1、第二章 函数、导数及其应用第四节二次函数与幂函数微知识 小题练微考点 大课堂微考场 新提升微专题 巧突破2017 考纲考题考情考纲要求真题举例命题角度1.了解幂函数的概念；2.结合函数 yx，yx2，yx3，y1x，yx12的图象，了解它们的变化情况；3.理解并掌握二次函数的定义、图象及性质。2016，全国卷，3,5 分(幂函数的性质)2015，天津卷，8,5分(二次函数的图象)2015，福建卷，9,5分(二次方程的根)1.幂函数一般不单独命题，而常与指数函数、对数函数交汇命题，题型一般为选择题、填空题，主要考查幂函数的图象与性质；2.对二次函数相关性质的考查是命题热点，大多以选择、填空题出现
2、。微知识 小题练 教材回扣 基础自测 自|主|排|查 1幂函数(1)定义：一般地，函数_叫做幂函数，其中底数_是自变量，是常数。(2)幂函数的图象比较：yxx 2二次函数(1)解析式：一般式：f(x)_。顶点式：f(x)_。两根式：f(x)_。ax2bxc(a0)a(xh)2k(a0)a(xx1)(xx2)(a0)(2)图象与性质：解析式f(x)ax2bxc(a0)f(x)ax2bxc(a0时，在(0，)上都是增函数，当 0 时，在(0，)上都是减函数，而不能说在定义域上是增函数或减函数。3对于函数 yax2bxc，要认为它是二次函数，就必须满足 a0，当题目条件中未说明 a0 时，就要讨论
3、a0 和 a0 两种情况；二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向以及给定区间的范围有关，不能盲目利用配方法得出结论。4数形结合是讨论二次函数问题的基本方法。特别是涉及二次方程、二次不等式的时候常常要结合图形寻找思路。【解析】由 f(0)0，f(3)0，得c0，93bc0，解得c0，b3，所以 f(x)x23x，所以 f(1)4。故选 D。【答案】D小|题|快|练一、走进教材1(必修 1P24A 组 T6 改编)若函数 f(x)x2bxc，且 f(0)0，f(3)0，则 f(1)()A1 B2C1 D4【解析】设幂函数的解析式为 yx，由于函数图象过点(8,4)，故有 48，解得 23，该函数
4、的解析式是 yx23。故选 D。【答案】D2(必修 1P79 习题 2.3T2 改编)已知幂函数 f(x)的图象过点(8,4)，该幂函数的解析式是()AyxByx2Cyx1Dyx23【解析】f(x)的对称轴为 x1a2，若为增函数需1a2 2，即 a3，若为减函数需1a2 5，即 a9，所以 a 的范围为(，93，)。【答案】(，93，)3(必修 1P44A 组 T9 改编)已知函数 f(x)x2(a1)xa 在区间2,5上单调，则 a 的范围为_。【解析】显然 f(x)f(x)，说明函数是奇函数，同时由当 0 xx；当 x1 时，x13x，知只有 B 选项符合。【答案】B二、双基查验1函数
5、yx13的图象是()【解析】设所求函数的解析式为 ya(xh)2k(a0)，由题意可知 a2，h1，k3，故 y2(x1)23。故选 D。【答案】D2已知某二次函数的图象与函数 y2x2 的图象的形状一样，开口方向相反，且其顶点为(1,3)，则此函数的解析式为()Ay2(x1)23 By2(x1)23Cy2(x1)23 Dy2(x1)23【解析】|OA|OB|x1|x2|x1x2|ca ca(a0)。故选 B。【答案】B3.如图所示，是二次函数 yax2bxc 的图象，则|OA|OB|等于()A.ca BcaCca D无法确定【解析】如图，由图象可知 m 的取值范围是1,2。【答案】1,24已
6、知函数 yx22x3 在闭区间0，m上有最大值 3，最小值 2，则 m 的取值范围为_。【答案】yx-12(0，)5已知幂函数 yf(x)的图象过点2，22，则此函数的解析式为_；在区间_上递减。微考点 大课堂 考点例析 对点微练考点一幂函数的图象与性质【典例 1】(1)已知幂函数 f(x)(n22n2)xn2-3n(nZ)的图象关于 y 轴对称，且在(0，)上是减函数，则 n 的值为()A3 B1C2 D1 或 2(2)若 a1223，b1523，c1213，则 a，b，c 的大小关系是()AabcBcabCbcaDbac【解析】(1)由于 f(x)为幂函数，所以 n22n21，解得 n1
7、或n3，经检验只有 n1 适合题意。故选 B。(2)因为 yx23在第一象限内是增函数，所以 a1223b1523，因为 y12x 是减函数，所以 a1223c1213，所以 bac。故选 D。【答案】(1)B(2)D反思归纳 1.对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即 x1，y1，yx 分区域。根据 0,01，1，1 的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定。2在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较。【解析】因为 f(x)是幂函数，所以 m2m11，解得 m1 或 m2，当 m1 时，m2m33，当 m2 时，m2m33
