1、数学思想方法较之数学基础知识，具有更高的层次，具有理性的地位它是一种数学意识，属于思维和能力的范畴，用以对数学问题的认识、处理和解决数学思想方法是数学知识的精髓，是知识转化为能力的桥梁，近几年的高考越来越注重对数学思想方法的考查高考对数学思想方法的考查贯穿于试卷全过程，其中选择题、填空题虽主要考查数学学科中的基础知识和基本技能，但对数学思想方法的考查也蕴涵其中；解答题中，则以具体知识为载体，在更深层次上突出考查数学思想方法第27讲 选择题、填空题的解法一、选择题的解法选择题是高考数学试卷中的三大题型之一它的基本特点如下：1知识覆盖面广，题型灵活多变，经常出现一些数学背景新颖的创新题这些创新题目
2、注重基础性，增强综合性，体现时代气息2绝大多数选择题题目属于低中档题，因为主要的数学思想和教学方法都能通过它得到充分的体现和应用.3选择题不要求书写解题过程，不设中间分，因此一步失误，就会造成错选，导致全题无分，正可谓：失之秋毫，谬之千里也4.近几年全国高考数学选择题稳定在 12 个，分值为60 分，约占全卷的 40%.选择题的解答，直接影响着每一位考生的答题情绪，所以探究选择题的速解策略、提高解答速度和得分率尤为重要解答时应该突出一个“选”字，尽量减少解题过程，在对照选择支的同时，多方面考虑间接解法，常见的解题思路概括如下：(1)仔细审题、吃透题意审题是正确解题的前提，关键在于：将有关概念、
3、公式、定理等基础知识加以集中反应，发现题目中的一些重要的隐含条件(2)反复析题、去伪存真析题就是剖析题意在认真审题的基础上，对全题进行细致的分析，为正确解题寻好路径由于选择支相近、相关，因而在析题时对照选择支就显得非常重要，对于一些似是而非的选项，考生可以结合题目条件，加以分析与验证，提高选择的正确率(3)抓住关键、全面分析通过审题、析题后找到解题的关键步骤，从关键处入手，快速地形成正确的解题思路，化难为易、化繁为简高考选择题中的多数可用特殊的方法快速解答例如：估值选择法、特值检验法、顺推破解法、数形结合法、特征分析法、逆推验证法等都是常用的解法(4)反复检查、认真核对对得出的结果细心检查、认
4、真核对也是解选择题必不可少的一个步骤解选择题的常用方法有：直接法、特例法、排除法、验证法、数形结合法等1直接法例1(1)在ABC 中，若AB 2AB AC BA BC CA CB，则ABC 是()A等边三角形B锐角三角形C钝角三角形D直角三角形【解析】选 D.由AB 2AB AC BA BC CA CB，得AB AB AC BC BA CA，得AB CB BC BC，得BC BC AB 0，得BC AC 0，故 BCAC.故ABC 是直角三角形(2)设函数 yf(x)的定义域为 R，则函数 yf(x1)与 yf(1x)的图象关于()A直线 x0 对称B直线 y0 对称C直线 y1 对称D直线
5、x1 对称【解析】选 D.因为 yf(x)，xR，而函数 yf(x1)的图象是函数 yf(x)的图象向右平移一个单位而得到的，又 yf(1x)f(x1)的图象是函数 yf(x)的图象向右平移一个单位而得到的，因函数 yf(x)与函数 yf(x)的图象关于直线 x0 对称，所以函数 yf(x1)与 yf(1x)的图象关于直线 x1 对称.【点评】本小题主要考查了函数图象的性质，在解答这类问题时，应高度重视图象的形成过程，包括平移、对称、伸缩、旋转等形如：函数 yf(x)满足 f(ax)f(bx)是同一个函数所具有的性质，函数图象关于直线 xab2 对称；函数 yf(x)满足 f(ax)f(bx)
6、0 是同一个函数所具有的性质，函数图象关于点ab2，0 对称.2特例法例2(1)已知钝角ABC 中，C 为钝角，若 msin Asin B，ncos Acos B，psin(AB)，则 m、n、p 的大小关系是()Amnp BnmpCpmn Dmpn【解析】选 C.方法一：在ABC 中，令 AB30，C120，可求得 m1,显然有 pmn.方法二：由已知得，A2 B，则 sin Asin2 Bcos B，即 sin Acos B，同理 sin Bcos A，所以 sin Asin BcosAcosB，即 mn；psin(AB)sin AcosBcosAsin B sin Asin Bm.【点评
