1、四川省阆中市2016届高三第五次模拟练习数学试题（文）第I卷（选择题）一、选择题1设集合A=x|xa,集合B=-1,1,2,若AB=B,则实数a的取值范围是A.(1,+)B.(-,1)C.(-1,+)D.(-,-1)【答案】D【解析】本题主要考查集合之间的包含关系,考查等价转化思想.解题时,将AB=B转化为BA即可求解.因为AB=B,所以BA,所以a0,yR,则“xy”是“x|y|”的A.充要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】本题考查充要条件,意在考查考生对基本概念的掌握情况.由xy推不出x|y|,由x|y|能推出xy,所以“xy”是“x|y
2、|”的必要而不充分条件.故选C.【点拨】近几年高考中,常用逻辑用语试题常以考查基本概念、基本关系或与其他知识相结合的形式出现,重基础,难度低.学习中,只要夯实基础,把握逻辑联结词的含义、充要条件的意义、四种命题及相互关系,应用不同的求解策略,就能适应高考的考查要求.4我国古代数学名著九章算术有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为A.134石B.169石C.338石D.1365石【答案】B【解析】本题主要考查简单随机抽样法的应用.设这批米内夹谷约为x石，由题意可得x1534=28254,则x169.5设变量x
3、,y满足约束条件x1ya(a2)2x-y0,若目标函数z=x+y取得最大值4,则实数a的值为A.4B.103C.3D.83【答案】D【解析】作出不等式组表示的可行域,将目标函数变形为y=-x+z,判断出z表示直线在y轴上的截距,结合图象,求出a的值.作出不等式组表示的平面区域,如图中阴影部分所示,y=-x+z,则z表示直线在y轴上的截距,作直线l:x+y=0,把直线l向可行域平移,结合图象可知,平移到点A(a2,a)时,z最大,此时z=a+a2=4,a=83,故选D.6执行如图的程序框图,输出的S的值为A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】本题主要考查程序框图和对数的运算.当k=3时,S=
4、log34;当k=4时,S=log34log45;当k=26时,S=log34log45log2627,此后k=27,所以输出的S=lg4lg3lg5lg4lg27lg26=3.7在平面直角坐标系中，直线与圆相交于两点，则弦的长等于( )。A.B.C.D.【答案】B【解析】本题考查直线与圆的位置关系。由题意知：圆心，半径，由BA的一半、半径r、圆心到直线AB的距离构成直角三角形，可得AB=；所以AB=。选B。8设集合Q=x|2x2-5x0,xN,且PQ,则满足条件的集合P的个数是A.3B.4C.7D.8【答案】D【解析】因为Q=x|2x2-5x0,xN=x|0x52,xN=0,1,2,所以满足
5、PQ的集合P有23=8个,选D.9由曲线y2=x和直线y=x-2所围成的图形的面积是A.112B.18C.236D.92【答案】D【解析】本题主要考查了定积分在求面积中的应用,以及会利用定积分求图形面积的能力.由y2=x y=x-2解得曲线y2=x和直线y=x-2的交点坐标为:(1, -1),(4,2),选择y为积分变量,由曲线y2=x和直线y=x-2所围成的图形的面积S=-12y+2-y2dy=12y2+2y-13y3-12=92.故选D.10已知三次函数f(x)13x3-(4m-1)x2(15m2-2m-7)x2在x(-,)内无极值点,则m的取值范围是A.m2或m4B.m2或m4C.2m4
6、D.2m【答案】C【解析】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值.注意转化思想的应用.f(x)=x2-2(4m-1)x(15m2-2m-7),因为函数f(x)在x(-,)内无极值点,fx在R上单调,=44m-12-4(15m2-2m-7)=4m-2m-40,解得2m4.故选C.11已知函数f(x)=Asin (x+)(A0,0,|2)的部分图象如图所示.那么函数f(x)的解析式是A.f(x)= sin (2x+3)B.f(x)=2sin (2x+6)C.f(x)= cos (2x+3)D.f(x)=2 cos (2x+6)【答案】B【解析】求函数的解析式的关键是确定系数A,=2T,的值,特
7、别地,求一般用代点法.应用三角函数图象求解析式,特别要注意周期与对称轴、对称中心之间的关系:(1)设两相邻对称轴为x=a,x=b,则周期T=2|a-b|;(2)设两相邻对称中心为(a,0),(b,0),则T=2|a-b|;(3)设一对称轴为x=a,一相邻的对称中心为(b,0),则T=4|a-b|.由图象知,A=2.f(x)的最小正周期T=4(512-6)=,故=2T=2.将点(6,2)代入f(x)的解析式,得sin(3+)=1,又|0)的左顶点P作斜率为1的直线l,若l与双曲线C的两条渐近线分别相交于点Q,R,且Q为RP的中点,则双曲线C的离心率为A.5B.10C.52D.103【答案】B【解