8、，【变式训练】已知函数 f(x)(m2m1)xm2+m-3是幂函数，且 x(0，)时，f(x)是增函数，则 m 的值为()A1 B2C1 或 2 D3f(x)x3 或 f(x)x3，而易知 f(x)x3 在(0，)上为增函数，f(x)x31x3在(0，)上为减函数，所以 m 的值为 2。故选 B。【答案】B【解析】解法一：(利用一般式)：设 f(x)ax2bxc(a0)。由题意得4a2bc1，abc1，4acb24a8，解得a4，b4，c7。所求二次函数为 f(x)4x24x7。考点二二次函数的解析式【典例 2】已知二次函数 f(x)满足 f(2)1，f(1)1，且 f(x)的最大值是 8，试
9、确定此二次函数的解析式。解法二：(利用顶点式)：设 f(x)a(xm)2n。f(2)f(1)，抛物线的对称轴为 x21212，m12。又根据题意，函数有最大值 8，n8，yf(x)ax1228。f(2)1，a212281，解得 a4，f(x)4x12284x24x7。解法三：(利用两根式)：由已知 f(x)10 两根为 x12，x21，故可设 f(x)1a(x2)(x1)，即 f(x)ax2ax2a1。又函数有最大值 ymax8，即4a2a1a24a8。解得 a4 或 a0(舍)。所求函数的解析式为 f(x)4x24x7。【答案】f(x)4x24x7反思归纳 求二次函数解析式的方法根据已知条件
10、确定二次函数解析式，一般用待定系数法，规律如下：【变式训练】(1)已知二次函数 f(x)的图象经过点(4,3)，它在 x 轴上截得的线段长为 2，并且对任意 xR，都有 f(2x)f(2x)，则 f(x)的解析式为_。(2)已知函数 f(x)ax2bxc(a0，bR，cR)。若函数 f(x)的最小值是 f(1)0，且 c1，F(x)fx，x0，fx，x0，x12，x4ac；2ab1；abc0；5a0，即 b24ac，正确。对称轴为 x1，即 b2a1,2ab0，错误。结合图象，当 x1 时，y0，即 abc0，错误。由对称轴为 x1 知，b2a。又函数图象开口向下，所以 a0，所以 5a2a，
11、即 5ab，正确。故选 B。【答案】B【解析】yxa2214(a2a2)，对称轴为 xa2。令 f(x)yx2axa412。角度二：二次函数的最值【典例4】已知函数yx2axa412在区间0,1上的最大值是2，实数 a 的值为_。当 0a21 即 0a2 时，ymax14(a2a2)，由14(a2a2)2，得 a3 或 a2，与 0a2 矛盾，舍去；当a20 即 a0 时，y 在0,1上单调递减，有 ymaxf(0)，由 f(0)2a4122 解得 a6。当a21 即 a2 时，y 在0,1上单调递增，有 ymaxf(1)，由 f(1)2 得1aa4122，解得 a103。综上，得 a6 或
12、a103。【答案】6 或103角度三：二次函数图象与性质的结合【典例 5】(1)已知函数 f(x)x24ax2 在区间(，6)内单调递减，则 a 的取值范围是()Aa3 Ba3Ca3 Da3(2)(2016武汉调研)设函数 f(x)mx2，|x|1，x，|x|1的图象过点(1,1)，函数 g(x)是二次函数，若函数 f(g(x)的值域是0，)，则函数 g(x)的值域是()A(，11，)B(，10，)C0，)D1，)【解析】(1)函数 f(x)x24ax2 的图象是开口向上的抛物线，其对称轴是 x2a，由已知函数在区间(，6)内单调递减可知区间(，6)应在直线 x2a 的左侧，2a6，解得 a3
13、。故选 D。(2)因为函数 f(x)mx2，|x|1，x，|x|1的图象过点(1,1)，所以 m11，解得 m0，所以 f(x)x2，|x|1，x，|x|0，f(x)的大致图象如图所示。由 f(m)0，得1m0，f(m1)f(0)0。故选 C。答案 C3设函数 f(x)x2xa(a0)，且 f(m)0 Df(m1)0 恒成立a0，0。(2)f(x)ax2bxc0 恒成立a0，0或ab0，cA 在区间 D 上恒成立，此时就等价于在区间 D 上 f(x)minA，接下来求出函数 f(x)的最小值；若不等式 f(x)B 在区间 D 上恒成立，则等价于在区间 D 上f(x)max0 恒成立，a0，a2
14、4a1a0，解得 0a2。实数 a 的取值范围是(0,2)。【典例】(1)已知函数 ylog2ax2ax1a。若函数的定义域为 R，则实数 a 的取值范围是_。(2)设函数 f(x)ax22x2，对于满足 1x0，则实数 a 的取值范围是_。(2)解法一：(分类讨论法)当 a0 时，f(x)ax1a221a，由 f(x)0，x(1,4)得1a1，f1a220或11a0或1a4，f416a820，解得a1，a0或14a12 或 a14，a38，所以 a1 或12a12；当 a0，即 ax22x20，x(1,4)，得 a 2x22x在(1,4)上恒成立。令 g(x)2x22x21x12212，因为1x14，1，所以 g(x)maxg(2)12，所以要使 f(x)0 在(1,4)上恒成立，只要a12即可，故实数 a 的取值范围是12，。【答案】(1)(0,2)(2)12，【解析】因为 f(x)x22(a2)x4，对称轴 x(a2)，对 x3,1，f(x)0 恒成立，所以讨论对称轴与区间3,1的位置关系得：a20，【变式训练】(2017营口模拟)已知 f(x)x22(a2)x4，如果对x3,1，f(x)0 恒成立，则实数 a 的取值范围为_。或3a21，1，f10，解得 a或 1a4 或12a1，所以 a 的取值范围为12，4。【答案】12，4