7、】本小题主要考查了三角函数的大小比较问题，在解决这类问题时，如果能够从选项提供的信息中确定这些代数式的大小关系是唯一确定的，那么就可以采用特例检验法进行求解，即将代数式中的参数赋以特殊的、有利于计算的值(本题中是特殊角)，代入代数式中求出它们的值，进行比较，从而确定它们的大小关系.(2)含 2n1 项的等差数列其奇数项的和与偶数项的和之比为()A.2n1nB.n1nC.n1nD.n12n【解析】选 B.方法一 取满足条件的等差数列 1，2，3，公差 d1,且有 S 奇a1a34，S 偶a22，所以S奇S偶422111.方 法 二 因 为 S奇 a1 a3 a2n 1（n1）（a1a2n1）2，
8、S 偶a2a4a2nn（a2a2n）2 又 a1a2n1a2a2n，所以S奇S偶n1n.【点评】本小题主要考查了等差数列的性质及求和，在解决这类问题时，应牢牢抓住等差数列的性质，充分利用它解题若项数为 2n，则 S 偶S 奇nd，S奇S偶 anan1；若项数为 2n1，则 S 奇S 偶an，S奇S偶 nn1.【点评】用特殊值法解题时要注意：(1)所选取的特例一定要简单，且符合题设条件；(2)特殊只能否定一般，不能肯定一般；(3)当选取某一特例出现两个或两个以上选项都正确时，这时要根据题设要求选择另外的特例代入检验，直到找到正确选项为止3排除法例3(1)已知函数 f(x)2x1，对于任意整数，使
9、得|f(x1)f(x2)|成立的一个充分不必要条件是()A|x1x2|B|x1x2|2C|x1x2|4【解析】选 C.方法一 若选项 A 正确，则选项 B、C 都正确，所以选项 A 不对；若选项 B 正确，则选项 C 正确，所以选项 B 不对；令 x1x2，则选项 D 为 0，所以选项 D不对，故选 C.方法二 因为|f(x1)f(x2)|2x12x2|x1x2|1 时，周期T2，acos ax10，满足图 A；当 0a2，2acos ax10，满足图 D，综上可知，图象不可能为 B.(2)函数ysin2x52的图象的一条对称轴方程是()Ax2Bx4Cx8Dx54【解析】选 A.(验证法)把选
10、择支逐个代入，当 x2 时，y1，可见 x2 是对称轴，又因为统一前提规定“只有一项是符合要求的”，故选 A.另解：(直接法)函数 ysin2x52的图象的对称轴方程为 2x52 k2，即 xk2，当k1 时，x2，选 A.【点评】代入法适应于题设复杂，结论简单的选择题若能据题意确定代入顺序，则能较大提高解题速度5数形结合法例5(1)已知实数 M(a4)2(1a23)2，则实数 M 的取值范围是()A18，34 B18，36C16，34 D16，36【解析】选 C.因 M(a4)2(1a23)2，所以 a1，1，则实数 M 可视为点 D(a,1a2)、N(4，3)两点间距离的平方；而点 D 在
11、半圆 x2y21(x1，1，y0)上，如图所示，由图可知|NP|2 最大，其值为 34，|NE|2最小，其值为 16.【点评】本小题主要考查了两点间距离的概念及化归与转化的思想，再进一步考查了数形结合的数学思想在解答这类问题时，应首先把所给的具体式子转化成较为熟悉的数学模型，使问题变得简单而明晰化，本小题可转化成两点的距离，使问题的解答变得简单明了(2)已知函数 fx log3x1 13x有两个零点 x1，x2，则()Ax1x2x1x2Cx1x2x1x2Dx1x2x1x2【解析】选 D.f(x)log3（x1）13x0 log3（x1）13x，在同一坐标系中作出函数 ylog3（x1）与y13
12、x的图象，不妨设 x1x2，则由函数对称性可知log3(x11)log3(x21)0，得 log3x1x2(x1x2)10，即 x1x2(x1x2)11.所以 x1x203x3x2x2x的解集是()A(0，2)B(0，2.5)C(0，6)D(0，3)【解析】选 C.利用不等式的“极限”思想，则只需验证 x2，2.5，6和 3 哪个为方程3x3x2x2x 的根，逐一代入二、填空题的解法填空题是高考题中客观性题型之一，具有小巧灵活，结构简单，概念性强，运算量不大，不需要写出求解过程而只需直接写出结论等特点虽然量小(目前多数为 4 个题目，上海、江苏等较多)，但考生的得分率较低，不很理想原因是学生还
