1、第二章 函数、导数及其应用第二节函数的单调性与最值微知识 小题练微考点 大课堂微考场 新提升微专题 巧突破2017 考纲考题考情考纲要求真题举例命题角度1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质。2016，天津卷，13,5分(函数的单调性、奇偶性)2014，全国卷，16,5分(函数单调性)1.主要考查函数单调性的判定、求单调区间、比较大小、解不等式、求最值及不等式恒成立问题；2.题型多以选择题、填空题为主，若与导数知识交汇命题则以解答题的形式出现，属中高档题。微知识 小题练 教材回扣 基础自测 自|主|排|查 1增函数与减函数 一般地，设函数f
2、(x)的定义域为I：(1)如果对于定义域I内某个区间D上的_自变量的值x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是_。(2)如果对于定义域I内某个区间D上的_自变量的值x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是_。2单调性与单调区间 如果函数yf(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数yf(x)在这一区间具有(严格的)_，区间D叫做yf(x)的_。任意两个增函数任意两个减函数单调性单调区间 3函数的最大值与最小值 一般地，设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：(1)对于任意的xI，都有_；存在x
3、0I，使得_，那么，我们称M是函数yf(x)的最大值。(2)对于任意的xI，都有_；存在x0I，使得_，那么我们称M是函数yf(x)的最小值。4函数单调性的两个等价结论设x1，x 2D(x1x 2)，则(1)fx1fx2x1x20(或x1x2 fx1fx2 0)f(x)在 D 上单调递增；(2)fx1fx2x1x20(或x1x2 fx1fx2 0)的递增区间为(，a和 a，)；递减区间为 a，0)和(0，a，且对勾函数为奇函数。6函数单调性常用结论区间D上单调递增区间D上单调递减定义法x1 x2f(x1)f(x2)x1f(x2)图象法函数图象上升的函数图象下降的导数法导数大于零导数小于零运算法
4、递增递增递减递减复合法内外层单调性相同内外层单调性相反微点提醒1函数的单调性是对某个区间而言的，如函数 y1x分别在(，0)，(0，)内都是单调递减的，但它在整个定义域即(，0)(0，)内不单调递减，单调区间只能分开写或用“和”连接，不能用“”连接，也不能用“或”连接。2一个函数在某个区间上是增函数，但它的递增区间的范围有可能大，例如 f(x)x 在0，)上是增函数，但是 f(x)的递增区间是(，)。3闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值，开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值，求函数最值的基本方法是利用函数的单调性。【解析】选项 B 在其定义域内是奇函数但不是减函数；选项 C 在其定
5、义域内既是奇函数又是增函数；选项 D 在其定义域内不是奇函数，是减函数。故选 A。【答案】A小|题|快|练一、走进教材1(必修 1P39B 组 T3 改编)下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是()Ayx3，xRBysinx，xRCyx，xRDy12x，xR2(必修 1P45B 组 T4 改编)设函数 f(x)3a1x4a，x1，logax，x1是 R上的减函数，那么实数 a 的取值范围是()A(0,1)B.0，13C.17，13D.17，1【解析】当 x1 时，f(x)(3a1)x4a 为减函数，则 3a10，即 a1 时，f(x)logax 为减函数，则 0a1，且 3a14a0
6、，即17a1。综上，17a0 时，由题意得 2a1(a1)2，即 a2；当 a0时，a1(2a1)2，即 a2，所以 a2。故选 C。【答案】C3若函数 yax1 在1,2上的最大值与最小值的差为 2，则实数 a的值是()A2 B2C2 或2 D0【解 析】f(x)xx1 x11x1 1 1x1，x2，x 11,0 1x11，1 1x1(1,2，故当 x2 时，函数 f(x)xx1取得最大值 2。【答案】24(2016北京高考)函数 f(x)xx1(x2)的最大值为_。微考点 大课堂 考点例析 对点微练【解析】解法一：设 1x1x22，则 f(x2)f(x1)ax221x2ax211x1(x2
