1、一、空间几何体1多面体及其结构特征(1)棱柱：有两个平面(底面)互相平行；其余各面都是平行四边形；每相邻两个平行四边形的公共边互相平行(2)棱锥：有一个面(底面)是多边形；其余各面(侧面)是有一个公共顶点的三角形(3)棱台：上下底面互相平行、且是相似图形；各侧棱延长线相交于一点2圆柱、圆锥、圆台和球圆柱、圆锥、圆台和球可以看成以矩形的一边、直角三角形的一直角边、直角梯形垂直于底边的腰、一个半圆的直径所在的直线为旋转轴，将矩形、直角三角形、直角梯形、半圆分别旋转一周而形成的曲面围成的几何体3斜二测画法的意义及建系原则(1)斜二测画法中“斜”和“二测”：“斜”是指在已知图形的xOy平面内与x轴垂直
2、的线段，在直观图中均与x轴成45或135.“二测”是指两种度量形式，即在直观图中，平行于x轴或z轴的线段长度不变；平行于y轴的线段长度变为原来的一半(2)斜二测画法中的建系原则：在已知图中建立直角坐标系，理论上在任何位置建立坐标系都行，但实际作图时，一般建立特殊的直角坐标系，尽量运用原有直线或图形的对称直线为坐标轴，图形的对称点为原点或利用原有互相垂直的直线为坐标轴等4空间几何体的表面积和体积(1)多面体的表面积：各个面的面积之和，也就是展开图的面积(2)旋转体的表面积：圆柱：S2r22rl2r(rl)圆锥：Sr2rlr(rl)球：S4R2.(3)柱体、锥体、台体的体积公式柱体的体积公式：V柱
3、体Sh(S为底面面积，h为高)锥体的体积公式：V锥体Sh(S为底面面积，h为高)台体的体积公式：V台体(SS)h(S，S分别为上、下底面面积，h为高)球的体积公式：V球R3.二、点、线、面之间的位置关系1共面与异面直线(1)共面：空间中的几个点或几条直线，如果都在同一平面内，我们就说它们共面(2)异面直线：既不相交又不平行的直线2平行公理过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行3基本性质4平行于同一条直线的两条直线互相平行即如果直线ab，cb，那么ac.4直线与平面平行的判定与性质(1)判定：如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行那么这条直线和这个平面平行(2)性质：如果一条直线和一个平
4、面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行5平面与平面平行的判定(1)文字语言：如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行(2)符号语言：a，b，abP，a，b.(3)图形语言：如图所示6平面与平面平行的性质定理(1)文字语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行(2)符号语言：，a，bab.(3)图形语言：如图所示(4)作用：证明两直线平行7直线与平面垂直的判定定理定理：如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直推论1：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面推论2：如果两条直
5、线垂直于同一平面，那么这两条直线平行8直线与平面垂直的性质性质：如果条直线垂直于一个平面，那么它就和平面内的任意一条直线垂直符号表示：ab.9面面垂直的判定定理如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直10面面垂直的性质定理如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直三、直线的方程1直线倾斜角的范围0，180)2斜率公式A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线l上两点，且x1x2，则l的斜率为.3直线方程的几种形式(1)点斜式：yy0k(xx0)(2)斜截式：ykxb.(3)两点式：.(4)截距式：1.(5)一般式：AxByC0(A2B20)4两直线
6、的位置关系设l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20.(1)平行：A1B2A2B10且B1C2B2C10或A2C1A1C20.(2)垂直：A1A2B1B20.5距离公式(1)两点间距离公式，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|.(2)点到直线的距离公式：点P(x0，y0)到直线l：AxByC0(A2B20)的距离d.(3)两平行直线l1：AxByC10与l2：AxByC20(A2B20)的距离d.四、圆的方程1圆的方程(1)标准方程：(xa)2(yb)2r2.(2)一般方程：x2y2DxEyF0(D2E24F0)2直线与圆的位置关系设直线l与圆C的圆心之间的距离为d，圆的半
7、径为r.则(1)l与圆C相离dr.(2)l与圆C相切dr.(3)l与圆C相交dr.3圆与圆的位置关系设圆C1与圆C2的圆心距离为d，半径分别为R与r，则两圆(1)外离dRr.(2)外切dRr.(3)相交|Rr|dRr.(4)内切d|Rr|.(5)内含0d|Rr|.五、空间直角坐标系空间两点间距离公式A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则|AB|.1空间中两直线没有交点，则两直线平行()提示还可以是异面2有两个面互相平行，其余各面都是四边形，所围成的几何体是棱柱()提示还要有每相邻两个四边形公共边平行3棱锥是由一个面是多边形，其余各面是三角形所围成的几何体()提示三角形必须有一个公共
