以有的把握认为“选做题的选择”与“文、理科的科类”有关；6分（2）由分层抽样的方法可知在被选取的6名学生中理科生有4名，文科生有2名，7分记4名理科生为a、b、c、d，2名文科生为E、F，从这6名学生中随机抽取2名，全部可能的基本事件共15种
14、8分分别是：ab、ac、ad、aE、aF、bc、bd、bE、bF、cd、cE、cF、dE、dF、EF9分【本步骤没有列举或列举不全，本得分点不给分】被抽中的2名学生均为理科生的基本事件是：ab、ac、ad、bc、bd、cd，有6种，10分故所求的概率为11分所以被抽中进行测试的2名学生均为理科生的概率为12分20.（本小题满分12分）【解析】（1）当时，函数 .1分当时，当时，.2分所以函数的单调增区间为，单调减区间为 .3分x0单调增极大值单调减.4分【注意：无列表，本得分点不给分】 当时，函数取极大值，无极小值.5分（2）令 ，根据题意，当时，恒成立.6分当，时，恒成立，所以在上是增函数，
15、且，所以不符合题意；.8分当，时，恒成立， 所以在上是增函数，且，所以不符合题意；.10分当时，恒有，故在上是减函数，于是对任意都成立”的充要条件是， 即，解得，.11分故 .12分21.（本小题满分12分）【解析】（1）为椭圆短轴上的一个顶点，且是直角三角形，所以为等腰直角三角形， .1分当时，解得，.2分当时，解得；.3分所以或.4分（2）证明：当时，设，.5分由，整理得.6分，.7分.8分 .9分.10分到直线的距离为，.11分 所以的面积为定值1. .12分22（本小题满分10分）【解析】（1）由，-1分所以的普通方程为，-2分由-3分可得-4分（2）设点的横坐标为，则由已知可得，且直角坐标，极坐标，-6分其中，极坐标，-8分，-9分所以-10分【注意：点P的极角不是，点Q的极角不是】23（本小题满分10分）【解析】（1）当时，则不等式，可化为：.-1分当时，解得：，即；-2分当时，解得：，即；-3分当时，解得：，即.-4分所以不等式的解集为-5分【注1：若计算结果错误，分段讨论区间正确可得1分】【注2：若结果不是区间或集合的形式，至少扣1分】（2）-6分的最小值为，即，-7分且-8分当且仅当，即，时取等号-9分【没有此步骤，本得分点不给分】故-10分
