1、第三节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词【知识梳理】1.必会知识 教材回扣 填一填(1)命题pq,pq,p的真假判断:pqpqpqp真真_真假_假真_假假_真 真 假 假 真 假 假 真 真 假 假 真(2)全称量词和存在量词:量词名称 常见量词 符号表示 全称量词 所有、一切、任意、全部、每一个等 _ 存在量词 存在一个、至少一个、有些、某些等 _(3)全称命题和特称命题:名称 形式 全称命题 特称命题 结构 对M中的任意一个x,有p(x)成立 存在M中的一个x0,使p(x0)成立 简记 _ _ 否定 _,p(x0)_,p(x)xM,p(x)x0M,p(x0)x0M xM 2.必备结论
2、教材提炼 记一记 含逻辑联结词命题真假判断:(1)pq中一假则假,全真才真.(2)pq中一真则真,全假才假.(3)p与p真假性相反 3.必用技法 核心总结 看一看(1)常用方法:含有逻辑联结词命题真假的判断方法;含一个量词的命题的否定方法.(2)数学思想:转化与化归.(3)记忆口诀:逻辑联词或且非,或命题一真就真,且命题全真才真,非命题真假交换.量词一般有两个,全称量词所有的,存在量词有一个,若要否定变形式.【小题快练】1.思考辨析 静心思考 判一判(1)命题“56或52”是假命题.()(2)若命题pq为真,则p为真或q为真.()(3)“长方形的对角线相等”是特称命题.()(4)命题“菱形的对
3、角线相等”的否定是“菱形的对角线不相等”.()【解析】(1)错误.命题pq中,p或q有一真则pq为真.(2)错误.pq为真,则p,q同时为真.(3)错误.命题“长方形的对角线相等”可叙述为“任意长方形的对角线相等”,是全称命题.(4)错误.“菱形的对角线相等”是全称命题,其否定为“有的菱形的对角线不相等”.答案:(1)(2)(3)(4)2.教材改编 链接教材 练一练(1)(选修1-1P18T1(3)改编)若p:2是偶数,q:3不是素数,则命题pq是 命题,pq是 命题.(填“真”“假”)【解析】命题p是真命题,q是假命题,则pq是真命题,pq是假命题.答案:真 假(2)(选修1-1P26T3(
4、2)改编)命题“所有可以被5整除的整数,末位数字都是0”的否定为 .【解析】全称命题的否定为特称命题,其否定为“有些可以被5整除的整数,末位数字不是0”.答案:“有些可以被5整除的整数,末位数字不是0”3.真题小试 感悟考题 试一试(1)(2014湖南高考)设命题p:xR,x2+10,则p为()A.x0R,x02+10 B.x0R,x02+10 C.x0R,x02+1y,则-xy,则x2y2.在命题 pq;pq;p(q);(p)q中,真命题是()A.B.C.D.(2)若命题“pq”为假命题,且“p”为假命题,则()A.“p或q”为假 B.q假 C.q真 D.p假【解题提示】(1)先判断命题p,
5、q的真假,再根据真值表求解.(2)根据真值表判断.【规范解答】(1)选C.由不等式的性质,得p真,q假.由“或、且、非”的真假判断得到假,真,真,假.(2)选B.由“p”为假,知“p”为真,又“pq”为假命题,从而q为假命题.【规律方法】1.判断含有逻辑联结词命题真假的步骤(1)先判断简单命题p,q的真假.(2)再根据真值表判断含有逻辑联结词命题的真假.2.含逻辑联结词命题真假的等价关系(1)pq真p,q至少一个真(p)(q)假.(2)pq假p,q均假(p)(q)真.(3)pq真p,q均真(p)(q)假.(4)pq假p,q至少一个假(p)(q)真.(5)p真p假;p假p真.【变式训练】(201
6、5长春模拟)已知命题p:函数y=2-ax+1(a0且a1)恒过(1,2)点;命题q:若函数f(x-1)为偶函数,则f(x)的图象关于直线x=1对称,则下列命题为真命题的是()A.pq B.pq C.pq D.pq【解析】选D.函数y=2-ax+1恒过定点(-1,1),故命题p是假命题,p 是真命题;函数f(x)的图象是由函数f(x-1)的图象向左平移一个单位 得到的,所以函数f(x)的图象关于直线x=-1对称,因此q为假命题,q为真命题,从而pq为真命题,故选D.【加固训练】1.命题p:函数f(x)=x3-3x在区间(-1,1)内单调递减,命 题q:函数f(x)=|sin2x|的最小正周期为,
7、则下列命题为真命题的是()A.pq B.(p)q C.pq D.(p)(q)【解析】选C.由f(x)=3x2-30,解得-1x0 B.xN,x20 C.x0R,ln x01 D.x0N*,sin x0=1 2【解题提示】联系二次函数、指数函数、对数函数、三角函数的性质解答.【规范解答】选B.对于B,当x=0时,x2=0,因此B中命题是假命题.命题角度2:全称命题、特称命题的否定【典例3】(1)(2014福建高考)命题“x0,+),x3+x0”的否定是()A.x(-,0),x3+x0 B.x(-,0),x3+x0 C.x00,+),x03+x00 D.x00,+),x03+x00(2)(2015