8、顶点4圆台也可以看作是一个圆锥截去一个小圆锥所形成的几何体()5三点确定一个平面()提示不共线三点才能确定平面6球的表面积公式为SR2.()7有两个面平行，其余各面都是梯形的几何体是棱台()提示棱台侧棱延长后会交于一点8一条直线平行于两平行平面中的一个平面，也平行于另一个()提示可能直线在平面内9一条直线平行于两互相垂直的两平面中的一个，就会垂直于另一平面()提示还可能相交、平行，在平面内10若ab，b，则a.()提示还需要a.11如果一个平面内有两条直线与另一个平面平行，那么两平面平行()提示两直线相交时才成立12垂直于同一直线的两直线平行()13垂直于同一直线的两平面平行()14垂直于同一
9、平面的两平面平行()15锥体的体积等于底面面积与高之积()16经过球心的平面截得的圆的半径等于球的半径()17直线的倾斜角为，则直线的斜率为tan .()提示90时斜率不存在18直线在斜率存在的情况下，随倾斜角的增大而增大()提示在0，90)上斜率随倾斜角增大而增大，在(90，180)上斜率随倾斜角增大而增大19直线的一般方程为AxByC0.()提示A2B20.20直线的点斜式方程不能表示垂直于x轴的直线()21与AxByC0(A2B20)平行的直线可写为AxByD0.()22与AxByC0(A2B20)垂直的直线可写为BxAyD0.()提示应为BxAyD0.23直线与圆有5种位置关系()提示
10、相离、相切、相交，3种24圆与圆有5种位置关系()25正棱锥是底面是正多边形的棱锥()26两平面互相垂直，其中一个平面内的直线垂直于另一平面()27两平面互相平行，其中一个平面内的直线平行于另一个平面()28平行于同一直线的两平面平行()29空间直角坐标系中关于xOy平面对称的点的坐标，有相同的z坐标()30过圆O：x2y2r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点为A，B，则O，P，A，B四点共圆且直线AB的方程是x0xy0yr2.()1.(2018全国卷)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头若如图摆放的木构件与某一带卯眼
11、的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是() A由题意知，在咬合时带卯眼的木构件中，从俯视方向看，榫头看不见，所以是虚线，结合榫头的位置知选A.2(2018全国卷)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为()A12B12C8D10B因为过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，所以圆柱的高为2，底面圆的直径为2，所以该圆柱的表面积为2()22212.3(2018全国卷)某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对
12、应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为()A2 B2 C3 D2B由三视图可知，该几何体为如图所示的圆柱，该圆柱的高为2，底面周长为16.画出该圆柱的侧面展开图，如图所示，连接MN，则MS2，SN4，则从M到N的路径中，最短路径的长度为2.故选B. 图 图4(2018全国卷)设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC为等边三角形且其面积为9，则三棱锥DABC体积的最大值为()A12B18C24D54B设等边三角形ABC的边长为x，则x2sin 609，得x6.设ABC的外接圆半径为r，则2r，解得r2，所以球心到ABC所在平面的距离d2，则点D到平面ABC
13、的最大距离d1d46，所以三棱锥DABC体积的最大值VmaxSABC69618.5(2018全国卷)直线xy20分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x2)2y22上，则ABP面积的取值范围是()A2,6B4,8C，3D2，3A圆心(2,0)到直线的距离d2，所以点P到直线的距离d1，3根据直线的方程可知A，B两点的坐标分别为A(2,0)，B(0，2)，所以|AB|2，所以ABP的面积S|AB|d1d1.因为d1，3，所以S2,6，即ABP面积的取值范围是2,66(2018全国卷)直线yx1与圆x2y22y30交于A，B两点，则|AB|_.2由题意知圆的方程为x2(y1)24，所以圆心坐标
14、为(0，1)，半径为2，则圆心到直线yx1的距离d，所以|AB|22.7(2018全国卷)已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB互相垂直，SA与圆锥底面所成角为30.若SAB的面积为8，则该圆锥的体积为_8由题意画出图形，如图，设AC是底面圆O的直径，连接SO，则SO是圆锥的高设圆锥的母线长为l，则由SASB，SAB的面积为8，得l28，得l4.在RtASO中，由题意知SAO30，所以SOl2，AOl2.故该圆锥的体积VAO2SO(2)228.8(2018全国卷)如图，在平行四边形ABCM中，ABAC3，ACM90.以AC为折痕将ACM折起，使点M到达点D的位置，且ABDA.(1)证明：平面ACD平面ABC；(2)Q为线段AD上一点，P为线段BC上一点，且BPDQDA，求三棱锥QABP的体积解(1)由已知可得，BAC90，BAAC.又BAAD，且AC平面ACD，AD平面ACD，ACADA，所以AB平面ACD.又AB平面ABC，所以平面ACD平面ABC.(2)由已知可得，DCCMAB3，DA3.又BPDQDA，所以BP2.作QEAC，垂足为E，则QEDC.由已知及(1)可得DC平面ABC，所以QE平面ABC，QE1.因此，三棱锥QABP的体积为VQABPQESABP132sin 451.