8、析】本题主要考查双曲线的知识以及直线方程的求解、直线与直线的交点问题、中点坐标公式,综合的知识点比较多,考生应该有比较强的综合运用知识的能力.因为 Q为RP的中点,点P坐标为(-1,0),过点P且斜率为1的直线方程为y=x+1,渐近线方程为y=bx,可解得点R的纵坐标为bb-1,点Q的纵坐标为bb+1,由中点坐标公式可得2bb+1=bb-1+0,解得b=3,所以双曲线的离心率为e=1+b21=10,故选B.第II卷（非选择题）二、填空题13已知向量a,b满足|b|=2,a与b的夹角为60,则b在a上的投影是.【答案】1【解析】本小题主要考查向量的数量积、向量投影的求解,涉及向量的有关计算.b在
9、a上的投影是|b|cos=2cos 60=1.14已知(1+ax)(1+x)6的展开式中x2的系数为3,则a=.【答案】-2【解析】本题主要考查二项式定理,考查二项展开式中项的系数.(1+x)6中x2的系数为C62,x的系数为C61,由题意知C62+aC61=3,解得a=-2.15在ABC中,BC=2,AC=1,以AB为边作等腰直角三角形ABD(B为直角顶点,C,D两点在直线AB的两侧).当C变化时,线段CD长的最大值为.【答案】3【解析】本题主要考查了解析法的应用,意在考查考生对等价转化思想的应用能力及运算求解能力.以点C为坐标原点,CB所在直线为x轴建立平面直角坐标系,设ACB=,则B(2
10、,0),A(cos ,sin ).由余弦定理可得AB2=1+2-22cos =3-22cos .设点D(x,y)(在AB的上面),由BD=BA和BDBA可得(x-2)2+y2=3-22cos(x-2)(cos-2)+ysin=0,解得x=sin+2y=2-cos,所以CD=(sin+2)2+(2-cos)2=5+4sin(-4),当=34时,线段CD的长取得最大值为3.16把边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折起，形成的三棱锥A-BCD的正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为_,二面角B-AC-D的余弦值为_.【答案】14，-13【解析】本题考查三视图，二面角.由俯视图、正视图可推出侧面
11、CBD底面ABD,棱锥的高为22,底面ABD的高为22,侧视图为一个腰长为22的等腰直角三角形,所以侧视图的面积S=122222=14；如图，取AC的中点E，连接BE、DE，则BED即为二面角B-AC-D的平面角；在BCD中，BD=2，BE=BD=32，所以cosBED=BE2+DE2-BD22BEDE=34+34-2234=-1232=-13.17若函数f(x)=(a+2)x2+2ax+1有零点，但不能用二分法求其零点，则a的值_【答案】2或-1【解析】本题考查函数与方程.由题意得关于x的方程(a+2)x2+2ax+1=0有二等实根，所以=4a2-4(a+2)=0，解得a=2或-1.【点拨】
12、体会转化与化归的思想.三、解答题18设函数f(x)=(sinx+cosx)2+2cos2x(0)的最小正周期为23.()求的值;()若函数y=g(x)的图象是由y=f(x)的图象向右平移2个单位长度得到的.求y=g(x)的单调增区间. 【答案】()f(x)=sin2x+cos2x+2sin xcosx+1+cos 2x=sin 2x+cos 2x+2=2sin(2x+4)+2,依题意得22=23,故=32.()依题意得g(x)=2sin3(x-2)+4+2=2sin(3x-54)+2,由2k-23x-542k+2(kZ),解得23k+4x23k+712(kZ).故g(x)的单调增区间为23k+
13、4,23k-712(kZ).【解析】本题主要考查基本三角函数公式,函数图象的平移变换,以及正弦函数、余弦函数的单调性.19某校高一年级共有学生320人,为调查高一年级学生每天晚自习自主支配学习时间(指除了完成老师布置的作业后学生根据自己的需要进行学习的时间)情况,学校采用随机抽样的方法从高一学生中抽取了n名学生进行问卷调查.根据问卷得到了这n名学生每天晚自习自主支配学习时间的数据(单位:分钟),按照以下区间分为七组:0,10),10,20),20,30),30,40),40,50),50,60),60,70,得到频率分布直方图如图,已知抽取的学生中每天晚自习自主支配学习时间低于20分钟的人数是