13、不能达到对解答填空题的基本要求：“正确、合理、迅速”填空题虽小，但跨度大，覆盖面广，形式灵活多样，还可以有目的且有机地综合一些问题，突出训练学生准确、严谨、全面、灵活应用知识的能力和基本运算能力从填空内容上主要分为两类：一类是定量填空，另一类是定性填空它只要求写出答案，缺少选项提供的目标信息，结果正确与否难以判断，一步失误，全题零分要想又快又准地答好填空题，基本策略在“巧做”二字上下功夫填空题和选择题的区别在于：(1)填空题没有备选项因此，解答时既有不受诱误的干扰好处，但又有缺乏提示的帮助不足之处，对考生独立思考和求解，在能力要求上会高一些(2)填空题的结构，往往是在一个正确的命题或断言中，抽
14、去其中的一些内容(既可以是条件，也可以是结论)，留下空位，让考生独立填上，考查方式比较灵活(3)在对题目的阅读理解上，有时会显得比选择题劳力、费神，当然并非常常如此，这将取决于命题者对试题的设计意图.填空题与解答题比较，同属客观性的试题，但也有区别：(1)解答题解答时，考生不仅提供出答案，还必须写出解答过程的必要的步骤；填空题则无此要求，只要填写结果，而且所填结果应力求简练、概括和准确.(2)试题内涵不同，填空题的考点少，目标集中，而解答题比填空题要丰富得多填空题解题的基本原则是“小题不能大作”，基本策略是“巧做”基本方法一般有：直接求解法；图象法和特殊化法(特殊值法，特殊函数法，特殊角法，特
15、殊数列法，图形特殊位置法，特殊点法，特殊方程法，特殊模型法)等.1直接法例1(1)若不等式|3xb|4 的解集中的整数有且仅有 1，2，3，则 b 的取值范围为_【解析】5b7|3xb|4，43xb4，由题意知，5b7.【点评】在解不等式时，要十分注意不等式性质的灵活运用，还应注意观察、分析所给不等式的形式和结构，据此选取适当的方法和策略，进行有效地变形与整合可速得结论在解绝对值不等式时，应充分利用绝对值的性质及其几何意义.(2)设 P 为双曲线 x2y2121 上的一点，F1，F2 是该双曲线的两个焦点，若|PF1|PF2|32，则PF1F2 的面积为_【解析】12 因为|PF1|PF2|3
16、2,设|PF1|3x，|PF2|2x，根据双曲线定义得|PF1|PF2|3x2xx2a2,所以|PF1|6，|PF2|4，|F1F2|526242，PF1F2 为直角三角形，其面积为126412.【点评】直接法是解决计算型填空题最常用的方法，在计算过程中，我们要根据题目的要求灵活处理，多角度思考问题，注意一些解题规律和解题技巧的灵活应用，将计算过程简化从而得到结果，这是快速准确地求解填空题的关键2特例法例2(1)已知ABC 的三个内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，且满足（sin Asin C）（ac）bsin Asin B，则 C_【解析】60 容易发现当ABC 是一个等边三角形时，
17、满足（sin Asin C）（ac）bsin Asin B，而此时 C60，故角 C 的大小为 60.(2)已知函数 f(x)是定义在实数集 R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数 x 都有 xf(x1)(1x)f(x)，则 f52 _【解析】0 因为xf(x1)(1x)f(x)，所以f（x1）f（x）1xx，使 f(x)特殊化，可设 f(x)xg(x)，其中 g(x)是周期为 1 的奇函数，再将 g(x)特殊化，可设 g(x)sin 2x，则 f(x)xsin 2x，经验证 f(x)xsin 2x 满足题意，则 f52 0.【点评】求解(1)，由题意我们发现对特殊的三角形，即等腰三角形条件符
18、合，因此利用 AB(即 ab)解决问题，显得简便易行求解本题的一般方法主要是借助于解三角形的正、余弦定理的方法来综合求解求解(2)，取 g(x)sin 2 x，经验证很快可以得出结果3数形结合法例3设 f(x)是定义在 R 上的偶函数，对任意的xR，都有 f(2x)f(x2)，且当 x2，0时，f(x)12x1，若关于 x 的方程 f(x)loga(x2)0a1 在区间(2，6内恰有三个不同实根，则实数 a的取值范围是_【解析】3 4aloga4 且 loga8f(6)f(2)f(2)3，解得3 4aax32的解集为(4，b)，则 a_，b_【解析】18 36 设 xt，则原不等式可转化为：a