7、x1)ax1x2 1x1x2，由 1x10,2x1x24，1x1x24，1 1x1x214。考点一确定函数的单调性【典例 1】判断并证明函数 f(x)ax21x(其中 1a3)在 x1,2上的单调性。又因为 1a3，所以 2a(x1x2)0，从而 f(x2)f(x1)0，即 f(x2)f(x1)，故当 a(1,3)时，f(x)在1,2上单调递增。解法二：因为 f(x)2ax1x2，而 x1,2，所以11x214，又因为 a(1,3)，所以 22ax0，即 f(x)0，故当 a(1,3)时，f(x)在1,2上单调递增。【答案】单调递增，证明见解析反思归纳 对于给出具体解析式的函数，证明其在某区间
8、上的单调性有两种方法：1可以结合定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、判断)求解。2可导函数则可以利用导数判断。但是，对于抽象函数单调性的证明，只能采用定义法进行判断。【解析】法一(定义法)设1x1x21，则 f(x1)f(x2)ax1x211 ax2x221ax1x22ax1ax2x21ax2x211x221ax2x1x1x21x211x221。【变式训练】讨论函数 f(x)axx21(a0)在 x(1,1)上的单调性。1x1x21，a0，x2x10，x1x210，(x211)(x221)0。f(x1)f(x2)0，即 f(x1)f(x2)，故函数 f(x)在(1,1)上为减函数。法二(导
9、数法)f(x)ax212ax2x212ax21x212。当 a0 时，f(x)0；所以当 a0 时，f(x)在(1,1)上是单调递减的。【答案】单调递减考点二确定函数的单调区间母题发散【典例 2】(2016黄冈模拟)函数 yf(x)(xR)的图象如图所示，则函数 g(x)f(logax)(0a1)的单调递减区间是()A.0，12 B a，1C(，0)12，D a，a1【解析】由图象知 f(x)在(，0和12，上单调递减，而在0，12 上单调递增。又因为当 0a0，所以单调递减区间为(0,1，a，)。【答案】(0,1，a，)【母题变式】若将本典例中的“0a1”，则函数 g(x)的单调递减区间如何
10、？反思归纳 确定函数的单调区间的三种方法定义法：先求函数定义域，再利用单调性定义来求解；图象法：图象上升区间为增区间；图象下降区间为减区间；导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间。【解析】(1)令 tx24，则 ylog12t。因为 ylog12t 在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函数 tx24 的单调递减区间，结合函数的定义域，可知所求区间为(，2)。故选 D。(2)由题意知，当 x0 时，yx22x3(x1)24；当 x0时，yx22x3(x1)24，该函数的图象如图。【拓展变式】(1)函数 f(x)log12(x24)的单调递增区间是()A(0，)B(，0)C(
11、2，)D(，2)(2)yx22|x|3 的单调增区间为_。由图象可知，函数 yx22|x|3 在(，1，0,1上是增函数。【答案】(1)D(2)(，1，0,1考点三函数的最值【典例 3】(1)函数 f(x)1x，x1，x22，x0)，且 f(x)在0,1上的最小值为 g(a)，求 g(a)的最大值。【解析】(1)当 x1 时，函数 f(x)1x为减函数，所以 f(x)在 x1处取得最大值，为 f(1)1；当 x1 时，a1a0，此时 f(x)在0,1上为增函数，g(a)f(0)1a；当 0a1 时，a1a0，此时 f(x)在0,1上为减函数，g(a)f(1)a；当 a1 时，f(x)1，此时
12、g(a)1。g(a)a，0a1，1a，a1，g(a)在(0,1)上为增函数，在1，)上为减函数，又 a1 时，有a1a1，当 a1 时，g(a)取最大值 1。【答案】(1)2(2)1反思归纳 利用函数的单调性求函数的最大(小)值，即如果函数 yf(x)在区间a，b上单调递增，在区间b，c上单调递减，则函数 yf(x)在区间a，c上的最大值是 f(b)；如果函数 yf(x)在区间a，b上单调递减，在区间b，c上单调递增，则函数 yf(x)在区间a，c上的最小值是f(b)。【解析】依题意，h(x)log2x，02。当 02 时，h(x)3x 是减函数，所以 h(x)在 x2 时取得最大值 h(2)
