1、专项2 平行线中的“拐点”问题“拐点”在内部 “拐点”在外部 类型1 含一个“拐点”的平行线问题模型展示1.原创题如图,ABCD,BEC=100,若1=35,则2等于()A.95B.105 C.115D.120 类型1 含一个“拐点”的平行线问题答案1.C 如图,过点E作EFAB.又ABCD,ABEFCD,2+FEC=180,BEF=1=35.又BEC=100,FEC=BEC-BEF=100-35=65,2=180-FEC=180-65=115.2.2020湖北鄂州中考如图,ab,一块含45角的直角三角板的一个顶点落在其中一条直线上.若1=65,则2的度数为()A.25B.35C.55D.65
2、 类型1 含一个“拐点”的平行线问题答案2.A 如图所示,过直角顶点作ca,ab,abc,3=1=65,2=4,4=90-3=25,2=4=25.3.已知平面内的直线有相交和平行两种位置关系.(1)如图1,已知ABCD,试说明:BPD=B+D.(2)如图2,已知ABCD,试说明:BOD=P+D.(3)根据图3,试判断BPD,B,D,BQD之间的数量关系,并说明理由.类型1 含一个“拐点”的平行线问题类型1 含一个“拐点”的平行线问题答案3.解:(1)过点P作PEAB,如图1所示.因为ABPE,(辅助线)ABCD,(已知)所以ABPECD.(在同一平面内,平行于同一直线的两条直线互相平行)所以B
3、=BPE,D=DPE,(两直线平行,内错角相等)所以BPD=BPE+DPE=B+D.(等量代换)(2)过点P作PECD,如图2所示.因为PECD,(辅助线)所以BOD=BPE,(两直线平行,同位角相等)D=DPE,(两直线平行,内错角相等)所以BOD=BPE=BPD+DPE=BPD+D.(等量代换)类型1 含一个“拐点”的平行线问题答案(3)数量关系:BPD=BQD+B+D.理由如下:过点P作PECD,过点B作BFPE,如图3所示.则BFPECD,所以FBA+BQD=180,FBP+BPE=180,(两直线平行,同旁内角互补)D=DPE,(两直线平行,内错角相等)又因为FBA=FBP+PBA,
4、所以FBP+PBA+BQD=180,180-BPE+PBA+BQD=180,所以BPE=BQD+PBA,所以BPD=BPE+DPE=BQD+PBA+D.(等量代换)4.如图,已知ABCD,1=2.试说明:BEF=EFC.类型2 含多个“拐点”的平行线问题答案4.解:解法一 如图,分别过点E,F作EMAB,NFCD,易知ABEMNFCD,1=BEM,MEF=EFN,NFC=2,1=2,BEF=BEM+MEF=2+EFN=NFC+EFN=EFC,即BEF=EFC.类型2 含多个“拐点”的平行线问题答案解法二 如图,连接BC,ABCD,ABC=DCB,又1=2,EBC=FCB,BECF,BEF=EF
5、C.解法三 如图,延长BE交DC的延长线于点H.ABCD,1=H.1=2,H=2,BHFC,BEF=EFC.5.2021河北邢台期中如图,点A、B分别在直线CM,DN上,CMDN.(1)如图1,连接AB,则CAB+ABD=;(2)如图2,点P1是直线CM,DN内部的一个点,连接AP1,BP1.试说明:CAP1+AP1B+P1BD=360;(3)如图3,点P1,P2是直线CM,DN内部两个不重合的点,连接AP1,P1P2,P2B.试求CAP1+AP1P2+P1P2B+P2BD的度数;(4)若按以上规律,猜想并直接写出CAP1+AP1P2+P5BD的度数(不必写出过程).类型2 含多个“拐点”的平
6、行线问题类型2 含多个“拐点”的平行线问题答案5.解:(1)180.(2)如图1,过点P1作EP1CM,易知CMEP1DN,AP1E+CAP1=180,EP1B+P1BD=180,CAP1+AP1B+P1BD=CAP1+AP1E+EP1B+P1BD=180+180=360.(3)如图2,过点P1作EP1CM,过点P2作FP2DN,易知CMEP1FP2DN,AP1E+CAP1=180,EP1P2+P1P2F=180,FP2B+P2BD=180,CAP1+AP1P2+P1P2B+P2BD=CAP1+AP1E+EP1P2+P1P2F+FP2B+P2BD=3180=540.(4)CAP1+AP1P2+P5BD=6180=1 080.