8、武汉模拟)命题“x0RQ,x03Q”的否定是()A.x0RQ,x03Q B.x0RQ,x03Q C.xRQ,x3Q D.xRQ,x3Q【解题提示】(1)全称命题的否定为特称命题.(2)从改量词,否定结论两个方面着手.【规范解答】(1)选C.命题“x0,+),x3+x0”的否定是“x00,+),x03+x00”.(2)选D.“x0RQ”的否定为“xRQ”,根据条件“x03Q”的否定改写为“x3Q”.悟技法 1.全称命题与特称命题真假的判断方法 命题名称真假判断方法一判断方法二全称命题真所有对象使命题真否定为假假存在一个对象使命题假否定为真特称命题真存在一个对象使命题真否定为假假所有对象使命题假否
9、定为真提醒:不管是全称命题,还是特称命题,若其真假不容易正面判断时,可先判断其否定的真假.2.全称命题与特称命题的否定(1)否定量词:确定命题所含量词的类型,省去量词的要结合命题的含义加上量词,再对量词进行否定.(2)否定结论:对原命题的结论进行否定.通一类 1.(2013新课标全国卷)已知命题p:xR,2x3x;命题q:x0R,x03=1-x02,则下列命题中为真命题的是()A.pq B.pq C.pq D.pq【解析】选B.对于命题p:取x=-1,可知为假命题,p为真命题;对于 命题q:令f(x)=x3+x2-1,则f(0)f(1)0 C.p是真命题;p:xR,log2(3x+1)0 D.
10、p是真命题;p:xR,log2(3x+1)0【解析】选B.因为3x+11,所以log2(3x+1)0恒成立,则命题p是假命题;又p:xR,log2(3x+1)0,故选B.考点3 根据命题的真假求参数的取值范围 【典例4】(1)(2015太原模拟)已知命题p:x0R,ex0-mx0=0,q:xR,x2+mx+10,若p(q)为假命题,则实数m的取值范围 是()A.(-,0)(2,+)B.0,2 C.R D.(2)已知c0,且c1,设p:函数y=cx在R上单调递减;q:函数f(x)=x2-2cx+1在(,+)上为增函数,若“p且q”为假,“p或q”为真,求实 数c的取值范围.12【解题提示】(1)
11、根据p(q)为假命题确定p,q的真假,再根据p,q的真假求m的取值范围.(2)先求p,q为真时c的取值范围,再根据p,q的真假求实数c的范围.【规范解答】(1)选B.由p(q)为假命题知p假q真.由p假知命题“xR,ex-mx0”为真命题,即函数y=ex与y=mx的图象无交点.设 直线y=mx与曲线y=ex相切的切点为(x0,y0),则切线方程为y-=(x-x0),又切线过原点,则可求得x0=1,y0=e,从而m=e,所 以命题p为假时有0me.命题q为真时有=m2-40.即-2m2.综 上知,m的取值范围是0m2.0 xe0 xe(2)因为函数y=cx在R上单调递减,所以0c1.即p:0c0
12、且c1,所以p:c1.又因为f(x)=x2-2cx+1在(,+)上为增函数,所以c .即q:00且c1,所以q:c ,且c1.又因为“p或q”为真,“p且q”为假,所以p真q假或p假q真.12121212当p真,q假时,c|0c 且c1=c|c1c|0c =.综上所述,实数c的取值范围是c|c2或m0.【规律方法】根据命题的真假求参数取值范围的求解策略(1)含有逻辑联结词的命题要先确定构成命题的(一个或两个)简单命题的真假,求出此时命题成立的参数的取值范围,再求出含逻辑联结词的命题成立的参数的取值范围.(2)全称命题可转化为恒成立问题.【变式训练】命题“x0R,2x02-3ax0+90对任意x
13、恒成立.若命题q(pq)真、p真,则实数m的取值范围是 .【解析】由于p真,所以p假,则pq假,又q(pq)真,故q真,即命题p假、q真.当命题p假时,即方程x2-mx+1=0无实数解,此时m2-40,解得-2m2;当命题q真时,4-4m1.所以所求的m的取值范围是1m0,总有(x+1)ex1,则p为()A.x00,使得(x0+1)ex01 B.x00,使得(x0+1)ex01 C.x0,总有(x+1)ex1 D.x0,总有(x+1)ex1【解题过程】【错解分析】分析上面解题过程,你知道错在哪里吗?提示:对于方法一,“x0”否定错误;对于方法二,只否定了结论,没有否定量词;对于方法三,“x0”否定错误.【规避策略】(1)分清命题形式:弄清楚是全称命题还是特称命题,尤其是省略了量词的命题.(2)掌握含量词命题的否定方法:全(特)称命题的否定应从两个方面着手:一是量词变化,“”与“”互换;二是否定命题的结论,但不能否定命题的条件.【自我矫正】选B.“x0”的否定为“x00”,“(x+1)ex1”的否定为“(x+1)ex1”,故命题的否定为“x00,使得(x0+1)ex0 1”,故选B.
