1、第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入第三节 平面向量的数量积与平面向量的应用举例第二课时平面向量的应用微考点 大课堂微考场 新提升微考点 大课堂 考点例析 对点微练【解析】由题意得|axb|ab|a22xabx2b2a22abb2x22abx12ab0，所以 4(ab)24(12ab)0(ab1)20，所以 ab1，cosa，b ab|a|b|12，即 a 与 b 的夹角为23。【答案】23考点一平面向量在函数、不等式中的应用【典例 1】已知向量 a，b 满足|a|2，|b|1，且对一切实数 x，|axb|ab|恒成立，则 a，b 的夹角的大小为_。反思归纳 平面向量沟通了几何与代数、函数
2、、不等式的相关知识如：函数单调性、奇偶性、不等式的解法、不等式的证明、不等式的恒成立等问题必然会与平面向量相关联，以考查学生分析和解决问题的能力。【变式训练】(1)已知单位向量 a，b，满足 ab，则函数 f(x)(xa2b)2(xR)()A既是奇函数又是偶函数B既不是奇函数也不是偶函数C是偶函数D是奇函数(2)设 e1，e2 是平面内两个不共线的向量，AB(a1)e1e2，ACbe12e2(a0，b0)，若 A，B，C 三点共线，则1a2b的最小值是()A2 B4C6 D8【解析】(1)因为单位向量 a，b，满足 ab，所以 ab0，所以f(x)(xa2b)2x24xab4x24。又 f(x
3、)(x)24x24f(x)，所以函数 f(x)为偶函数。故选 C。(2)因为 A，B，C 三点共线，所以(a1)(2)1b，所以 2ab2。因为 a0，b0，所以1a2b2ab2 1a2b 22ab b2a22 2ab b2a4(当且仅当2ab b2a，即 a12，b1 时取等号)。故选 B。【答案】(1)C(2)B【解析】由原等式，得OP OA(ABAC)，即AP(ABAC)，根据平行四边形法则，知ABAC是ABC 的中线 AD(D 为 BC 的中点)所对应向量AD 的 2 倍，所以点 P 的轨迹必过ABC 的重心。故选 C。【答案】C考点二平面向量在平面几何中的应用母题发散【典例 2】已知
4、 O 是平面上的一定点，A，B，C 是平面上不共线的三个动点，若动点 P 满足OP OA(ABAC)，(0，)，则点 P的轨迹一定通过ABC 的()A内心B外心C重心D垂心【解析】由条件，得OP OA AB|AB|AC|AC|，即APAB|AB|AC|AC|，而 AB|AB|和 AC|AC|分 别 表 示 与 AB，AC 同 向 的 单 位 向 量，故 AB|AB|AC|AC|平 分BAC，即AP平分BAC，所以点 P 的轨迹必过ABC 的内心。【答案】内心【母题变式】在本典例中，若动点 P 满足OP OA AB|AB|AC|AC|，(0，)，则点 P 的轨迹一定通过ABC 的_。反思归纳 解
5、决向量与平面几何综合问题，可先利用基向量或坐标系建立向量与平面图形的联系，然后通过向量运算研究几何元素之间的关系。【拓展变式】如图，RtABC 中，C90，其内切圆切 AC 边于D 点，O 为圆心。若|AD|2|CD|2，则BO AC_。【解析】以 CA 所在的直线为 x 轴，CB 所在的直线为 y 轴，建立平面直角坐标系(分别以射线 CA、CB 的方向为 x 轴、y 轴的正方向)，则C(0,0)，O(1,1)，A(3,0)。设直角三角形的内切圆与 AB 边切于点 E，与 CB 边切于点 F，则由圆的切线长定理可得 BEBF，ADAE2，设 BEBFx，在 RtABC中，有 CB2CA2AB2
6、，即(x1)29(x2)2，解得 x3，故 B(0,4)。BO AC(1，3)(3,0)3。【答案】3考点三平面向量在三角函数中的应用多维探究角度一：平面向量在三角函数图象与性质中的应用【典例 3】已知函数 f(x)3sinx(0)的部分图象如图所示，A，B 分别是这部分图象上的最高点、最低点，O 为坐标原点，若OA OB 0，则函数 f(x1)是()A周期为 4 的奇函数B周期为 4 的偶函数C周期为 2 的奇函数D周期为 2 的偶函数【解析】由题图可得A2，3，B32，3，由OA OB 0得324230，又0，2，f(x)3sin2x，f(x1)3sin2(x1)3cos2x，它是周期为4
