1、第六章不等式、推理与证明第三节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题微知识 小题练微考点 大课堂微考场 新提升微专题 巧突破2017考纲考题考情考纲要求真题举例命题角度1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组；2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决。2016，全国卷，16,5分(线性规划的实际应用)2016，全国卷，13,5分(求最优解)2015，全国卷，15,5分(非线性规划求最值)2015，全国卷，14,5分(求目标函数最值)2014，全国卷，9,5分(求目标函数最值)线性规划问题是高考命题的热
2、点，难度中等偏下，主要考查可行域的画法、目标函数最值的求法、由最优解(可行域)情况确定参数的范围，以及数形结合的思想。微知识 小题练 教材回扣 基础自测 1二元一次不等式(组)表示的平面区域公共部分不等式表示区域AxByC0直线AxByC0某一侧的所有点组成的平面区域不包括边界直线AxByC0包括_不等式组各个不等式所表示平面区域的_边界直线 2线性规划中的有关概念名称意义约束条件由变量x，y组成的_线性约束条件由x，y的一次不等式组成的_目标函数关于x，y的函数，如zx2y线性目标函数关于x，y的解析式可行解满足线性约束条件的解(x，y)可行域所有组成的集合最优解使目标函数取得的可行解线性规
3、划问题在线性约束条件下求线性目标函数的或问题最小值不等式(组)不等式(组)解析式一次可行解最大值或最小值最大值 3.确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法 确定二元一次不等式(组)表示的平面区域时，经常采用“直线定界，特殊点定域”的方法。(1)直线定界，不等式含等号，直线在区域内，不含等号，直线不在区域内。(2)特殊点定域，在直线上方(下方)取一点，代入不等式成立，则区域就为上方(下方)，否则就是下方(上方)。特别地，当C0时，常把原点作为测试点；当C0时，常选点(1,0)或者(0,1)作为测试点。微点提醒 1判断二元一次不等式表示的平面区域的常用结论 把AxByC0或AxByCkxb或
4、ykxb则区域为直线AxByC0上方。(2)若y0，则直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴上截距最小时，z值最小；若b0，则相反。小|题|快|练一、走进教材1(必修 5P86 练习 T3 改编)不等式组x3y60，xy20表示的平面区域是()【解析】x3y60，则必有 BCAB，因为 xy40 的斜率为1，所以直线 kxy0 的斜率为 1，即 k1。故选 A。【答案】A考点二求目标函数的最值多维探究角度一：线性目标函数的最值【典例 2】(2016全国卷)若 x，y 满足约束条件xy10，xy30，x30，则 zx2y 的最小值为_。【解析】解法一：作出可行域，如图中阴影部分所示，
5、由 zx2y 得 y12x12z，作直线 y12x 并平移，观察可知，当直线经过点A(3,4)时，zmin3245。解法二：因为可行域为封闭区域，所以线性目标函数的最值只可能在边界点处取得，易求得边界点分别为(3,4)，(1,2)，(3,0)，依次代入目标函数可求得 zmin5。【答案】5反思归纳 解决简单的线性规划问题的基本方法是图象法，即作出可行域后，要求目标函数 zaxby 的最值，先作出直线 axby0，然后平行移动直线 axby0，使它与可行域有公共点，可得到 z 的取值范围，则最值易得。在确定 z 的取值范围时应注意两点：一是斜率，即由 zaxby(当 b0 时)得 l：yabxz
6、b，在确定 z 的取值范围时，需要比较斜率 kab与可行域边界的斜率的大小关系，从而确定直线 l 移动的范围；二是截距，即 z 的最值可由 l 在 y 轴上的截距来确定，但需要注意的是当 b0，y2。(1)若 zyx，求 z 的最大值和最小值，并求 z 的取值范围；(2)若 zx2y2，求 z 的最大值与最小值，并求 z 的取值范围。【解析】由xy10，x0，y2作出可行域，如图中阴影部分所示。(1)zyx表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率，因此yx的范围为直线 OB 的斜率到直线 OA 的斜率(直线 OA 的斜率不存在，即 zmax 不存在)。由xy10，y2，得 B(1,2)，kOB2