13、1。【答案】1【变式训练】对于任意实数 a，b，定义 mina，ba，ab，b，ab。设函数 f(x)x3，g(x)log2x，则函数 h(x)minf(x)，g(x)的最大值是_。考点四函数单调性的应用 多维探究角度一：比较函数值或自变量的大小【典例 4】已知函数 f(x)的图象向左平移 1 个单位后关于 y 轴对称，当 x2x11 时，f(x2)f(x1)(x2x1)0 恒成立，设 af12，bf(2)，cf(3)，则 a，b，c 的大小关系为()AcabBcbaCacbDbac【解析】由于函数 f(x)的图象向左平移 1 个单位后得到的图象关于y 轴对称，故函数 yf(x)的图象本身关于
14、直线 x1 对称，所以 af12 f52。当 x2x11 时，f(x2)f(x1)(x2x1)0 恒成立，等价于函数 f(x)在(1，)上单调递减，所以 bac。故选 D。【答案】D角度二：解函数不等式【典例 5】定义在 R 上的奇函数 yf(x)在(0，)上递增，且 f120，则满足 f(log19x)0 的 x 的集合为_。【解析】由奇函数 yf(x)在(0，)上递增，且 f12 0，得函数 yf(x)在(，0)上递增，且 f12 0。由 f(log19x)0，得 log19x12或12log19x0，解得 0 x13或 1x3。所以满足条件的 x 的取值集合为x0 x13或1x3。【答案
15、】x0 x13或1x3角度三：求参数的值或取值范围【典例 6】已知函数 f(x)a2x，x2，12x1，x2，满足对任意的实数x1x2，都有fx1fx2x1x20 成立，则实数 a 的取值范围为_。【解析】函数 f(x)是 R 上的减函数，于是有a20，a221221，解得 a138，即实数 a 的取值范围是，138。【答案】，138反思归纳 1.含“f”不等式的解法首先根据函数的性质把不等式转化为 f(g(x)f(h(x)的形式，然后根据函数的单调性去掉“f”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意 g(x)与h(x)的取值应在外层函数的定义域内。2比较函数值大小的思路比较函数值的大小时，若自
16、变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解。3求参数的值或取值范围的思路根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组)或先得到其图象的升降，再结合图象求解。微考场 新提升考题选萃 随堂自测答案 D1下列函数中，在区间(，0)上是减函数的是()Ay1x2Byx2xCy xDy xx1解析 根据各选项知，选项 C，D 中的指数函数满足 f(xy)f(x)f(y)。又 f(x)3x 是增函数，所以 D 正确。答案 D2下列函数中，满足“f(xy)f(x)f(y)”的单调递增函数是()Af(x)x12Bf(x)
17、x3Cf(x)12xDf(x)3x解析 f(x)图象可由 y1x图象沿 x 轴向右平移一个单位，再向上平移一个单位得到，如图所示。故选 B。答案 B3函数 f(x)1 1x1()A在(1，)上单调递增B在(1，)上单调递增C在(1，)上单调递减D在(1，)上单调递减解析 设 tx22x3，由 t0，即 x22x30，解得 x1 或x3。所以函数的定义域为(，13，)。因为函数 tx22x3 的图象的对称轴为 x1，所以函数在(，1上单调递减，在3，)上单调递增。又因为 y t在0，)上单调递增。所以函数 f(x)的增区间为3，)。答案 3，)4已知函数 f(x)x22x3，则该函数的单调增区间
18、为_。解析 由题意，得 1212a20，则 a2，又 axa 是增函数，故a1，所以 a 的取值范围为 11，若 f(x)在(0，)上单调递增，则实数 a 的取值范围为_。微专题 巧突破 冲击名校 自主阅读抽象函数的三个热点问题抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。抽象函数问题的解决，往往要从函数的奇偶性、单调性、周期性以及函数的图象入手，下面我们从 3 个不同的方面来探寻一些做题的规律。1抽象函数的函数值赋值法是抽象函数求函数值的重要方法，通过观察与分析抽象函数问题中已知与未知的关系寻找有用的取值，挖掘出函数的性质，特别是借助函数的奇偶性和周期性来转
