1、8.5 垂直关系 考点探究挑战高考 考向瞭望把脉高考 8.5 垂直关系 双基研习面对高考 1直线与平面垂直(1)定义：如果一条直线和一个平面内的_一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面垂直 任何双基研习面对高考 基础梳理(2)定理：文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 如果一条直线和一个平面内的两条_都垂直，那么该直线与此平面垂直 ablalb_abA相交直线文字语言 图形语言 符号语言 性质定理 如果两条直线同_，那么这两条直线平行 ab a_b垂直于一个平面2.平面与平面垂直(1)定义：两个平面相交，如果所成的二面角是_，就说这两个平面互相垂直(2)定理：直二面角文字语言 图形语言 符
2、号语言 判定定理 如果一个平面经过另一个平面 的 一 条_，那么这两个平面互相垂直 垂线AB_AB文字语言 图形语言 符号语言 性质定理 如 果 两 个 平 面互 相 垂 直，那么 在 一 个 平 面内 垂 直 于 它 们_ 的 直 线垂 直 于 另 一 个平面 AB 交线ABMN MNAB_思考感悟能否将直线与平面垂直定义中的“任何一条直线”改为“无数条直线”？能否将直线与平面垂直判定定理中的“相交”去掉？提示：不能，若平面内的直线互相平行，这些直线可能都与该直线垂直，但直线不一定与平面垂直3二面角两个半平面二面角的定义 从一条直线出发的_所组成的图形叫作二面角 二面角的度量 二面角的 平面
3、角 以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作_棱的两条射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角.垂直于1设a、b是两条直线，、是两个平面，则ab的一个充分条件是()Aa，b，Ba，b，Ca，b，Da，b，答案：C课前热身 2.(教材习题改编)如图所示，在RtABC中，B90，点P为ABC所在平面外一点，PA平面ABC，则四面体P-ABC中有()个直角三角形 A1B2 C3D4 答案：D 3已知，表示两个不同的平面，m为平面内的一条直线，则“m”是“”的()A充分不必要条件B必要不充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条件 答案：A 4(2011年合肥调研)m，n是空间两条不同直线，是
4、两个不同平面，下面有四个命题：m，n，mn；mn，mn；mn，mn；m，mn，n.其中，为真命题的有_(写出所有真命题的编号)答案：5如图所示，已知矩形ABCD中，AB1，BCa，PA平面ABCD，若在BC上只有一个点Q满足PQQD，则a的值等于_ 答案：2考点探究挑战高考 考点突破 垂直关系的基本应用 此类问题经常以选择题的形式在高考中出现，解答时一要注意依据定理条件才能得出结论，二是否定时只需举一个反例，三要会寻找恰当的特殊模型进行筛选(2010年高考浙江卷)设l，m是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是()A若lm，m，则l B若l，lm，则m C若l，m，则lm D若l，m，
5、则lm 例1【思路点拨】根据线面垂直、平行的判定和性质判断【解析】根据定理：两条平行线中的一条垂直于一个平面，另一条也垂直于这个平面知，B正确【答案】B【名师点评】一要注意定理条件都具备时才能得出结论，二要会寻找恰当的特殊模型进行筛选变式训练1(2009年高考浙江卷)设，是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是()A若l，则l B若l，则l C若l，则l D若l，则l 解析：选C.对于A、B、D均可能出现l，故选C.直线与平面垂直的判定与性质 证明直线和平面垂直的常用方法有：(1)利用判定定理(2)利用平行线垂直于平面的传递性(ab，ab)(3)利用面面平行的性质(a，a)(4)利用面
6、面垂直的性质 当直线和平面垂直时，该直线垂直于平面内的任一直线，常用来证明线线垂直【思路点拨】利用线面垂直、线线垂直的判定与性质可证 例2(2010 年高考北京卷(节选)如图，正方形ABCD 和四边形 ACEF 所在的平面互相垂直，ECAC，EFAC，AB 2，CEEF1.求证：CF平面 BDE.【证明】连接FG.因为EFCG，EFCG1，且CE1，CEAC，所以四边形CEFG为菱形，所以CFEG.因为四边形ABCD为正方形，所以BDAC，又因为平面ACEF平面ABCD，且平面ACEF平面ABCDAC，所以BD平面ACEF.又CF平面ACEF，所以CFBD.又BDEGG，所以CF平面BDE.【