7、12，即 zmin2，z 的取值范围是2，)。(2)zx2y2 表示可行域内的任意一点与坐标原点之间距离的平方。因此 x2y2 的值最小为|OA|2(取不到)，最大值为|OB|2。由xy10，x0，得 A(0,1)，|OA|2(0212)21，|OB|2(1222)25，z 的取值范围是(1,5。【答案】(1)最大值不存在，最小值 2，取值范围2，)(2)最大值 5，最小值无 取值范围(1,5【解析】zy1x1可以看作过点 P(1,1)及(x，y)两点的直线的斜率。z 的取值范围是(，0)。【答案】(，0)【母题变式】1.若 zy1x1，求 z 的取值范围。2若zx2y22x2y3，求z的最大
8、值、最小值。【解析】zx2y22x2y3(x1)2(y1)21，而(x1)2(y1)2 表示点 P(1,1)与 Q(x，y)的距离的平方|PQ|2，|PQ|2max(01)2(21)22，|PQ|2min|111|1212212，zmax213，zmin12132。【答案】最大值 3，最小值32反思归纳 当目标函数是非线性的函数时，常利用目标函数的几何意义来解题，常见代数式的几何意义有：1.x2y2表示点(x，y)与原点(0,0)的距离，xa2yb2表示点(x，y)与点(a，b)的距离；2.yx表示点(x，y)与原点(0,0)连线的斜率，ybxa表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率。角度三
9、：线性规划中的参数问题【典例 4】已知 x，y 满足约束条件xy0，xy2，y0。若 zaxy 的最大值为 4，则 a()A3 B2C2 D3【解析】画出不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，若zaxy的最大值为4，则最优解为x1，y1或x2，y0，经检验知x2，y0符合题意，2a04，此时a2，故选B。【答案】B 反思归纳 求解线性规划中含参问题的基本方法有两种：一是把参数当成常数用，根据线性规划问题的求解方法求出最优解，代入目标函数确定最值，通过构造方程或不等式求解参数的值或取值范围；二是先分离含有参数的式子，通过观察的方法确定含参的式子所满足的条件，确定最优解的位置，从而求出参数。角度
10、四：线性规划的实际应用【典例5】(2016全国卷)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料。生产一件产品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3个工时。生产一件产品A的利润为2 100元，生产一件产品B的利润为900元。该企业现有甲材料150 kg，乙材料90 kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为_元。【解析】由题意，设产品 A 生产 x 件，产品 B 生产 y 件，则总利润 z2 100 x900y，约束条件为1.5x0.5y150，x0.3y90，5x3y600，
11、xN，yN，作出不等式组表示的可行域如图阴影部分(包括边界)中的整数点所示。由 xN，yN，可知 z 取得最大值时的最优解为(60,100)，所以 zmax2 10060900100216 000(元)。【答案】216 000 反思归纳 本题来源于人民教育出版社数学必修5(A版)第91页练习第2题：某厂拟生产甲、乙两种适销产品，每件销售收入分别为3 000元、2 000元。甲、乙产品都需要在A，B两种设备上加工，在每台A，B设备上加工1件甲设备所需工时分别为1 h、2 h，加工1件乙设备所需工时分别为2 h、1 h，A，B两种设备每月有效使用台时数分别为400 h和500 h。如何安排生产可使
12、收入最大？教材习题和高考真题的相同点都是以生产两种产品为背景，研究获利最大的问题；不同点是说法的过程不一样，数据进行变更，难度差不多，并且把解答题变为填空题。微考场 新提升 考题选萃 随堂自测 1不等式y3xb所表示的区域恰好使点(3,4)不在此区域内，而点(4,4)在此区域内，则b的取值范围是()A8b5 Bb8或b5 C8b33b，434b，b5，b8。即8b0，x，y 满足约束条件x1，xy3，yax3，若z2xy 的最小值为 1，则 a()A.12B.13C1 D2解析 如图所示，目标函数 z2xy 在点(1，2a)处取得最小值，212a1，解得 a12。答案 A解析 作出可行域如图中
13、阴影部分所示，由可行域知，在点 A(1,3)处，yx取得最大值 3。答案 34(2015全国卷)若 x，y 满足约束条件x10，xy0，xy40，则yx的最大值为_。5(2016郑州模拟)已知实数 x，y 满足2xy0，xy0，0 xa，设 bx2y，若 b 的最小值为2，则 b 的最大值为_。解析 画出可行域，如图中阴影部分所示。由 bx2y 得，y12xb2。易知在点(a，a)处 b 取最小值，故 a2a2，可得 a2。在点(2，4)处 b 取最大值，于是 b 的最大值为 2810。答案 10微专题 巧突破 冲击名校 自主阅读 破解含参变量的线性规划问题 线性规划是沟通代数与几何的桥梁，是
