1、第二课时正弦函数、余弦函数的性质过山车是一项富有刺激性的娱乐项目那种风驰电掣、有惊无险的快感令不少人着迷过山车的运动包含了许多物理学原理，人们在设计过山车时巧妙地运用了这些原理如果能亲身体验一下由能量守恒、加速度和力交织在一起产生的效果，那感觉真是妙不可言一个基本的过山车构造中，包含了爬升、滑落、倒转(儿童过山车没有倒转)这几个循环路径问题(1)函数ysin x与ycos x图象也像过山车一样“爬升”“滑落”，这是ysin x，ycos x的什么性质？(2)过山车爬升到最高点，然后滑落到最低点，再爬升，对应函数ysin x，ycos x的什么性质？函数ysin x，ycos x的图象在什么位置
2、取得最大(小)值？知识点一函数的周期性1周期函数：一般地，对于函数yf(x)，如果存在非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，xT都有意义，并且f(xT)f(x)，则称函数yf(x)为周期函数，T称为这个函数的一个周期2最小正周期：对于一个周期函数f(x)，如果在它的所有周期中存在一个最小的正数，那么，这个最小的正数就叫作f(x)的最小正周期对周期函数定义的再理解(1)并不是每一个函数都是周期函数，若函数具有周期性，则其周期也不一定唯一；(2)如果T是函数f(x)的一个周期，那么nT(nZ且n0)也是f(x)的周期；(3)形如yAsin(x)(A0，0)与yAcos(x)(A0，0)的函数
3、的周期常用公式T来求 是不是所有的函数都是周期函数？若一个函数是周期函数，它的周期是否唯一？提示：并不是每一个函数都是周期函数，若函数具有周期性，则其周期也不一定唯一1若函数f(x)的周期为3，且f(1)2，则f(7)_答案：22函数ycos 2x的周期为_答案：3函数ysin(x)的周期为_解析：ysin(x)sin x，周期为2.答案：2知识点二正弦函数、余弦函数的性质函数图象与性质ysin xycos x图象定义域值域1，11，1周期性最小正周期为最小正周期为奇偶性函数函数单调性在(kZ)上递增；在(kZ)上递减在2k，2k(kZ)上递增；在2k，2k(kZ)上递减对称轴xk(kZ)xk
4、(kZ)对称中心(k，0)(kZ)(kZ)最值x2k，kZ时，ymax1；x2k，kZ时，ymin1x2k，kZ时，ymax1；x2k，kZ时，ymin11正、余弦函数的单调性正弦函数、余弦函数有单调区间，但都不是定义域上的单调函数，即正弦函数、余弦函数在整个定义域内不单调2三角函数的最值与单调性之间的联系如图，由三角函数yAsin(x)(A0)的图象可知：图象相邻两个最大值之间的距离为一个周期，两个最大值之间有一个最小值，从左至右第一个最大值点x0与最小值点x0之间构成的区间为减区间，最小值点x0与第二个最大值点x0T所构成的区间为增区间， 从而三角函数yAsin(x)(A0)的单调递减区间
5、为(kZ)，单调递增区间为(kZ)3三角函数的最值与周期性之间的联系由三角函数图象可知，相邻两个最大值之间的区间长度为周期T，相邻最大值与最小值之间的区间长度为，相邻的最值点与对称中心之间的区间长度为.正弦函数和余弦函数的图象都既是中心对称图形又是轴对称图形，它们的对称中心和对称轴有什么关系？提示：正弦函数图象的对称中心、对称轴分别与余弦函数图象的对称轴，对称中心对应判断正误(正确的画“”，错误的画“”)(1)函数y3sin 2x是奇函数()(2)函数ycos x是偶函数()(3)正弦函数ysin x在R上是增函数()(4)余弦函数ycos x的一个减区间是0，()(5)x0，2满足sin x
6、2.()(6)当余弦函数ycos x取最大值时，x2k，kZ.()答案：(1)(2)(3)(4)(5)(6)正、余弦函数的周期性和奇偶性角度一正、余弦函数的最小正周期例1求下列函数的最小正周期：(1)(x)cos；(2)(x)|sin x|.解(1)法一(定义法)：(x)coscoscos(x)，即(x)(x)，函数(x)cos的最小正周期T.法二(公式法)：ycos，2.又T.函数(x)cos的最小正周期T.(2)法一(定义法)：(x)|sin x|, (x)|sin(x)|sin x|(x)，(x)的最小正周期为.法二(图象法)：函数y|sin x|的图象如图所示由图象可知最小正周期T.求