7、的偶函数。故选B。【答案】B【解析】(1)mnsinAcosBsinBcosAsin(AB)，对于ABC，ABC,0C0，0，|0)的焦点 F 的直线 l 与抛物线在第一象限的交点为 A，与抛物线的准线的交点为 B，点 A 在抛物线的准线上的射影为 C，若AFFB，BABC48，则抛物线的方程为()Ay28xBy24xCy216xDy24 2x【解析】如图，AFFBF为线段AB的中点，|AF|AC|，ABC30，由 BA BC 48得|BC|43，则|AC|4。由中位线性质有p 12|AC|2，故抛物线的方程为y24x。故选B。【答案】B反思归纳 向量在解析几何中的应用：1载体作用：向量在解析
8、几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题时关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题。2工具作用：利用数量积与共线定理可解决垂直、平行问题。特别地，向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较可行的方法。【解析】(1)设P(x，y)，则Q(8，y)。由PC12PQ PC12PQ 0，得|PC|214|PQ|20，即(x2)2y214(x8)20，化简得x216y2121。所以点P在椭圆上，其方程为x216y2121。【变式训练】已知平面上一定点C(2,0)和直线l：x8，P为该平面上一动点
9、，作PQl，垂足为Q，且PC12PQ PC12PQ 0。(1)求动点P的轨迹方程；(2)若EF为圆N：x2(y1)21的任一条直径，求PEPF的最值。(2)PEPF(NENP)(NFNP)(NFNP)(NFNP)NP 2NF 2NP 21，P是椭圆x216y2121上的任一点，设P(x0，y0)，则有x2016y20121，即x20164y203，又N(0,1)，所以NP 2x20(y01)213y202y01713(y03)220。因为 y02 3，2 3，所以当 y03 时，NP 2 取得最大值 20，故PEPF的最大值为 19；当 y02 3时，NP 2 取得最小值为 134 3(此时
10、x00)，故PEPF的最小值为 124 3。【答案】(1)x216y2121(2)最大值为 19，最小值为 124 3微考场 新提升考题选萃 随堂自测解析 a(1，sin)，b(1，cos)，ab(0，sincos)，|ab|02sincos2 1sin2。|ab|的最大值为 2。故选 B。答案 B1已知向量 a(1，sin)，b(1，cos)，则|ab|的最大值为()A1 B.2C.3D2解析 f(x)(ab)x2(a2b2)xab。依题意知 f(x)的图象是一条直线，ab0，即 ab。故选 A。答案 A2设 a，b 是非零向量，若函数 f(x)(xab)(axb)的图象是一条直线，则必有(
11、)AabBabC|a|b|D|a|b|3(2016郴州质检)已知ABC 的外心 P 满足AP13(ABAC)，则 cosA()A.12B.32C13D.33解析 取 BC 的中点 D，连接 AD，PD，则APAD DP 12(ABAC)DP，又AP13(ABAC)，所以PD 16(ABAC)。由PD BC16(ABAC)(ACAB)0，得|AB|AC|。又AP2PD，所以 P 又是重心，所以ABC 是等边三角形，所以 cosAcos6012。故选 A。答案 A解析 由 x2(y2)25，可知圆心 C(0,2)，半径 r 5，所以|AC|302122 10，所以|AB|105 5，所以ACB45
12、，所以CACB 10 5cos455。答案 54(2017唐山模拟)过点 A(3,1)的直线 l 与圆 C：x2y24y10 相切于点 B，则CACB_。解析 由CO xCAyCB，且 xy1，可知 A，O，B 三点共线，所以|CO|的最小值为 AB 边上的高，又 ACBC1，即 O 为 AB 的中点，且函数 f(m)|CAmCB|的最小值为 32，5在ABC 中，ACB 为钝角，ACBC1，CO xCAyCB，且xy1。若函数 f(m)|CAmCB|(mR)的最小值为 32，则|CO|的最小值为_。即点 A 到 BC 边的距离为 32。又 AC1，所以ACB120，从而可得|CO|的最小值为12。答案 12