19、t2t32 0，且 2 与 b(b4)是方程 at2t320 的两根，由此可得：a18，b36.例 5 不论 k 为何实数，直线 ykx1 与曲线 x2y22axa22a40 恒有交点，则实数 a 的取值范围是_【解析】1a3 题设条件等价于点(0，1)在圆内或圆上，即 a22a30，1a3.5综合法例 6(1)已知函数 f(x)(a2)x3(a2)x2x3a21 是 R 上的单调增函数，则实数 a 的取值范围是_【解析】2，5 因为 f(x)3(a2)x22(a2)x1,所以，当a2 时，f(x)10(xR)满足题意；当 a2 时，只须 4(a2)212(a2)4(a2)(a5)0，即 2a
20、5.综上、可知：2a5.【点评】本小题考查了函数、导数及不等式的有关计算，在解答这类题目时，要注意在经过有效处理之后，对目标函数进行求解时，特别是涉及到含参量的系数时，要对参数进行分类讨论，否则，将导致失误，切记.(2)已知 k 是常数，若双曲线 x2k5y22|k|1 的焦距与 k 的取值无关，则 k 的取值范围是_【解析】(2，0(k5)(2|k|)5 或 0k2 或25 或 0k2 时，c2a2b2|k52k|2k7|，与题意不符，故舍去；当2b0)，焦点在 x 轴上且 c2a2b2(c 为半焦距)，焦点(c，0)，x2b2y2a21(ab0)，焦点在 y 轴上且 c2a2b2，焦点(0
21、，c)；(2)双曲线x2a2y2b21(a0，b0)，焦点在 x 轴上且c2a2b2，焦点(c，0)，y2a2x2b21(a0，b0)，焦点在 y 轴上且 c2a2b2，焦点(0，c)1若|a|2cos 15，|b|4sin 15，a，b 的夹角为 30，则 ab()A2 3B.3C.32D.12【解析】选 B.|a|2cos 15，|b|4sin 15，a，b 的夹角为30，ab|a|b|cos 302cos 154sin 15cos 30 2cos 15sin 15sin 30，2cos 30sin 30sin 60，ab4cos 30sin 302sin 60 3.2ABC 的外接圆的圆
22、心为 O，两条边上的高的交点为 H，OH m(OA OB OC)，则 m 的取值为()A1 B1 C2 D2【解析】选 B.特殊化处理，不妨设ABC 为直角三角形，则圆心 O 在斜边中点处，此时有OH OA OB OC，m1.3若函数 f(x)|x|xa|(a0)的图象关于点(2，0)对称，则实数 a 的值等于()A4 B4 C2 D2【解析】选 B.将函数 f(x)的图象向左平移 2 个单位得到函数 g(x)|x2|x2a|的图象，则函数 g(x)的图象关于原点对称，是奇函数，故有 g(0)0，得|2a|2，所以 a4.4若 sin2xcos2x，则 x 的取值范围是()A.x2k 34 x
23、2k 4，kZB.x2k 4 x2k 54，kZC.xk 4 xk 4，kZD.xk 4 xk 34，kZ【解析】选 D.(直接法)由 sin2xcos2x 得 cos2xsin2x0，即 cos 2x0，所以：2 2k2x32 2k，选 D.(数形结合法)由已知得|sin x|cos x|，画出 y|sin x|和 y|cos x|的图象，从图象中可知选 D.5如图，单位圆中AB 的长度为 x，f(x)表示AB 与弦 AB 所围成的弓形的面积的2 倍，则函数 yf(x)的图象是()【解析】选 D.显然，面积 f(x)不是弧长 x 的一次函数，排除 A；当 x 从很小的值逐渐增大时，f(x)的
24、增长不会太快，排除 B，C，选 D.6已知 yfx 为 R 上的可导函数，当 x0 时，fx fxx 0，则关于 x 的函数 gx fx 1x的零点个数为()A1 B2 C0 D0 或 2【解析】选 C.fx fxx 0 xf（x）f（x）x0 xf（x）x0，即xf(x)x0.当 x0 时，xf(x)0，xf(x)为增函数；当 x0时，xf(x)0.gx fx 1x0 xf(x)1，由上述可知 xf(x)0，所以 xf(x)1 无解，故函数 f(x)1x0的零点个数为 0.7(2015 湖南)将函数 f(x)sin 2x 的图像向右平移 02 个单位后得到函数 g(x)的图像，若对满足f（x