14、数形结合思想的集中体现。传统的线性规划问题主要研究的是在线性或非线性约束条件下求解目标函数的最值，就知识本身而言并不是难点。但是，近年来这类问题的命题设置在能力立意的命题思想指导下出现了新的动向：一方面将它与函数、方程、不等式、数列、平面向量、解析几何等知识交汇在一起；另一方面在这些问题背景中引进参变量，变换设问角度，提高思维强度，增加题目难度。下面我们对线性规划中参变量的新情景设置给出深度分析，帮助同学们走出思维误区，正确求解线性规划问题。一、约束条件中设置的参变量 不等式组中含有参变量是线性规划命题的新动向之一，由于不能明确可行域的形状，因此增加了解题时画图分析的难度。求解这类问题时要有全
15、局观念，结合目标函数逆向分析题意，整体把握解题的方向。1制约可行域的形状【典例 1】已知实数 x，y 满足y0，xy1，x2y4，xmyn0，若该不等式组所表示的平面区域是一个面积为54的直角三角形，则 n 的值是()A32 B2 C2 D.12【解析】不等式组y0，xy1，x2y4所表示的平面区域如图中阴影部分所示。当直线 xmyn0 与直线 x2y4 垂直时，m12，直线方程变为 2xy2n0，与 x 轴交点坐标为(n,0)，与直线 x2y4 交点的纵坐标为82n5。此时三角形的面积为12(4n)82n54n2554，解得 n32(n132 舍去)。当直线 xmyn0 与 x 轴垂直或与直
16、线 xy1 垂直时，求出的值均不符合条件。故选 A。【答案】A2制约目标函数的最值【典例 2】设变量 x，y 满足约束条件x0，y3x，xay7，其中 a1，若目标函数 zxy 的最大值为 4，则 a的值为_。【解析】根据题意作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示。令 yxz，则 z 的几何意义是直线 yxz 的纵截距，则欲使 z 最大，只需使直线 yxz 的纵截距最大即可。因为 a1，所以直线 xay7 的斜率大于1，于是当直线 yxz 经过直线 y3x 与直线 xay7 的交点713a，2113a 时，目标函数 z 取得最大值，最大值为 2813a。由题意得 2813a4，解得 a2
17、。故填 2。【答案】2二、目标式中设置的参变量目标函数中设置参变量是线性规划命题的又一种新动向，旨在增加探索问题的动态性和开放性，考查考生的探究性思维能力。从目标函数的结论入手，对图形的动态分析和对变化过程中的相关量的准确定位是求解这类问题的主要思维方法。1求解目标式中的参数值【典例 3】已知实数 x，y 满足约束条件xy20，x2y20，2xy20，若 zyax 取得最大值的最优解不唯一，则实数 a 的值为_。【解析】实数x，y满足约束条件表示的可行域如图所示，将zyax化成斜截式为yaxz，要使z取得最大值的最优解不唯一，则yaxz在平移过程中与直线xy20重合或与直线2xy20重合，所以
18、a1或2。故填1或2。【答案】1或2【易错总结】目标函数的最优解不唯一的问题，往往是指目标函数取得最值时所表示的直线过可行域中的一条边。据此，求解这类问题的方法可以让目标函数所表示的直线与可行域中的每条边界直线重合，从而求解。利用这种方法求解时，切记要进行检验，区分何时取得最大值的最优解不唯一，何时取得最小值的最优解不唯一，不能出错。2探究目标式中的参数范围【典例 4】已知点 O 是坐标原点，点 A(1，2)，若点 M(x，y)是平面区域xy2，x1，y2上的一个动点，OA(OA MA)1m0 恒成立，则实数 m 的取值范围是_。【解析】因为OA(1，2)，OM(x，y)，所以OA(O AMA
19、)OA OM x2y。所以不等式OA(OA MA)1m0 恒成立等价于x2y1m0，即1mx2y 恒成立。设 zx2y，作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，当目标函数 zx2y 表示的直线经过点 D(1,1)时取得最小值，最小值为 1213；当目标函数 zx2y 表示的直线经过点 B(1,2)时取得最大值，最大值为 1225。所以 x2y3,5，于是要使1mx2y 恒成立，只需1m3，解得 m13或 m0，即实数 m 的取值范围是(，0)13，。【答案】(，0)13，【易错总结】目标函数以向量的形式出现是一种新的创意，本题易错点是面对目标中的向量关系不知道如何转化。求解线性规划问题的基本形式是探究二元目标函数的最值，因此转化向量关系的主要思路和基本目标就是找到其中对应的二元目标函数，然后结合可行域求解最值。高考中的线性规划问题，既继承了传统的由二元不等式组构成条件，探究二元目标函数最值的基本形式，同时还赋予了创新的命题形式。变更题设条件或目标式中的线性关系为非线性关系，同时渗透参变量的命题风格，增加了可行域条件的动态变化方式，转化了目标函数的探求类型，提升了对问题探究的能力要求，这就要求同学们在面对这些全新的问题时要与时俱进地进行创新分析，增加应变智慧，才能提升我们的解题能力。