7、三角函数的周期的方法(1)定义法：紧扣周期函数的定义，寻求对任意实数x都满足f(xT)f(x)的非零常数T.该方法主要适用于抽象函数；(2)公式法：对形如yAsin(x)和yAcos(x)(其中A，是常数，且A0，0)的函数，可利用T来求；(3)图象法：可画出函数的图象，借助于图象判断函数的周期，特别是对于含绝对值的函数一般采用此法 角度二正、余弦函数的奇偶性和周期性的综合例2定义在R上的函数(x)既是偶函数又是周期函数，若(x)的最小正周期是，且当x时，(x)sin x，求的值解(x)的最小正周期是，.(x)是R上的偶函数，sin.母题探究1(变条件)若例2中“偶”变“奇”其他条件不变，求的
8、值解：sin.2(变设问)若例2条件不变，求的值解：sin .1解决三角函数的奇偶性与周期性综合问题的方法：利用函数的周期性，可以把xnT(nZ)的函数值转化为x的函数值利用奇偶性，可以找到x与x的函数值的关系，从而可解决求值问题2推得函数周期的若干形式：(1)若f(xt)f(x)，则函数周期为t；(2)若f(xt)f(x)，则函数周期为2t；(3)若f(xt)，则函数周期为2t；(4)若f(xt)，则函数周期为2t. 跟踪训练1下列函数中是奇函数，且最小正周期为的函数是()Aycos|2x|By|sin 2x|Cysin Dycos解析：选Dycos|2x|是偶函数，y|sin 2x|是偶函
9、数，ysincos 2x是偶函数，ycossin 2x是奇函数，根据公式得其最小正周期T.2函数(x)为偶函数且(x)，1，则_解析：(x)，(x)(x)，即T，1.答案：1正、余弦函数的单调性角度一正、余弦函数值的大小比较例3(链接教科书第177页例3)不通过求值，比较下列各组数的大小：(1)sin 250与sin 260；(2)cos与cos.解(1)函数ysin x在上单调递减，且90250260sin 260.(2)coscoscos，coscoscos.函数ycos x在0，上单调递减，且0cos，coscos.比较正、余弦函数值大小的方法(1)比较两个同名三角函数值的大小，先利用诱
10、导公式把两个角化为同一单调区间内的角，再利用函数的单调性比较；(2)比较两个不同名的三角函数值的大小，一般应先化为同名的三角函数，后面步骤同上 角度二求正、余弦函数的单调区间例4(链接教科书第178页例4)求下列函数的单调区间：(1)ycos；(2)y3sin.解(1)当2k2k，kZ时，函数单调递增，故函数的单调递增区间是(kZ)当2k2k，kZ时，函数单调递减，故函数的单调递减区间是(kZ)(2)y3sin3sin，要求y3sin的增区间即求ysin的减区间，即2k2x2k，kZ，所以kxk，kZ.所以函数y3sin的递增区间为(kZ)要求y3sin的减区间即求ysin的增区间，即2k2x
11、2k，kZ，所以kxk，kZ.所以函数y3sin的递减区间为(kZ)求解与正弦、余弦函数有关的单调区间的两个技巧(1)数形结合：结合正弦、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间；(2)整体代换：确定函数yAsin(x)(A0，0)的单调区间的方法，采用“换元法”整体代换，将x看作一个整体，可令“zx”，即通过求yAsin z的单调区间而求出函数的单调区间若0，则可利用诱导公式将x的系数转化为正数 跟踪训练1函数y|cos x|的一个单调减区间是()A.BC. D解析：选C函数y|cos x|图象如图所示：单调减区间有，故选C.2不通过求值，比较sin与sin的大小解：sinsinsin，sinsi
12、nsin ，ysin x在上是增函数，sinsin ，即sinsin .正、余弦函数的最值(值域)例5(链接教科书第177页例2)(1)求函数y2cos，x的值域；(2)求函数ycos2x4sin x的最值及取到最大值和最小值时x的取值集合解(1)x，02x，cos”或“”)解析：sinsinsin，sinsinsin.因为ysin x在上单调递增，又0，所以sinsin，所以sinsin .答案：5函数y12sin的单调递增区间是_解析：y12sin12sin.令ux，根据复合函数的单调性知，所给函数的单调递增区间就是ysin u的单调递减区间由2kx2k(kZ)，得2kx2k(kZ)，故函数y12sin的单调递增区间是(kZ)答案：(kZ)