19、化解答。【典例 1】若定义在实数集 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x)0，f(x2)1fx，对任意 xR 恒成立，则 f(2 015)()A4 B3C2 D1【思路分析】【解析】因为 f(x)0，f(x2)1fx，所以 f(x4)f(x2)2)1fx2 11fxf(x)，即函数 f(x)的周期是4。所以 f(2 015)f(50441)f(1)。因为函数 f(x)为偶函数，所以 f(2 015)f(1)f(1)。当 x1 时，f(12)1f1，得 f(1)1f1，又f(x)0，f(1)1。即 f(1)1，所以 f(2 015)f(1)1。【答案】D【方法探究】对于抽象函数，常常利用恰当赋值
20、解答问题，在赋值时要注意观察变量与所求问题之间的关系，有时需要进行多次赋值。【解析】令 x1x2，则 f()f()2f()f(0)，f(0)1。【答案】1【变式训练 1】设函数 f(x)的定义域为 R，对于任意实数 x1，x2，都有 f(x1)f(x2)2f x1x22 f x1x22，f()1，则 f(0)_。2抽象函数的奇偶性 抽象函数的奇偶性就是要判断x对应的函数值与x对应的函数值之间的关系，恰当地赋值是解决这类问题的关键。【典例 2】已知函数 f(x)对任意 x，yR，都有 f(xy)f(xy)2f(x)f(y)，且 f(0)0，求证：f(x)是偶函数。【思路分析】【证明】已知对任意
21、x，yR，都有 f(xy)f(xy)2f(x)f(y)，不妨取 x0，y0，则有 2f(0)2f(0)2，因为 f(0)0，所以 f(0)1。取 x0，得 f(y)f(y)2f(0)f(y)2f(y)，所以 f(y)f(y)。又 yR，所以函数 f(x)是偶函数。【方法探究】在利用函数奇偶性的定义进行判断时，如果等式中还有其他的量未解决，例如本题中的f(0)，就需要令x，y取特殊值进行求解。【解析】(1)对于任意 x1，x2D，有 f(x1x2)f(x1)f(x2)，令 x1x21，得 f(1)2f(1)，f(1)0。【变式训练2】函数f(x)的定义域为Dx|x0，且满足对于任意x1，x2D，
22、有f(x1x2)f(x1)f(x2)。(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论。(2)f(x)为偶函数。证明：令 x1x21，有 f(1)f(1)f(1)，f(1)12f(1)0。令 x11，x2x 有 f(x)f(1)f(x)，f(x)f(x)，f(x)为偶函数。【答案】(1)0(2)偶函数 证明见解析3抽象函数的单调性与抽象不等式抽象函数的单调性一直是高考考查的难点，常出现在一些综合性问题中，需要先对所含的参数进行分类讨论或根据已知条件确定出参数的范围，再根据单调性求解或证明抽象不等式。【典例 3】设函数 f(x)是定义在(0，)上的增函数，且满足 f(xy)f(x)
23、f(y)。若 f(3)1，且 f(a)f(a1)2，求实数 a 的取值范围。【思路分析】根据fxyfxfy及f31转化fa12 利用函数单调性去掉符号“f”，可得不等式组求解不等式组，即得实数a的取值范围【解析】因为 f(xy)f(x)f(y)，且 f(3)1，所以 22f(3)f(3)f(3)f(9)。又 f(a)f(a1)2，所以 f(a)f(a1)f(9)。再由 f(xy)f(x)f(y)，可知 f(a)f(9(a1)。因为 f(x)是定义在(0，)上的增函数，从而有a0，a10，a9a1，解得 1a0，a10，而直接利用单调性得出 a9(a1)。【解析】(1)证明：设 x1，x2R，且 x10，当 x0 时，f(x)1，f(x2x1)1。f(x2)f(x2x1)x1f(x2x1)f(x1)1，f(x2)f(x1)f(x2x1)10f(x1)0 时，恒有 f(x)1。(1)求证：f(x)在 R 上是增函数；(2)若 f(3)4，解不等式 f(a2a5)2。(2)m，nR，不妨设 mn1，f(11)f(1)f(1)1f(2)2f(1)1，f(3)4f(21)4f(2)f(1)143f(1)24，f(1)2，f(a2a5)2f(1)，f(x)在 R 上为增函数，a2a513a2，即 a(3,2)。【答案】(1)证明见解析(2)(3,2)