25、1）g（x2）2 的 x1，x2，有x1x2 min3，则()A.512B.3C.4D.6【解析】选 D.向右平移 个单位后，得到 g(x)sin(2x2)，又|f(x1)g(x2)|2，不妨设 2x12 2k，2x222 2m，x1x22(km)，又x1x2 min3，2 36，故选 D.8已知长方形的四个项点 A(0，0)，B(2，0)，C(2，1)和 D(0，1)，一质点从 AB 的中点 P0 沿与 AB 夹角为 的方向射到 BC 上的点 P1 后，依次反射到 CD、DA 和 AB上的点 P2、P3 和 P4(入射角等于反射角)，设 P4 的坐标为(x4，0)，若 1x42，则 tan
26、的取值范围是()A.13，1B.13，23C.25，12D.25，23【解析】选 C.考虑由 P0 射到 BC 的中点上，这样依次反射最终回到 P0，此时容易求出 tan 12，由题设条件知，1x42，则 tan 12，排除 A、B、D，故选 C.另解：(直接法)注意入射角等于反射角，所以选 C.9在ABC 中，(AB 3AC)CB，则角 A 的最大值为_【解析】6 在ABC 中，由于(AB 3AC)CB，则(AB 3AC)CB(AB 3AC)(AB AC)0，即AB2 4AB AC 3AC2 0，即 c24bccos A3b20.解得 cos Ac23b24bc14cb3bc 32，当且仅当
27、cb3bc 时，即 c 3b 时，等号成立 所以 cos A 的最小值为 32，故 A 的最大值为6.10集合 M(x，y)|(x1)2y21，y0，集合 N(x，y)|y|xa|1，则由 MN 构成的图形的面积为8 时 a 的值为_【解析】0 或 2.如图所示，容易看出当 y|xa|1 经过圆心 C(1，0)时，即 a0 或 a2 时，MN 构成的图形的面积均为8.11关于 x 的不等式 loga(2ax)0 在1，2上恒成立，则实数 a 的取值范围为_【解析】0，12 设 f(x)loga(2ax)，注意到 01 时，f(x)为减函数，f(x)的最大值为 f(1)当 0a1，f（1）0，或
28、0a1，f（2）0 在1，2上恒成立，则有 22a0，得 a0，故应填 0a，若存在实数 b，使函数 g(x)f(x)b 有两个零点，则 a 的取值范围是_【解析】(，0)(1，)分析题意可知，问题等价于方程 x3b(xa)与方程 x2b(xa)的根的个数和为 2，画出草图，数形结合并分类讨论 a1 三种情况：若两个方程各有一个根：则可知关于 b 的不等式组b13abaa1有解，a21；若方程 x3b(xa)无解，方程 x2b(xa)有 2 个根：则可知关于b 的不等式组aa有解，从而 a0；(2)对于任意的 a 及任意不相等的实数 x1，x2，都有 n0；(3)对于任意的 a，存在不相等的实
29、数 x1，x2，使得 mn；(4)对于任意的 a，存在不相等的实数 x1，x2，使得 mn.其中的真命题有_(写出所有真命题的序号)【解析】(1)(4)设 A(x1，f(x1)，B(x2，f(x2)，C(x1，g(x1)，D(x2，g(x2)对(1)，从 y2x 的图象可看出，mkAB0 恒成立，故正确 对(2)，直线 CD 的斜率可为负，即 n0，故不正确 对(3)，由 mn 得 f(x1)f(x2)g(x1)g(x2)，即 f(x1)g(x1)f(x2)g(x2)令 h(x)f(x)g(x)2xx2ax，则 h(x)2xln 22xa.由 h(x)0 得：2xln 22xa，作出 y2xl
30、n 2，y2xa 的图象知，方程 2xln 22xa 不一定有解，所以 h(x)不一定有极值点，即对于任意的 a，不一定存在不相等的实数 x1，x2，使得 h(x1)h(x2)，即不一定存在不相等的实数 x1，x2，使得 mn.故不正确 对(4)，由 mn 得 f(x1)f(x2)g(x2)g(x1)，即 f(x1)g(x1)f(x2)g(x2)令 h(x)f(x)g(x)2xx2ax，则 h(x)2xln 22xa.由 h(x)0 得：2xln 22xa，作出 y2xln 2，y2xa 的图象知，方程 2xln 22xa 必定有解，所以 h(x)一定有极值点，即对于任意的 a，一定存在不相等的实数 x1，x2，使得 h(x1)h(x2)，即一定存在不相等的实数 x1，x2，使得 mn.故正确 所以(1)(4)