7、名师点评】证明空间线面位置关系的基本思想是转化与化归，根据线面平行、垂直关系的判定和性质，进行相互转化，如本题是证明线面垂直，要通过证明线线垂直达到证明线面垂直的目的解决这类问题时要注意推理严谨，使用定理时找足条件，书写规范等 平面与平面垂直的判定和性质 要证面面垂直，一般要转化为线面垂直，即考虑证明一个平面内的一条直线垂直于另一个平面，然后进一步转化为线线垂直，为此要熟练掌握“线线垂直”、“线面垂直”、“面面垂直”之间的相互转化关系特别地，若已知两个平面垂直时，一般要用性质定理，将其转化为线面垂直进行应用 例3 如图，在四棱锥 PABCD 中，平面 PAD平面 ABCD，ABDC，PAD 是
8、等边三角形，已知 BD2AD8，AB2DC4 5.(1)设 M 是 PC 上的一点，证明：平面 MBD平面 PAD；(2)求四棱锥 PABCD 的体积【思路点拨】(1)利用面面垂直的判定定理(2)【解】(1)证明：在ABD 中，AD4，BD8，AB4 5，AD2BD2AB2.ADBD.又面 PAD面 ABCD，面 PAD面ABCDAD，BD面 ABCD，BD面 PAD.又 BD面 BDM，面 MBD面 PAD.(2)过 P 作 POAD，面 PAD面 ABCD，PO面 ABCD，即 PO 为四棱锥 PABCD 的高又PAD 是边长为 4 的等边三角形，PO2 3.在底面四边形 ABCD 中，A
9、BDC，AB2DC，四边形 ABCD 为梯形在 RtADB 中，斜边 AB 边上的高为484 58 55，此即为梯形的高S 四边形 ABCD2 54 528 55 24.VPABCD13242 316 3.【误区警示】在(2)中，误认为PD为四棱锥的高，导致体积求错，产生这一错误的原因是空间想象能力不强，思维定势，没有从题目条件出发 变式训练 2(2010 年高考山东卷)如图，在五棱锥 P-ABCDE 中，PA平面 ABCDE，ABCD，ACED，AEBC，ABC45，AB2 2，BC2AE4，三角形 PAB 是等腰三角形(1)求证：平面 PCD平面 PAC；(2)求直线 PB 与平面 PCD
10、 所成角的大小；(3)求四棱锥 P-ACDE 的体积解：(1)证明：在ABC 中，因为ABC45，BC4，AB2 2，所以 AC2AB2BC22ABBCcos458，因此 AC2 2，故 BC2AC2AB2，所以BAC90.所以 ABAC.又 PA平面 ABCDE，ABCD，所以 CDPA，CDAC，又 PA，AC平面 PAC，且 PAACA，所以 CD平面 PAC.又 CD平面 PCD，所以平面 PCD平面 PAC.(2)因为PAB 是等腰三角形，所以 PAAB2 2，因为 PBPA2AB24.又 ABCD，所以点 B 到平面 PCD 的距离等于点 A 到平面PCD 的距离由于 CD平面 P
11、AC，在 RtPAC 中，PA2 2，AC2 2，所以 PC4，故 PC 边上的高为 2，此即为点 A 到平面 PCD 的距离所以 B 到平面 PCD 的距离为 h2.设直线 PB 到平面 PCD 所成的角为，则 sin hPB2412.又 0，2，所以 6.(3)因为 ACED，CDAC，所以四边形 ACDE 是直角梯形因为 AE2，ABC45，AEBC，所以BAE135，因此CAE45，故 CDAEsin452 22 2，EDACAEcos452 22 22 2，所以 S 四边形 ACDE 22 22 23.又 PA平面 ABCDE，所以 VP-ACDE1332 22 2.二面角的求法有许
12、多涉及求角与距离的问题可直接利用“线线问题线面问题面面问题”来研究，并在研究的 基 础 上 比 较 优 劣，优 化 思 维 程 序 和 解 题 方法对于求二面角通常是求其平面角的大小，而二面角的平面角的作法有定义法、垂直法、三垂线呈现法等等(2010 年高 考天津卷)如图，在 五面体ABCDEF 中，四边形 ADEF 是正方形，FA平面 ABCD，BCAD，CD1，AD2 2，BADCDA45.(1)求异面直线 CE 与 AF 所成角的余弦值；(2)证明：CD平面 ABF；(3)求二面角 B-EF-A 的正切值例4【思路点拨】(1)由AFED可得CED为异面直线CE与AF所成角由RtCED中的