14、4人.(1)求n的值;(2)若高一全体学生平均每天晚自习自主支配学习时间少于45分钟,则学校需要减少作业量.根据以上抽样调查数据,学校是否需要减少作业量?(注:统计方法中,同一组数据常用该组区间的中点值作为代表)【答案】(1)由频率分布直方图知第1组和第2组的频率分别是0.02和0.06,则n(0.02+0.06)=4,解得n=50.(2)设第i组的频率和频数分别是pi和xi,由图知p1=0.02,p2=0.06,p3=0.3,p4=0.4,p5=0.12,p6=0.08,p7=0.02,则由xi=50pi可得x1=1,x2=3,x3=15,x4=20,x5=6,x6=4,x7=1.则高一学生
15、每天平均自主支配时间是t=5x1+15x2+25x3+35x4+45x5+55x6+65x750=33.645.则学校需要减少作业量.20如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC=12AA1,D是棱AA1的中点,DC1BD.()证明: DC1BC;()求二面角A1-BD-C1的大小.【答案】()由题设知,三棱柱的侧面为矩形.由于D为AA1的中点,故DC=DC1.又AC=12AA1,可得DC12+DC2=CC12,所以DC1DC.而DC1BD,DCBD=D,所以DC1平面BCD.BC平面BCD,故DC1BC.()由()知BCDC1,且BCCC1,则BC平面ACC1,所以CA,CB,CC1
16、两两相互垂直.以C为坐标原点,CA的方向为x轴的正方向,|CA|为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz.由题意知A1(1,0,2),B(0,1,0),D(1,0,1),C1(0,0,2).则A1D=(0,0,-1),BD=(1,-1,1),DC1=(-1,0,1).设n=(x,y,z)是平面A1B1BD的法向量,则nBD=0,nA1D=0,即x-y+z=0,z=0.可取n=(1,1,0).同理,设m是平面C1BD的法向量,则mBD=0,mDC1=0.可取m=(1,2,1).从而cos=nm|n|m|=32.故二面角A1-BD-C1的大小为30.【解析】本题主要考查空间几何体中线线垂直
17、的证明和二面角的计算,意在考查考生的计算、推理、证明以及利用空间向量求解二面角的能力.()通过证明线线垂直得到线面垂直,进而得到待证的线线垂直.()根据垂直关系建立空间直角坐标系,求出两个平面的法向量,通过计算两个法向量所成的角的余弦值即可求出二面角的大小. 【点拨】本题没有给出线段的长度,可以设出,并根据所设求得其他线段长度,通过计算进行证明求解,如果不设出线段长度,表示出来就比较麻烦,整个题的解答都不易处理.21已知数列满足an+1=3an+2，a1=1，bn=an+1(1)证明数列为等比数列.(2)求数列的通项公式与前项和.【答案】（1）因为，所以，而，所以所以数列是首项为2，公比为3的
18、等比数列。（2）由（1）得：，即；所以=【解析】本题考查等比数列的证明，数列求和。22设函数f(x)=lnx+ln (2-x)+ax(a0).(1)当a=1时,求f(x)的单调区间;(2)若f(x)在(0,1上的最大值为12,求a的值.【答案】函数f(x)的定义域为(0,2),f (x)=1x-12-x+a,(1)当a=1时,f (x)=-x2+2x(2-x),所以f(x)的单调递增区间为(0,2),单调递减区间为(2,2).(2)当x(0,1时,f (x)=2-2xx(2-x)+a0,即f(x)在(0,1上单调递增,故f(x)在(0,1上的最大值为f(1)=a,因此a=12.【解析】本题是函
19、数与导数综合的试题,主要考查利用导数研究函数的单调性与最值以及求参数的值.对于(1),由f (x)0(f (x)b0)的离心率与双曲线x24-y23=1的一条渐近线的斜率相等，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线sinx+cosy-1=0相切(为常数)(1)求椭圆C的方程；(2)若过点M(3,0)的直线与椭圆C相交A,B两点，设P为椭圆上一点，且满足OA+OB=tOP(O为坐标原点)，当|PB-PA|0，解得k215x1+x2=24k21+4k2，x1x2=36k2-41+4k2OA+OB=(x1+x2,y1+y2)=t(x,y),则x=1t(x1+x2)=24k2t(1+4k2);y=1t(y1+y2)=-6kt(1+4k2)，由点p在椭圆上，代入椭圆方程得36k2=t2(1+4k2)又由|AB|3，即(1+k2)(x1+x2)2-4x1x20则8k2-10, k218， 15k218由得t2=36k21+4k2，联立解得3t243t2或3t2【解析】本题考查椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的位置关系.