13、边角关系可求其大小；(2)利用线面垂直的判定定理可证；(3)利用“垂线法”，即在平面ABCD内作AD的垂线，过垂足作棱EF的垂线，连结可得二面角的平面角【解】(1)因为四边形 ADEF 是正方形，所以FAED.故CED 为异面直线 CE 与 AF 所成的角因为 FA平面 ABCD，所以 FACD，故 EDCD.在 RtCDE 中，CD1，ED2 2，CECD2ED23，故 cosCEDEDCE2 23.所以异面直线 CE 与 AF 所成角的余弦值为2 23.(2)证明：如图，过点 B 作 BGCD，交 AD 于点 G，则BGACDA45.由BAD45，可得 BGAB.从而 CDAB.又 CDF
14、A，FAABA，所以 CD平面 ABF.(3)由(2)及已知，可得 AG 2，即 G 为 AD 的中点取 EF 的中点 N，连结 GN，则 GNEF.因为 BCAD，所以 BCEF.过点 N 作 NMEF，交 BC 于点 M，则GNM 为二面角 B-EF-A 的平面角连结 GM，可得 AD平面 GNM，故 ADGM.从而 BCGM.由已知，可得 GM 22.由 NGFA，FAGM，得NGGM.在 RtNGM 中，tanGNMGMNG14.所以二面角 B-EF-A 的正切值为14.【规律小结】确定二面角平面角的方法：(1)定义法：在二面角的棱上找一特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线(2)
15、垂面法：过棱上一点作与棱垂直的平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角(3)垂线法：过二面角的一个面内一点作另一个平面的垂线，过垂足作棱的垂线，利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角，此种方法通用于求二面角的所有题目，具体步骤为：一找，二证，三求方法感悟 方法技巧1在解决直线与平面垂直问题过程中，要注意直线与平面垂直的定义，判定定理和性质定理的联合交替使用，即注意线线垂直和线面垂直的互相转化(如例2)2面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据我们要作一个平面的一条垂线，通常是先找这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线的垂线即可(如例3)3(1)对于
16、二面角问题多数情况下要作出二面角的平面角并加以论证和计算，同时要注意二面角平面角所在的平面与二面角的棱及两个面都是互相垂直的(2)二面角平面角的作法大致可根据定义作；可用垂直于二面角棱的平面去截二面角，此平面与二面角的两个半平面的交线所成的角即为二面角的平面角；也可首先确定二面角一个面的垂线，由三垂线定理和三垂线定理的逆定理，作出二面角的平面角，对于这种方法应引起足够的重视(3)对于直线和平面所成的角及二面角大小的计算都与平面的垂线有关，平面的垂线是立体几何中最重要的辅助线之一，而平面与平面垂直的性质定理也是最重要的作图理论依据(如例3)失误防范1直线和平面垂直(1)判定定理可以简单地记为“线
17、线垂直线面垂直”，定理中的关键词语是“平面内两条相交直线”和“都垂直”证题时常常是定义和判定定理反复使用，使线线垂直与线面垂直的关系相互转化(2)直线和平面垂直的性质定理可以作为两条直线平行的判定定理，可以并入平行推导链中，实现平行与垂直的相互转化，即线线线面线线线面2垂直关系的转化线线垂直判定性质线面垂直判定性质面面垂直在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决如有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直故熟练掌握“线线垂直”、“面面垂直”间的转化条件是解决这类问题的关键考情
18、分析 考向瞭望把脉高考 垂直关系是每年高考必考的知识点之一，考查重点是线面垂直的判定与性质，面面垂直的判定与性质，以及线面角、二面角的求法题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中等偏高，客观题突出“小而巧”，主要考查垂直的判定及性质，考查线面角、二面角的求法，主观题考查较全面，在考查上述知识的同时，还注重考查空间想象能力、逻辑推理能力以及分析问题、解决问题的能力 预测2012年高考仍将以线面垂直、面面垂直、线面角、二面角为主要考点，重点考查学生的空间想象能力以及逻辑推理能力 真题透析 例(本题满分 12 分)(2009 年高考天津卷)如图所示，在五面体 ABCDEF 中，FA平面 ABCD，
19、ADBCFE，ABAD，M 为EC 的中点，AFABBCFE12AD.(1)求异面直线 BF 与 DE 所成的角的大小；(2)证明：平面 AMD平面 CDE；(3)求二面角 A-CD-E 的余弦值【解】(1)由题设知，BFCE，所以CED(或其补角)为异面直线 BF 与 DE 所成的角.1 分如图所示，设 P 为 AD 的中点，连接 EP，PC.因为 FE 綊 AP，所以 FA 綊 EP.同理，AB 綊 PC.又FA平面 ABCD，所以 EP平面 ABCD.而 PC，AD 都在平面 ABCD 内，故 EPPC，EPAD.由 ABAD，可得 PCAD.3 分设 FAa，则 EPPCPDa，CDD
20、EEC 2a.故CED60.所以异面直线 BF 与 DE 所成的角的大小为60.4 分(2)证明：因为 DCDE 且 M 为 CE 的中点，所以 DMCE.连接 MP，则 MPCE.又MPDMM，故 CE平面 AMD.而CE平面 CDE，所以平面 AMD平面 CDE.7 分(3)设 Q 为 CD 的中点，连接 PQ，EQ.因为 CEDE，所以 EQCD.因为 PCPD，所以 PQCD，故EQP 为二面角 A-CD-E 的平面角.10 分由(1)可得，EPPQ，EQ 62 a，PQ 22 a.于是在 RtEPQ 中，cosEQPPQEQ 33.所以二面角 A-CD-E 的余弦值为 33.12 分
21、【名师点评】(1)本题的图形既可以看做是从长方体中截取的一个图形，也可以看做是一个直三棱柱和一个三棱锥组合起来的图形，无论是截取的图形还是组合的图形，都是教材上最基本的空间图形，可以说本题是对教材基本图形进行改造加工，把教材上不同部分的主要问题组合起来命制的一道试题(2)解决立体几何问题的一个很重要的技巧就是“割补”，这个技巧不但在求空间几何体体积时有用，在解决其他问题时仍然有重要作用，如本题把图形放到一个长方体中，就会发现这个长方体实际上又是由两个正方体拼接而成，放到这个长方体中去看，所有要解决的问题几乎都是明显的结论(3)证明面面垂直常用的2种方法 一是利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直
22、来证明，即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线，可以先找到其中一个平面的一条垂线，再证明这条垂线在另一个平面内或与另一个平面的一条垂线垂直；二是利用定义转化为证明二面角的平面角为直角，可先作出二面角的平面角，再由条件证明这个平面角是直角即可，虽说这种证法较为特殊，即通过计算，证明其为直角，但这也是立体几何中证明问题的一种重要方法名师预测 已知斜三棱柱 ABC-A1B1C1，BCA90，ACBC2，A1 在底面 ABC 上的射影恰为AC 的中点 D，又知 BA1AC1.(1)求证：AC1平面 A1BC；(2)求 CC1 到平面 A1AB 的距离；(3)求二面角 A-A1B-C 的正弦值解：(
23、1)A1D平面 ABC，平面 AA1C1C平面 ABC.又 BCAC，BC平面 AA1C1C，得 BCAC1，又 BA1AC1，BCBA1B，AC1平面 A1BC.(2)AC1A1C，四边形 AA1C1C 为菱形，故 AA1AC2，又 D 为 AC 中点，A1AC60.取 AA1的中点 F，则 AA1平面 BCF，从而面 A1AB面 BCF，过 C 作 CHBF 于 H，则 CH面 A1AB，在 RtBCF 中，BC2，CF 3，故 CH2 217，即 CC1 到平面 A1AB 的距离为 CH2 217.(3)过 H 作 HGA1B 于 G，连接 CG，则CGA1B，从而CGH 为二面角 A-A1B-C 的平面角，在 RtA1BC 中，A1CBC2，CG 2，在 RtCGH 中，sinCGHCHCG 427，故二面角 A-A1B-C 的正弦值为 arcsin 427.温馨提示：巩固复习效果，检验教学成果。请进入“课时闯关决战高考(50)”，指导学生每课一练，成功提升成绩.本部分内容讲解结束 点此进入课件目录按ESC键退出全屏播放谢谢使用
